En matemáticas , el haz vertical y el haz horizontal son dos subconjuntos del haz tangente de un haz de fibras lisas , que forman subespacios complementarios en cada punto del haz de fibras. El paquete vertical consta de todos los vectores que son tangentes a las fibras, mientras que el paquete horizontal es entonces una elección particular de un subconjunto del paquete tangente que es complementario al paquete vertical.
Más precisamente, si π : E → M es un haz de fibras suave sobre un múltiple liso M y e ∈ E con π ( e ) = x ∈ M , entonces el espacio vertical V e E en e es el espacio tangente T e ( E x ) a la fibra E x que contiene e . Es decir, V e E = T e (E π ( e )). Por lo tanto, el espacio vertical es un subespacio vectorial de T e E . Un espacio horizontal H e E es entonces una elección de un subespacio de T e E tal que T e E es la suma directa de V e E y H e E .
La unión de la desunión de la vertical de espacios V e E para cada correo en E es la subfibrado V E de T E : este es el paquete vertical de E . Del mismo modo, un haz horizontal es la unión de la desunión de los subespacios horizontales H e E . El uso de las palabras "el" y "a" en esta definición es crucial: el subespacio vertical es único, está determinado únicamente por la fibración. Por el contrario, hay un número infinito de subespacios horizontales para elegir, en la formación de la suma directa.
El concepto de haz horizontal es una forma de formular la noción de una conexión de Ehresmann en un haz de fibras . Así, por ejemplo, si E es un paquete principal G , entonces el paquete horizontal generalmente se requiere que sea G- invariante: tal elección se vuelve equivalente a la definición de una conexión en el paquete principal . [1] La elección de un paquete horizontal invariante G y una conexión son lo mismo. En el caso en que E es el paquete de tramas , es decir, el conjunto de todas las tramas para los espacios tangentes de la variedad, entonces el grupo de estructuras G = GL n actúa libre y transitivamente en cada fibra, y la elección de un paquete horizontal da una conexión en el paquete del marco.
Definicion formal
Deje π : E → M sea un haz de fibras suave sobre un múltiple liso M . El haz vertical es el kernel V E : = ker (d π ) de la tangente mapa d π : T E → T M . [2]
Desde dπ e es sobreyectiva en cada punto e , se produce una normal subfibrado de T E . Además, el haz vertical V E también es integrable .
Una conexión de Ehresmann en E es una elección de un subconjunto complementario H E a V E en T E , llamado haz horizontal de la conexión. En cada punto e en E , los dos subespacios forman una suma directa , tal que T ae E = V e E ⊕ H e E .
Ejemplo
Un ejemplo simple de un haz de fibras lisas es un producto cartesiano de dos variedades . Considere el paquete B 1 : = ( M × N , pr 1 ) con proyección de paquete pr 1 : M × N → M : ( x , y ) → x . Aplicando la definición en el párrafo anterior para encontrar el haz vertical, consideramos primero un punto (m, n) en M × N . Entonces la imagen de este punto bajo pr 1 es m. La imagen inversa de m bajo esta misma pr 1 es {m} x N , de manera que T (m, n) ({m} x N ) = {m} x T N . El paquete vertical es entonces V B 1 = M × T N , que es un subconjunto de T ( M × N ). Si tomamos la otra proyección pr 2 : M × N → N : ( x , y ) → y para definir el haz de fibras B 2 : = ( M × N , pr 2 ) entonces el haz vertical será V B 2 = T M × N .
En ambos casos, la estructura del producto da una elección natural de paquete horizontal y, por lo tanto, una conexión de Ehresmann: el paquete horizontal de B 1 es el paquete vertical de B 2 y viceversa.
Propiedades
Varios importantes tensores y formas diferenciales de geometría diferencial toma en propiedades específicas en los haces verticales y horizontales, o incluso pueden ser definidos en términos de ellos. Algunos de estos son:
- Un campo vectorial vertical es un campo vectorial que se encuentra en el paquete vertical. Es decir, para cada punto e de E , se elige un vector dónde es el espacio vectorial vertical en e . [2]
- Una forma r diferenciable en E se dice que es una forma horizontal si siempre que al menos uno de los vectores es vertical.
- La forma de conexión desaparece en el paquete horizontal y es distinta de cero solo en el paquete vertical. De esta manera, el formulario de conexión se puede utilizar para definir el paquete horizontal: El paquete horizontal es el núcleo del formulario de conexión.
- La forma de soldadura o una forma tautológica desaparece en el paquete vertical y es distinta de cero solo en el paquete horizontal. Por definición, la forma de soldadura toma sus valores completamente en el paquete horizontal.
- Para el caso de un paquete de marcos , la forma de torsión desaparece en el paquete vertical y se puede usar para definir exactamente la parte que debe agregarse a una conexión arbitraria para convertirla en una conexión Levi-Civita , es decir, para hacer una conexión. ser sin torsión. De hecho, si se escribe θ para la forma de soldadura, entonces el tensor de torsión Θ viene dado por Θ = D θ (con D la derivada covariante exterior ). Para cualquier conexión dada ω, existe una única forma σ en T E , llamada tensor de torsión , que se desvanece en el haz vertical, y es tal que ω + σ es otra conexión de forma 1 libre de torsión. La forma resultante ω + σ no es otra cosa que la conexión Levi-Civita. Se puede tomar esto como una definición: dado que la torsión está dada por, la desaparición de la torsión equivale a tener , y no es difícil demostrar que σ debe desaparecer en el haz vertical, y que σ debe ser G -invariante en cada fibra (más precisamente, que σ se transforma en la representación adjunta de G ). Tenga en cuenta que esto define la conexión Levi-Civita sin hacer ninguna referencia explícita a ningún tensor métrico (aunque el tensor métrico puede entenderse como un caso especial de una forma de soldadura, ya que establece un mapeo entre los haces tangente y cotangente de la base espacio, es decir, entre los subespacios horizontal y vertical del conjunto de marcos).
- En el caso de que E sea un paquete principal, entonces el campo vectorial fundamental debe vivir necesariamente en el paquete vertical y desaparecer en cualquier paquete horizontal.
Notas
- ^ David Bleeker, Gauge Theory and Variational Principles (1981) Addison-Wesely Publishing Company ISBN 0-201-10096-7 (Ver teorema 1.2.4)
- ^ a b Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag (página 77)
Referencias
- Choquet-Bruhat, Yvonne ; DeWitt-Morette, Cécile (1977), Análisis, colectores y física , Amsterdam: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.). Wiley Interscience . ISBN 0-471-15733-3.
- Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag
- Krupka, Demeter; Janyška, Josef (1990), Conferencias sobre invariantes diferenciales , Univerzita JE Purkyně V Brně, ISBN 80-210-0165-8
- Saunders, DJ (1989), The geometry of jet bundles , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7