En geometría diferencial , la noción de tensor métrico puede extenderse a un haz de vectores arbitrario y a algunos haces de fibras principales . Esta métrica a menudo se denomina métrica de paquete o métrica de fibra .
Definición
Si M es una variedad topológica y π : E → M un paquete vectorial en M , entonces una métrica en E es un mapa de paquetes k : E × M E → M × R del producto de fibra de E consigo mismo al paquete trivial con fibra R tal que la restricción de k a cada fibra sobre M es un mapa bilineal no degenerado de espacios vectoriales . [1] En términos generales, k da una especie de producto de punto (no necesariamente simétrica o definida positiva) en el espacio vectorial encima de cada punto de M , y estos productos varían suavemente sobre M .
Propiedades
Cada paquete de vectores con espacio base paracompacto puede equiparse con una métrica de paquete. [1] Para un paquete de vectores de rango n , esto se deduce de los gráficos de paquete : la métrica del paquete se puede tomar como el retroceso del producto interno de una métrica en; por ejemplo, las cartas ortonormales del espacio euclidiano. El grupo de estructura de tal métrica es el grupo ortogonal O ( n ).
Ejemplo: métrica de Riemann
Si M es una variedad de Riemann y E es su paquete tangente T M , entonces la métrica de Riemann da una métrica de paquete y viceversa. [1]
Ejemplo: en paquetes verticales
Si el haz π : P → M es un haz de fibras principal con el grupo G , y G es un grupo de Lie compacto , entonces existe un producto interno invariante de Ad ( G ) k en las fibras, tomado del producto interno en el correspondiente álgebra de Lie compacta . Más precisamente, hay un tensor métrico k definido en el paquete vertical E = V P tal que k es invariante bajo la multiplicación por la izquierda:
para los vectores verticales X , Y y L g es la multiplicación por la izquierda por g a lo largo de la fibra, y L g * es el empuje hacia adelante . Es decir, E es el paquete de vectores que consta del subespacio vertical de la tangente del paquete principal.
De manera más general, siempre que se tenga un grupo compacto con medida de Haar μ, y un producto interno arbitrario h (X, Y) definido en el espacio tangente de algún punto en G , se puede definir una métrica invariante simplemente promediando todo el grupo, es decir, definiendo
como el promedio.
La noción anterior se puede extender al paquete asociado donde V es un espacio vectorial transformar covariantly bajo alguna representación de G .
En relación con la teoría de Kaluza-Klein
Si el espacio base M es también un espacio métrico , con métrica g , y el fibrado principal está dotado de una forma de conexión ω, entonces π * g + kW es una métrica definida sobre todo el fibrado tangente E = T P . [2]
Más precisamente, uno escribe pi * g ( X , Y ) = g ( π * X , π * Y ) donde π * es el pushforward de la proyección π , y g es el tensor métrico en el espacio base M . La expresión kω debe entenderse como ( kω ) ( X , Y ) = k ( ω ( X ), ω ( Y )), siendo k el tensor métrico de cada fibra. Aquí, X y Y son elementos del espacio tangente T P .
Observe que la elevación π * g desaparece en el subespacio vertical T V (ya que π * desaparece en los vectores verticales), mientras que kω desaparece en el subespacio horizontal T H (ya que el subespacio horizontal se define como la parte del espacio tangente T P en que la conexión ω desaparece). Dado que el espacio tangente total del paquete es una suma directa de los subespacios vertical y horizontal (es decir, T P = T V ⊕ T H ), esta métrica está bien definida en todo el paquete.
Esta métrica de paquete sustenta la forma generalizada de la teoría de Kaluza-Klein debido a varias propiedades interesantes que posee. La curvatura escalar derivada de esta métrica es constante en cada fibra, [2] esto se sigue de la invariancia Ad ( G ) de la métrica k de la fibra . La curvatura escalar del paquete se puede descomponer en tres partes distintas:
- R E = R M ( g ) + L ( g , ω) + R G ( k )
donde R E es la curvatura escalar en el paquete como un todo (obtenida de la métrica π * g + kω anterior), y R M ( g ) es la curvatura escalar en la variedad de base M (la densidad lagrangiana de Einstein-Hilbert acción ), y L ( g , ω) es la densidad lagrangiana para la acción de Yang-Mills , y R G ( k ) es la curvatura escalar de cada fibra (obtenida a partir de la métrica de fibra k , y constante, debido a la Ad ( G ) -invarianza de la métrica k ). Los argumentos denotan que R M ( g ) solo depende de la métrica g en la variedad base, pero no ω o k , y de la misma manera, que R G ( k ) solo depende de k , y no de go and, y así- en.
Referencias
- ↑ a b c Jost, Jürgen (2011), Geometría riemanniana y análisis geométrico , Universitext (Sexta ed.), Springer, Heidelberg, p. 46, doi : 10.1007 / 978-3-642-21298-7 , ISBN 978-3-642-21297-0, MR 2829653.
- ^ a b David Bleecker, " Teoría del calibre y principios de variación " (1982) D. Reidel Publishing (consulte el capítulo 9 )