Función continua

Mathematical function with no sudden changes in value

Parte de una serie de artículos sobre
Cálculo
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v t mi

En matemáticas , una función continua es una función que no tiene cambios bruscos de valor , conocidos como discontinuidades . Más precisamente, una función es continua si se pueden asegurar cambios arbitrariamente pequeños en su salida restringiendo a cambios suficientemente pequeños en su entrada. Si no es continua, se dice que una función es discontinua . Hasta el siglo XIX, los matemáticos se basaron en gran medida en nociones intuitivas de continuidad, durante las cuales se hicieron intentos como la definición épsilon-delta para formalizarla.

La continuidad de las funciones es uno de los conceptos centrales de la topología , que se trata en su totalidad a continuación. La parte introductoria de este artículo se centra en el caso especial en el que las entradas y salidas de funciones son números reales . Una forma más fuerte de continuidad es la continuidad uniforme . Además, este artículo analiza la definición para el caso más general de funciones entre dos espacios métricos . En la teoría del orden , especialmente en la teoría del dominio , se considera una noción de continuidad conocida como continuidad de Scott . Existen otras formas de continuidad, pero no se tratan en este artículo.

Como ejemplo, la función H ( t ) que denota la altura de una flor en crecimiento en el tiempo t se consideraría continua. Por el contrario, la función M ( t ) que denota la cantidad de dinero en una cuenta bancaria en el momento t se consideraría discontinua, ya que "salta" en cada momento en el que se deposita o retira dinero.

Historia

Una forma de la definición épsilon-delta de continuidad fue dada por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy definió la continuidad de de la siguiente manera: un incremento infinitamente pequeño de la variable independiente x siempre produce un cambio infinitamente pequeño de la variable dependiente y ( véase, por ejemplo, Cours d'Analyse , p. 34). Cauchy definió cantidades infinitamente pequeñas en términos de cantidades variables, y su definición de continuidad se asemeja mucho a la definición infinitesimal utilizada hoy (ver microcontinuidad ). La definición formal y la distinción entre continuidad puntual y continuidad uniforme${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$fueron entregadas por primera vez por Bolzano en la década de 1830, pero el trabajo no se publicó hasta la década de 1930. Al igual que Bolzano, ^[1] Karl Weierstrass ^[2] negó la continuidad de una función en un punto c a menos que estuviera definida en y en ambos lados de c , pero Édouard Goursat ^[3] permitió que la función se definiera solo en y en un lado de c , y Camille Jordan ^{[4] lo} permitió incluso si la función se definió solo en c . Las tres definiciones no equivalentes de continuidad puntual todavía están en uso. ^[5] Eduard Heineproporcionó la primera definición publicada de continuidad uniforme en 1872, pero basó estas ideas en conferencias dadas por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1854. ^[6]

Funciones reales

Definición

La función es continua en el dominio , pero no es continua en el dominio porque no está definida en${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x=0}$

Una función real , que es una función de números reales a números reales, se puede representar mediante una gráfica en el plano cartesiano ; tal función es continua si, en términos generales, el gráfico es una única curva ininterrumpida cuyo dominio es la línea real completa. A continuación se ofrece una definición más rigurosa matemáticamente. ^[7]

En un primer curso de cálculo se suele dar una definición rigurosa de la continuidad de las funciones reales en términos de la idea de límite . Primero, se dice que una función f con variable x es continua en el punto c de la línea real, si el límite de f ( x ) , cuando x se acerca a ese punto c , es igual al valor f (c) ; y segundo, se dice que la función (como un todo) es continua , si es continua en todos los puntos. Se dice que una función es discontinua (o que tiene una discontinuidad) en algún momento cuando no es continuo allí. Estos puntos en sí mismos también se tratan como discontinuidades .

Hay varias definiciones diferentes de continuidad de una función. A veces se dice que una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio. En este caso, la función f ( x ) = tan ( x ) , con el dominio de todo real x ≠ (2 n +1) π / 2 , n  cualquier entero, es continua. A veces se hace una excepción para los límites del dominio. Por ejemplo, la gráfica de la función f ( x ) =  √ x , con el dominio de todos los reales no negativos, tiene un extremo izquierdo . En este caso solo el límite de la derechaes necesario para igualar el valor de la función. Bajo esta definición f es continua en el límite x = 0 y así para todos los argumentos no negativos. La definición más común y restrictiva es que una función es continua si es continua en todos los números reales. En este caso, los dos ejemplos anteriores no son continuos, pero cada función polinomial es continua, al igual que las funciones seno , coseno y exponencial . Se debe tener cuidado al usar la palabra continuo , de modo que quede claro en el contexto qué significado de la palabra se pretende.

Usando la notación matemática, hay varias formas de definir funciones continuas en cada uno de los tres sentidos mencionados anteriormente.

Dejar

${\displaystyle f\colon D\rightarrow \mathbb {R} \quad }$ser una función definida en un subconjunto del conjunto de números reales.${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Este subconjunto es el dominio de f . Algunas opciones posibles incluyen ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D=\mathbb {R} \quad }$( Es todo el conjunto de números reales), o, para una y b números reales,${\displaystyle D}$

${\displaystyle D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}\quad }$( es un intervalo cerrado ), o${\displaystyle D}$

${\displaystyle D=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}\quad }$( es un intervalo abierto ).${\displaystyle D}$

En caso de que el dominio se defina como un intervalo abierto, y no pertenecen a , y los valores de y no importan para la continuidad .${\displaystyle D}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$${\displaystyle D}$

Definición en términos de límites de funciones

La función f es continua en algún punto c de su dominio si el límite de f ( x ), cuando x se acerca a c a través del dominio de f , existe y es igual af ( c ). ^[8] En notación matemática, esto se escribe como

${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=f(c).}$

En detalle, esto significa tres condiciones: primero, f debe definirse en c (garantizado por el requisito de que c esté en el dominio de f ). En segundo lugar, tiene que existir el límite en el lado izquierdo de esa ecuación. En tercer lugar, el valor de este límite debe ser igual a f ( c ).

La definición formal de un límite implica que toda función es continua en cada punto aislado de su dominio.

Definición en términos de barrios

Una vecindad de un punto c es un conjunto que contiene, al menos, todos los puntos dentro de una distancia fija de c . Intuitivamente, una función es continua en un punto c si el rango de f en la vecindad de c se reduce a un solo punto f ( c ) cuando el ancho de la vecindad alrededor de c se reduce a cero. Más precisamente, una función f es continua en un punto c de su dominio si, para cualquier vecindario, hay un vecindario en su dominio tal que siempre que${\displaystyle N_{1}(f(c))}$${\displaystyle N_{2}(c)}$${\displaystyle f(x)\in N_{1}(f(c))}$${\displaystyle x\in N_{2}(c).}$

Esta definición solo requiere que el dominio y el codominio sean espacios topológicos y, por lo tanto, es la definición más general. De esta definición se deduce que una función f es automáticamente continua en cada punto aislado de su dominio. Como ejemplo específico, cada función de valor real en el conjunto de números enteros es continua.

Definición en términos de límites de secuencias

La secuencia exp (1 / n ) converge a exp (0)

En lugar Uno puede requerir que para cualquier secuencia de puntos en el dominio que converge a c , los correspondientes de secuencia converge a f ( c ). En notación matemática,${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.}$

Definiciones de Weierstrass y Jordan (épsilon-delta) de funciones continuas

Ilustración de la definición de ε-δ: para ε = 0.5, c = 2, el valor δ = 0.5 satisface la condición de la definición.

Incluyendo explícitamente la definición del límite de una función, obtenemos una definición autocontenida: Dada una función f  :  D  →  R como arriba y un elemento x ₀ del dominio D , se dice que f es continua en el punto x ₀ cuando se cumple lo siguiente: Para cualquier número ε  > 0, por pequeño que sea, existe algún número δ  > 0 tal que para todo x en el dominio de f con x ₀  -  δ  <  x  <  x ₀  +  δ, el valor de f ( x ) satisface

${\displaystyle f(x_{0})-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .}$

Escrito alternativamente, la continuidad de f  :  D  →  R en x ₀  ∈  D significa que para todo  ε  > 0 existe un δ  > 0 tal que para todo x  ∈  D  :

${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$

Más intuitivamente, podemos decir que si queremos obtener todos los f ( x valores) de residir en una pequeña zona alrededor de f ( x ₀ ), simplemente hay que elegir un pequeño barrio suficiente para los x valores en torno x ₀ . Si podemos hacer eso sin importar cuán pequeño sea el vecindario f ( x ), entonces f es continua en  x ₀ .

En términos modernos, esto se generaliza mediante la definición de continuidad de una función con respecto a una base para la topología , aquí la topología métrica .

Weierstrass había requerido que el intervalo x ₀  -  δ  <  x  <  x ₀  +  δ estuviera completamente dentro del dominio D , pero Jordan eliminó esa restricción.

Definición en términos de control del resto

En las pruebas y el análisis numérico, a menudo necesitamos saber qué tan rápido están convergiendo los límites, o en otras palabras, el control del resto. Podemos formalizar esto en una definición de continuidad. Una función se llama función de control si${\displaystyle C:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$

• C no es decreciente
• ${\displaystyle \inf _{\delta >0}C(\delta )=0}$

Una función f  :  D  →  R es C -continua en x ₀ si

${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq C(|x-x_{0}|)}$ para todos ${\displaystyle x\in D}$

Una función es continua en x ₀ si es C -Continua para alguna función de control C .

Este enfoque conduce naturalmente a refinar la noción de continuidad al restringir el conjunto de funciones de control admisibles. Para un conjunto dado de funciones de control, una función es continua si es continua para algunas . Por ejemplo, las funciones continuas de Lipschitz y Hölder del exponente α a continuación están definidas por el conjunto de funciones de control ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}}$

respectivamente

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=}$${\displaystyle \{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}}$.

Definición mediante oscilación

La falla de una función para ser continua en un punto se cuantifica por su oscilación .

La continuidad también se puede definir en términos de oscilación : una función f es continua en un punto x ₀ si y sólo si su oscilación en ese punto es cero; ^[9] en símbolos, Un beneficio de esta definición es que cuantifica discontinuidad: la oscilación da cómo mucho la función es discontinua en un punto.${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$

Esta definición es útil en la teoría descriptiva de conjuntos para estudiar el conjunto de discontinuidades y puntos continuos - los puntos continuos son la intersección de los conjuntos donde la oscilación es menor que ε (por lo tanto, un conjunto G δ ) - y da una prueba muy rápida de uno. dirección de la condición de integrabilidad de Lebesgue . ^[10]

La oscilación es equivalente a la definición de ε - δ por una simple reordenación, y usando un límite ( lim sup , lim inf ) para definir la oscilación: si (en un punto dado) para un ε ₀ dado no hay δ que satisface la definición de ε - δ , entonces la oscilación es al menos ε ₀ y, a la inversa, si para cada ε hay un δ deseado , la oscilación es 0. La definición de oscilación se puede generalizar naturalmente a mapas de un espacio topológico a un espacio métrico .

Definición usando los hiperrealistas

Cauchy definió la continuidad de una función en los siguientes términos intuitivos: un cambio infinitesimal en la variable independiente corresponde a un cambio infinitesimal de la variable dependiente (ver Cours d'analyse , página 34). El análisis no estándar es una forma de hacer esto matemáticamente riguroso. La línea real se aumenta mediante la adición de números infinitos e infinitesimales para formar los números hiperreales . En el análisis no estándar, la continuidad se puede definir de la siguiente manera.

Una función de valor real f es continua en x si su extensión natural a los hiperreal tiene la propiedad de que para todo dx infinitesimal , f ( x + dx ) - f ( x ) es infinitesimal ^[11]

(ver microcontinuidad ). En otras palabras, un incremento infinitesimal de la variable independiente siempre produce un cambio infinitesimal de la variable dependiente, dando una expresión moderna a la definición de continuidad de Augustin-Louis Cauchy .

Construcción de funciones continuas

La gráfica de una función cúbica no tiene saltos ni huecos. La función es continua.

La verificación de la continuidad de una función dada se puede simplificar al verificar una de las propiedades definitorias anteriores para los bloques de construcción de la función dada. Es sencillo demostrar que la suma de dos funciones, continua en algún dominio, también es continua en este dominio. Dado

${\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {R} ,}$

entonces la suma de funciones continuas

${\displaystyle s=f+g}$

(definido por para todos ) es continuo en .${\displaystyle s(x)=f(x)+g(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle D}$

Lo mismo vale para el producto de funciones continuas,

${\displaystyle p=f\cdot g}$

(definido por para todos ) es continuo en .${\displaystyle p(x)=f(x)\cdot g(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle D}$

Combinando las anteriores preservaciones de continuidad y la continuidad de funciones constantes y de la función identidad en , se llega a la continuidad de todas las funciones polinomiales en , como${\displaystyle I(x)=x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

f ( x ) = x ³ + x ² - 5 x + 3

(en la foto de la derecha).

La gráfica de una función racional continua . La función no está definida para x = −2. Las líneas verticales y horizontales son asíntotas .

De la misma manera se puede demostrar que el recíproco de una función continua

${\displaystyle r=1/f}$

(definido por para todos los que ) es continuo en .${\displaystyle r(x)=1/f(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$${\displaystyle D\setminus \{x:f(x)=0\}}$

Esto implica que, excluyendo las raíces de , el cociente de funciones continuas${\displaystyle g}$

${\displaystyle q=f/g}$

(definido por para todos , tal que ) también es continuo .${\displaystyle q(x)=f(x)/g(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle g(x)\neq 0}$${\displaystyle D\setminus \{x:g(x)=0\}}$

Por ejemplo, la función (en la imagen)

${\displaystyle y(x)={\frac {2x-1}{x+2}}}$

está definido para todos los números reales x ≠ −2 y es continuo en cada uno de esos puntos. Por tanto, es una función continua. La cuestión de la continuidad en x = −2 no surge, ya que x = −2 no está en el dominio de y . No existe una función continua F : R → R que esté de acuerdo con y ( x ) para todo x ≠ −2 .

Las funciones sinc y cos

Dado que la función seno es continua en todos los reales, la función sinc G ( x ) = sin ( x ) / x , está definida y es continua para todos los reales x ≠ 0. Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior, G se puede extender a un continuo función en todos los números reales, definiendo el valor G (0) como 1, que es el límite de G ( x ), cuando x se acerca a 0, es decir,

${\displaystyle G(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$

Por lo tanto, estableciendo

${\displaystyle G(x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{ if }}x\neq 0\\1&{\text{ if }}x=0,\end{cases}}}$

la función sinc se convierte en una función continua en todos los números reales. El término singularidad removible se usa en tales casos, cuando (re) definir valores de una función para que coincidan con los límites apropiados hacen que una función sea continua en puntos específicos.

Una construcción más complicada de funciones continuas es la composición de funciones . Dadas dos funciones continuas

${\displaystyle g\colon D_{g}\subseteq \mathbb {R} \to R_{g}\subseteq \mathbb {R} \quad {\text{and}}\quad f\colon D_{f}\subseteq \mathbb {R} \to R_{f}\subseteq D_{g},}$

su composición, denotada como y definida por, es continua.${\displaystyle c=g\circ f\colon D_{f}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle c(x)=g(f(x)),}$

Esta construcción permite afirmar, por ejemplo, que

${\displaystyle e^{\sin(\ln x)}}$ es continuo para todos ${\displaystyle x>0.}$

Ejemplos de funciones discontinuas

Gráfico de la función signum. Demuestra eso . Por tanto, la función signum es discontinua en 0 (ver sección 2.1.3 ).${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {sgn} \left({\tfrac {1}{n}}\right)\neq \operatorname {sgn} \left(\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}\right)}$

Un ejemplo de una función discontinua es la función escalón Heaviside , definida por${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\geq 0\\0&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$

Elija, por ejemplo . Entonces no hay -neighborhood alrededor , es decir, no hay un intervalo abierto con que forzará a todos los valores a estar dentro del -neighborhood de , es decir, dentro . Intuitivamente podemos pensar en este tipo de discontinuidad como un salto repentino en los valores de las funciones.${\displaystyle \varepsilon =1/2}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle (-\delta ,\;\delta )}$${\displaystyle \delta >0,}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle H(0)}$${\displaystyle (1/2,\;3/2)}$

Del mismo modo, la función signum o sign

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ if }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ if }}x=0\\-1&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$

es discontinuo en pero continuo en todas partes. Otro ejemplo más: la función${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$

es continuo en todas partes excepto en .${\displaystyle x=0}$

Gráfico de puntos de la función de Thomae en el intervalo (0,1). El punto más alto en el medio muestra f (1/2) = 1/2.

Además de las continuidades y discontinuidades plausibles como las anteriores, también hay funciones con un comportamiento, a menudo acuñado como patológico , por ejemplo, la función de Thomae ,

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ if }}x={\frac {p}{q}}{\text{(in lowest terms) is a rational number}}\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}}$

es continuo en todos los números irracionales y discontinuo en todos los números racionales. De manera similar, la función de Dirichlet , la función indicadora para el conjunto de números racionales,

${\displaystyle D(x)={\begin{cases}0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational }}(\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\\1&{\text{ if }}x{\text{ is rational }}(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}}$

no es continuo en ninguna parte.

Propiedades

Un lema útil

Sea una función que sea continua en un punto y sea ​​un valor como Entonces a lo largo de algún vecindario de ^[12]${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle f(x_{0})\neq y_{0}.}$${\displaystyle f(x)\neq y_{0}}$${\displaystyle x_{0}.}$

Prueba: según la definición de continuidad, toma , entonces existe tal que ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0}$${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<{\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}\quad {\text{whenever}}\quad |x-x_{0}|<\delta }$

Supongamos que hay un punto en el vecindario para el cual tenemos la contradicción${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$${\displaystyle f(x)=y_{0};}$

${\displaystyle |f(x_{0})-y_{0}|<{\frac {|f(x_{0})-y_{0}|}{2}}.}$

Teorema del valor intermedio

El teorema del valor intermedio es un teorema de existencia , basado en la propiedad de completitud del número real , y establece:

Si la función de valor real f es continua en el intervalo cerrado [ a ,  b ] yk es algún número entre f ( a ) yf ( b ), entonces hay un número c en [ a ,  b ] tal que f ( c ) =  k .

Por ejemplo, si un niño crece de 1 ma 1,5 m entre las edades de dos y seis años, entonces, en algún momento entre los dos y los seis años, la altura del niño debe haber sido de 1,25 m.

Como consecuencia, si f es continua en [ a ,  b ] yf ( a ) yf ( b ) difieren en el signo , entonces, en algún punto c en [ a ,  b ], f ( c ) debe ser igual a cero .

Teorema del valor extremo

El teorema del valor extremo establece que si una función f se define en un intervalo cerrado [ a , b ] (o cualquier conjunto cerrado y acotado) y es continua allí, entonces la función alcanza su máximo, es decir, existe c  ∈ [ a , b ] con f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x  ∈ [ a , b ]. Lo mismo ocurre con el mínimo de f . En general, estas afirmaciones no son verdaderas si la función se define en un intervalo abierto ( a , b) (o cualquier conjunto que no sea a la vez cerrado y acotado), ya que, por ejemplo, la función continua f ( x ) = 1 / x , definida en el intervalo abierto (0,1), no alcanza un máximo, siendo ilimitada sobre.

Relación con la diferenciabilidad y la integrabilidad

Cada función diferenciable

${\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbf {R} }$

es continuo, como se puede demostrar. Lo contrario no se cumple: por ejemplo, la función de valor absoluto

${\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}\;\;\ x&{\text{ if }}x\geq 0\\-x&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$

es continuo en todas partes. Sin embargo, no es diferenciable en x = 0 (pero lo es en todas partes). La función de Weierstrass también es continua en todas partes, pero no diferenciable en ninguna parte.

No es necesario que la derivada f ′ ( x ) de una función diferenciable f ( x ) sea continua. Si f ′ ( x ) es continua, se dice que f ( x ) es continuamente diferenciable. El conjunto de tales funciones se denota C ¹ ( ( a ,  b ) ). De manera más general, el conjunto de funciones

${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow \mathbf {R} }$

(desde un intervalo abierto (o subconjunto abierto de R ) Ω a los reales) tal que f es n veces diferenciable y tal que la n -ésima derivada de f es continua se denota C ⁿ (Ω). Ver clase de diferenciabilidad . En el campo de los gráficos por computadora, las propiedades relacionadas (pero no idénticas) con C ⁰ , C ¹ , C ^{2 a} veces se denominan G ⁰ (continuidad de posición), G ¹ (continuidad de tangencia) y G ²(continuidad de curvatura); consulte Suavidad de curvas y superficies .

Cada función continua

${\displaystyle f\colon [a,b]\rightarrow \mathbf {R} }$

es integrable (por ejemplo, en el sentido de la integral de Riemann ). Lo contrario no se cumple, como muestra la función de signo (integrable, pero discontinua) .

Límites puntuales y uniformes

Secuencia de funciones continuas f _n ( x ) cuya función límite (puntual) f ( x ) es discontinua. La convergencia no es uniforme.

Dada una secuencia

${\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc \colon I\rightarrow \mathbf {R} }$

de funciones tales que el límite

${\displaystyle f(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)}$

existe para todas las x en D , la función resultante f ( x ) se conoce como el límite puntual de la secuencia de funciones ( f _n ) _{n ∈ N} . La función de límite puntual no necesita ser continua, incluso si todas las funciones f _n son continuas, como muestra la animación de la derecha. Sin embargo, f es continua si todas las funciones f _n son continuas y la secuencia converge uniformemente , según el teorema de convergencia uniforme . Este teorema se puede utilizar para demostrar que las funciones exponenciales, los logaritmos , la función raíz cuadrada y las funciones trigonométricas son continuas.

Direccional y semicontinuidad

• Una función continua a la derecha

• Una función continua a la izquierda

Las funciones discontinuas pueden ser discontinuas de forma restringida, dando lugar al concepto de continuidad direccional (o funciones continuas derecha e izquierda) y semicontinuidad . En términos generales, una función es continua a la derecha si no se produce ningún salto cuando se llega al punto límite desde la derecha. Formalmente, se dice que f es continua a la derecha en el punto c si se cumple lo siguiente: Para cualquier número ε  > 0, por pequeño que sea, existe un número δ  > 0 tal que para todo x en el dominio con c < x < c + δ , el valor de f ( x) satisfará

${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon .}$

Esta es la misma condición que para las funciones continuas, excepto que se requiere mantener para x estrictamente mayor que c solamente. Requerirlo en cambio para todo x con c - δ < x < c produce la noción de funciones continuas por la izquierda . Una función es continua si y solo si es tanto continua a la derecha como continua a la izquierda.

Una función f es semicontinua más baja si, aproximadamente, los saltos que puedan ocurrir solo van hacia abajo, pero no hacia arriba. Es decir, para cualquier ε  > 0, existe un número δ  > 0 tal que para todo x en el dominio con | x - c | < δ , el valor de f ( x ) satisface

${\displaystyle f(x)\geq f(c)-\epsilon .}$

La condición inversa es la semicontinuidad superior .

Funciones continuas entre espacios métricos

El concepto de funciones continuas de valor real se puede generalizar a funciones entre espacios métricos . Un espacio métrico es un conjunto X equipado con una función (llamada métrica ) d _X , que puede ser pensado como una medida de la distancia de cualesquiera dos elementos en X . Formalmente, la métrica es una función

${\displaystyle d_{X}\colon X\times X\rightarrow \mathbf {R} }$

que satisface una serie de requisitos, en particular la desigualdad del triángulo . Dados dos espacios métricos ( X , d _X ) y ( Y , d _Y ) y una función

${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$

entonces f es continua en el punto c en X (con respecto a las métricas dadas) si para cualquier número real positivo ε, existe un número real positivo δ tal que todo x en X que satisfaga d _X ( x , c ) <δ será también satisfaga d _Y ( f ( x ), f ( c )) <ε. Como en el caso de las funciones reales anteriores, esto es equivalente a la condición de que para cada secuencia ( x _n ) en X con límite lim x _n = c , tenemos limf ( x _norte ) = f ( c ). La última condición se puede debilitar de la siguiente manera: f es continua en el punto c si y solo si para cada secuencia convergente ( x _n ) en X con límite c , la secuencia ( f ( x _n )) es una secuencia de Cauchy , y c está en el dominio de f .

El conjunto de puntos en los que una función entre espacios métricos es continua es un conjunto G δ  ; esto se deriva de la definición de continuidad ε-δ.

Esta noción de continuidad se aplica, por ejemplo, en el análisis funcional . Una declaración clave en esta área dice que un operador lineal

${\displaystyle T\colon V\rightarrow W}$

entre los espacios vectoriales normativos V y W (que son espacios vectoriales equipados con una norma compatible , denotada || x ||) es continua si y solo si está acotada , es decir, hay una constante K tal que

${\displaystyle \|T(x)\|\leq K\|x\|}$

para todas las x en V .

Continuidad uniforme, Hölder y Lipschitz

Para una función continua de Lipschitz, hay un cono doble (mostrado en blanco) cuyo vértice se puede trasladar a lo largo del gráfico, de modo que el gráfico siempre permanece completamente fuera del cono.

El concepto de continuidad para funciones entre espacios métricos se puede fortalecer de varias formas limitando la forma en que δ depende de ε yc en la definición anterior. Intuitivamente, una función f como la anterior es uniformemente continua si δ no depende del punto c . Más precisamente, se requiere que para cada número real ε  > 0 exista δ  > 0 tal que para cada c ,  b  ∈  X con d _X ( b ,  c ) <  δ , tenemos que d _Y ( f (b ),  f ( c )) <  ε . Por tanto, cualquier función uniformemente continua es continua. Lo contrario no se cumple en general, pero sí cuando el espacio de dominio X es compacto . Los mapas uniformemente continuos se pueden definir en la situación más general de espacios uniformes . ^[13]

Una función es Hölder continua con α exponente (un número real) si hay una constante K tal que para todo b y c en X , la desigualdad

${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }}$

sostiene. Cualquier función continua de Hölder es uniformemente continua. El caso particular α = 1 se conoce como continuidad de Lipschitz . Es decir, una función es continua de Lipschitz si hay una constante K tal que la desigualdad

${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)}$

se cumple para cualquier b , c en X . ^[14] La condición de Lipschitz ocurre, por ejemplo, en el teorema de Picard-Lindelöf relativo a las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias .

Funciones continuas entre espacios topológicos

Otra noción de continuidad, más abstracta, es la continuidad de funciones entre espacios topológicos en los que generalmente no existe una noción formal de distancia, como ocurre en el caso de los espacios métricos . Un espacio topológico es un conjunto X junto con una topología en X , que es un conjunto de subconjuntos de X que satisfacen algunos requisitos con respecto a sus uniones e intersecciones que generalizan las propiedades de las bolas abiertas en espacios métricos al mismo tiempo que permiten hablar sobre los vecindarios de un punto dado. Los elementos de una topología se denominan subconjuntos abiertos de X (con respecto a la topología).

Una función

${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$

entre dos espacios topológicos X e Y es continua si para cada conjunto abierto V ⊆ Y , la imagen inversa

${\displaystyle f^{-1}(V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}}$

es un subconjunto abierto de X . Es decir, f es una función entre los conjuntos de X y de Y (no en los elementos de la topología T _X ), pero la continuidad de f depende de las topologías utilizadas en X y Y .

Esto es equivalente a la condición de que los preimages de los conjuntos cerrados (que son los complementos de los subconjuntos abiertos) en Y están cerrados en X .

Un ejemplo extremo: si a un conjunto X se le da la topología discreta (en la que cada subconjunto está abierto), todas las funciones

${\displaystyle f\colon X\rightarrow T}$

a cualquier espacio topológico T son continuos. Por otro lado, si X está equipado con la topología indiscreta (en la que los únicos subconjuntos abiertos son el conjunto vacío y X ) y el espacio T conjunto es al menos T 0 , entonces las únicas funciones continuas son las funciones constantes. Por el contrario, cualquier función cuyo alcance sea indiscreto es continua.

Continuidad en un punto

Continuidad en un punto: Para cada vecindario V de f ( x ), hay un vecindario U de x tal que f ( U ) ⊆ V

La traducción al lenguaje de vecindarios de la (ε, δ) -definición de continuidad conduce a la siguiente definición de continuidad en un punto:

Una función es continua en un punto si y sólo si para cualquier vecindad V de en Y , existe un entorno U de x tal que f ( U ) ⊆ V .${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)}$

Esta definición es equivalente a la misma declaración con vecindarios restringidos a vecindarios abiertos y puede reformularse de varias maneras usando preimágenes en lugar de imágenes.

Además, como todo conjunto que contiene una vecindad es también una vecindad, y es el subconjunto más grande U de X tal que f ( U ) ⊆ V , esta definición se puede simplificar en:${\displaystyle f^{-1}(V)}$

Una función es continua en un punto si y sólo si es una vecindad de x para cada barrio V de en Y .${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle f(x)}$

Como un conjunto abierto es un conjunto que es una vecindad de todos sus puntos, una función es continua en cada punto de X si y solo si es una función continua.${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

Si X y Y son espacios métricos, es equivalente a considerar la base de entornos de bolas abiertas centradas en x y f ( x ) en lugar de todos los barrios. Esto devuelve la definición anterior de δ-ε de continuidad en el contexto de espacios métricos. En los espacios topológicos generales, no existe la noción de cercanía o distancia. Sin embargo, si el espacio objetivo es un espacio de Hausdorff , sigue siendo cierto que f es continua en a si y solo si el límite de f cuando x se acerca a a es f ( a). En un punto aislado, cada función es continua.

Dado un mapa es continuo en si y solo si siempre hay un filtro en que converge a en lo que se expresa escribiendo entonces necesariamente en Si denota el filtro de vecindad en entonces es continuo en si y solo si en ^[15] Además, esto sucede si y solo si el prefiltro es una base de filtro para el filtro de vecindad de en ^[15]${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x,}$${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y.}$

Definiciones alternativas

Existen varias definiciones equivalentes para una estructura topológica y, por lo tanto, hay varias formas equivalentes de definir una función continua.

Secuencias y redes

En varios contextos, la topología de un espacio se especifica convenientemente en términos de puntos límite . En muchos casos, esto se logra especificando cuándo un punto es el límite de una secuencia , pero para algunos espacios que son demasiado grandes en algún sentido, se especifica también cuándo un punto es el límite de conjuntos más generales de puntos indexados por una secuencia dirigida. conjunto , conocido como redes . Una función es (Heine-) continua sólo si lleva límites de secuencias a límites de secuencias. En el primer caso, la preservación de los límites también es suficiente; en el segundo, una función puede preservar todos los límites de las secuencias y aun así dejar de ser continua, y la preservación de las redes es una condición necesaria y suficiente.

En detalle, una función f : X → Y es secuencialmente continua si siempre que una secuencia ( x _n ) en X converge a un límite x , la secuencia ( f ( x _n )) converge af ( x ). Por tanto, las funciones secuencialmente continuas "conservan los límites secuenciales". Cada función continua es secuencialmente continua. Si X es un primer espacio contable y la elección contable se cumple, entonces también se cumple lo contrario: cualquier función que preserve los límites secuenciales es continua. En particular, siX es un espacio métrico, la continuidad secuencial y la continuidad son equivalentes. Para los espacios que no se cuentan por primera vez, la continuidad secuencial puede ser estrictamente más débil que la continuidad. (Los espacios para los que las dos propiedades son equivalentes se denominan espacios secuenciales ). Esto motiva la consideración de redes en lugar de secuencias en los espacios topológicos generales. Las funciones continuas conservan los límites de las redes y, de hecho, esta propiedad caracteriza a las funciones continuas.

Por ejemplo, considere el caso de funciones con valores reales de una variable real: ^[16]

Teorema  :  una función es continua en si y solo si es secuencialmente continua en ese punto.${\displaystyle f\colon A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$

Prueba

Proof. Assume that ${\displaystyle f\colon A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ is continuous at ${\displaystyle x_{0}}$ (in the sense of ϵ − δ {\displaystyle \epsilon -\delta } continuity). Let ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$ be a sequence converging at ${\displaystyle x_{0}}$ (such a sequence always exists, e.g. ${\displaystyle x_{n}=x,\forall n}$); since ${\displaystyle f}$ is continuous at ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists \delta _{\epsilon }>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{\epsilon }\implies |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon .\quad (*)}$ For any such ${\displaystyle \delta _{\epsilon }}$ we can find a natural number ${\displaystyle \nu _{\epsilon }>0}$ such that ${\displaystyle \forall n>\nu _{\epsilon }}$ ${\displaystyle |x_{n}-x_{0}|<\delta _{\epsilon },}$ since ${\displaystyle (x_{n})}$ converges at ${\displaystyle x_{0}}$; combining this with ${\displaystyle (*)}$ we obtain ${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists \nu _{\epsilon }>0:\forall n>\nu _{\epsilon }\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon .}$ Assume on the contrary that ${\displaystyle f}$ is sequentially continuous and proceed by contradiction: suppose ${\displaystyle f}$ is not continuous at ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \exists \epsilon >0:\forall \delta _{\epsilon }>0,\,\exists x_{\delta _{\epsilon }}:0<|x_{\delta _{\epsilon }}-x_{0}|<\delta _{\epsilon }\implies |f(x_{\delta _{\epsilon }})-f(x_{0})|>\epsilon }$ then we can take ${\displaystyle \delta _{\epsilon }=1/n,\,\forall n>0}$ and call the corresponding point ${\displaystyle x_{\delta _{\epsilon }}=:x_{n}}$: in this way we have defined a sequence ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$ such that ${\displaystyle \forall n>0\quad |x_{n}-x_{0}|<{\frac {1}{n}},\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|>\epsilon }$ by construction ${\displaystyle x_{n}\to x_{0}}$ but ${\displaystyle f(x_{n})\not \to f(x_{0})}$, which contradicts the hypothesis of sequentially continuity. ∎

Closure operator and interior operator definitions

In terms of the interior operator, a function ${\displaystyle f:X\to Y}$ between topological spaces is continuous if and only if for every subset ${\displaystyle B\subseteq Y,}$

${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {int} _{Y}B\right)~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(f^{-1}(B)\right).}$

In terms of the closure operator, ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous if and only if for every subset ${\displaystyle A\subseteq X,}$

${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).}$

That is to say, given any element ${\displaystyle x\in X}$ that belongs to the closure of a subset ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ necessarily belongs to the closure of ${\displaystyle f(A)}$ in ${\displaystyle Y.}$ If we declare that a point ${\displaystyle x}$ is close to a subset ${\displaystyle A\subseteq X}$ if ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$ then this terminology allows for a plain English description of continuity: ${\displaystyle f}$ is continuous if and only if for every subset ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$ maps points that are close to ${\displaystyle A}$ to points that are close to ${\displaystyle f(A).}$ Similarly, ${\displaystyle f}$ is continuous at a fixed given point ${\displaystyle x\in X}$ if and only if whenever ${\displaystyle x}$ is close to a subset ${\displaystyle A\subseteq X,}$ then ${\displaystyle f(x)}$ is close to ${\displaystyle f(A).}$

Instead of specifying topological spaces by their open subsets, any topology on ${\displaystyle X}$ can alternatively be determined by a closure operator or by an interior operator. Specifically, the map that sends a subset ${\displaystyle A}$ of a topological space ${\displaystyle X}$ to its topological closure ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ satisfies the Kuratowski closure axioms and conversely, for any closure operator ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {cl} A}$ there exists a unique topology ${\displaystyle \tau }$ on ${\displaystyle X}$ (specifically, ${\displaystyle \tau :=\{X\setminus \operatorname {cl} A:A\subseteq X\}}$) such that for every subset ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A}$ is equal to the topological closure ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ of ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle (X,\tau ).}$ If the sets ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are each associated with closure operators (both denoted by ${\displaystyle \operatorname {cl} }$) then a map ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous if and only if ${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} A\right)\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}$ for every subset ${\displaystyle A\subseteq X.}$

Similarly, the map that sends a subset ${\displaystyle A}$ of ${\displaystyle X}$ to its topological interior ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}$ defines an interior operator and conversely, any interior operator ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {int} A}$ induces a unique topology ${\displaystyle \tau }$ on ${\displaystyle X}$ (specifically, ${\displaystyle \tau :=\{\operatorname {int} A:A\subseteq X\}}$) such that for every ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A}$ is equal to the topological interior ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}$ of ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle (X,\tau ).}$ If the sets ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are each associated with interior operators (both denoted by ${\displaystyle \operatorname {int} }$) then a map ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous if and only if ${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {int} B\right)\subseteq \operatorname {int} \left(f^{-1}(B)\right)}$ for every subset ${\displaystyle B\subseteq Y.}$^[17]

Filters and prefilters

Main article: Filters in topology

Continuity can also be characterized in terms of filters. A function ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous if and only if whenever a filter ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ on ${\displaystyle X}$ converges in ${\displaystyle X}$ to a point ${\displaystyle x\in X,}$ then the prefilter ${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$ converges in ${\displaystyle Y}$ to ${\displaystyle f(x).}$ This characterization remains true if the word "filter" is replaced by "prefilter."^[15]

Properties

If f: X → Y and g: Y → Z are continuous, then so is the composition g ∘ f: X → Z. If f: X → Y is continuous and

• X is compact, then f(X) is compact.
• X is connected, then f(X) is connected.
• X is path-connected, then f(X) is path-connected.
• X is Lindelöf, then f(X) is Lindelöf.
• X is separable, then f(X) is separable.

The possible topologies on a fixed set X are partially ordered: a topology τ₁ is said to be coarser than another topology τ₂ (notation: τ₁ ⊆ τ₂) if every open subset with respect to τ₁ is also open with respect to τ₂. Then, the identity map

id_X: (X, τ₂) → (X, τ₁)

is continuous if and only if τ₁ ⊆ τ₂ (see also comparison of topologies). More generally, a continuous function

${\displaystyle (X,\tau _{X})\rightarrow (Y,\tau _{Y})}$

stays continuous if the topology τ_Y is replaced by a coarser topology and/or τ_X is replaced by a finer topology.

Homeomorphisms

Symmetric to the concept of a continuous map is an open map, for which images of open sets are open. In fact, if an open map f has an inverse function, that inverse is continuous, and if a continuous map g has an inverse, that inverse is open. Given a bijective function f between two topological spaces, the inverse function f⁻¹ need not be continuous. A bijective continuous function with continuous inverse function is called a homeomorphism.

If a continuous bijection has as its domain a compact space and its codomain is Hausdorff, then it is a homeomorphism.

Defining topologies via continuous functions

Given a function

${\displaystyle f\colon X\rightarrow S,}$

where X is a topological space and S is a set (without a specified topology), the final topology on S is defined by letting the open sets of S be those subsets A of S for which f⁻¹(A) is open in X. If S has an existing topology, f is continuous with respect to this topology if and only if the existing topology is coarser than the final topology on S. Thus the final topology can be characterized as the finest topology on S that makes f continuous. If f is surjective, this topology is canonically identified with the quotient topology under the equivalence relation defined by f.

Dually, for a function f from a set S to a topological space X, the initial topology on S is defined by designating as an open set every subset A of S such that ${\displaystyle A=f^{-1}(U)}$ for some open subset U of X. If S has an existing topology, f is continuous with respect to this topology if and only if the existing topology is finer than the initial topology on S. Thus the initial topology can be characterized as the coarsest topology on S that makes f continuous. If f is injective, this topology is canonically identified with the subspace topology of S, viewed as a subset of X.

A topology on a set S is uniquely determined by the class of all continuous functions ${\displaystyle S\rightarrow X}$ into all topological spaces X. Dually, a similar idea can be applied to maps ${\displaystyle X\rightarrow S.}$

Related notions

Various other mathematical domains use the concept of continuity in different, but related meanings. For example, in order theory, an order-preserving function f: X → Y between particular types of partially ordered sets X and Y is continuous if for each directed subset A of X, we have sup(f(A)) = f(sup(A)). Here sup is the supremum with respect to the orderings in X and Y, respectively. This notion of continuity is the same as topological continuity when the partially ordered sets are given the Scott topology.^[18][19]

In category theory, a functor

${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$

between two categories is called continuous, if it commutes with small limits. That is to say,

${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}F(C_{i})\cong F\left(\varprojlim _{i\in I}C_{i}\right)}$

for any small (i.e., indexed by a set I, as opposed to a class) diagram of objects in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

A continuity space is a generalization of metric spaces and posets,^[20][21] which uses the concept of quantales, and that can be used to unify the notions of metric spaces and domains.^[22]

See also

• Absolute continuity
• Classification of discontinuities
• Coarse function
• Continuous function (set theory)
• Continuous stochastic process
• Dini continuity
• Equicontinuity
• Normal function
• Open and closed maps
• Piecewise
• Symmetrically continuous function

• Direction-preserving function - an analogue of a continuous function in discrete spaces.

References

Wikimedia Commons has media related to Continuity (functions).

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Bibliography

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