En finanzas matemáticas , el modelo Cox-Ingersoll-Ross (CIR) describe la evolución de las tasas de interés . Es un tipo de "modelo de un factor" ( modelo de tasa corta ), ya que describe los movimientos de las tasas de interés como impulsados por una sola fuente de riesgo de mercado . El modelo se puede utilizar en la valoración de derivados de tipos de interés . Fue introducido en 1985 por John C. Cox , Jonathan E. Ingersoll y Stephen A. Ross como una extensión del modelo Vasicek .
El modelo
El modelo CIR especifica que la tasa de interés instantánea sigue la ecuación diferencial estocástica , también denominada Proceso CIR:
dónde es un proceso de Wiener (modelando el factor de riesgo de mercado aleatorio) y, , y son los parámetros . El parámetro corresponde a la velocidad de ajuste a la media , y a la volatilidad. El factor de deriva,, es exactamente igual que en el modelo de Vasicek. Asegura la reversión media del tipo de interés hacia el valor a largo plazo, con velocidad de ajuste gobernada por el parámetro estrictamente positivo .
El factor de desviación estándar ,, evita la posibilidad de tipos de interés negativos para todos los valores positivos de y . También se excluye una tasa de interés de cero si la condición
se cumple. De manera más general, cuando la tasa () es cercana a cero, la desviación estándar () también se vuelve muy pequeño, lo que amortigua el efecto del impacto aleatorio en la frecuencia. En consecuencia, cuando la tasa se acerca a cero, su evolución queda dominada por el factor de deriva, que empuja la tasa hacia arriba (hacia el equilibrio ).
Este proceso se puede definir como una suma del proceso de Ornstein-Uhlenbeck al cuadrado . El CIR es un proceso ergódico y posee una distribución estacionaria. El mismo proceso se utiliza en el modelo de Heston para modelar la volatilidad estocástica.
Distribución
- Distribución futura
- La distribución de valores futuros de un proceso CIR se puede calcular en forma cerrada:
- dónde , e Y es una distribución chi-cuadrado no central con grados de libertad y parámetro de no centralidad . Formalmente, la función de densidad de probabilidad es:
- dónde , , , y es una función de Bessel modificada del primer tipo de orden .
- Distribución asintótica
- Debido a la reversión a la media, a medida que aumenta el tiempo, la distribución de se acercará a una distribución gamma con la densidad de probabilidad de:
- dónde y .
Derivación de la distribución asintótica |
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Para derivar la distribución asintótica para el modelo CIR, debemos utilizar la ecuación de Fokker-Planck : Nuestro interés está en el caso particular cuando , que conduce a la ecuación simplificada: Definiendo y y reorganizar los términos conduce a la ecuación: La integración nos muestra que: En el rango , esta densidad describe una distribución gamma. Por lo tanto, la distribución asintótica del modelo CIR es una distribución gamma. |
Propiedades
- Reversión media ,
- Volatilidad dependiente del nivel (),
- Por dado positivo el proceso nunca tocará cero, si ; de lo contrario, ocasionalmente puede tocar el punto cero,
- , entonces la media a largo plazo es ,
Calibración
- El SDE continuo se puede discretizar de la siguiente manera
- que es equivalente a
- previsto es niid (0,1). Esta ecuación se puede utilizar para una regresión lineal.
- Estimación martingala
- Máxima verosimilitud
Simulación
La simulación estocástica del proceso CIR se puede lograr utilizando dos variantes:
- Discretización
- Exacto
Precios de bonos
Bajo el supuesto de no arbitraje, se puede fijar el precio de un bono utilizando este proceso de tasa de interés. El precio del bono es exponencial afín en la tasa de interés:
dónde
Extensiones
Un proceso CIR es un caso especial de difusión de salto afín básico , que aún permite una expresión de forma cerrada para los precios de los bonos. Se pueden introducir en el modelo funciones variables en el tiempo que reemplacen a los coeficientes para que sea coherente con una estructura temporal preasignada de tipos de interés y posiblemente volatilidades. El enfoque más general se encuentra en Maghsoodi (1996). Un enfoque más manejable es el de Brigo y Mercurio (2001b) donde se agrega al modelo un cambio externo dependiente del tiempo para mantener la coherencia con una estructura de términos de entrada de tarifas. Lin Chen (1996) da una extensión significativa del modelo CIR al caso de la media estocástica y la volatilidad estocástica y se conoce como modelo de Chen . Una extensión más reciente es la denominada CIR # de Orlando, Mininni y Bufalo (2018, [1] 2019, [2] [3] ).
Ver también
Referencias
- ^ Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (2018). "Un nuevo enfoque para el modelado de tasas a corto plazo del CIR". Nuevos métodos en la modelización de la renta fija . Contribuciones a la ciencia de la gestión. Springer International Publishing: 35–43. doi : 10.1007 / 978-3-319-95285-7_2 . ISBN 978-3-319-95284-0.
- ^ Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (1 de enero de 2019). "Un nuevo enfoque para pronosticar los tipos de interés del mercado a través del modelo CIR". Estudios en Economía y Finanzas . antes de la impresión (antes de la impresión). doi : 10.1108 / SEF-03-2019-0116 . ISSN 1086-7376 .
- ^ Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (19 de agosto de 2019). "Calibración de tipos de interés con un modelo CIR". La Revista de Financiamiento de Riesgos . 20 (4): 370–387. doi : 10.1108 / JRF-05-2019-0080 . ISSN 1526-5943 .
Referencias adicionales
- Hull, John C. (2003). Opciones, futuros y otros derivados . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . ISBN 0-13-009056-5.
- Cox, JC, JE Ingersoll y SA Ross (1985). "Una teoría de la estructura temporal de las tasas de interés". Econometrica . 53 (2): 385–407. doi : 10.2307 / 1911242 . JSTOR 1911242 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Maghsoodi, Y. (1996). "Solución de la Estructura de Plazos del CIR extendido y Valoración de la Opción de Bonos". Finanzas matemáticas . 6 (6): 89–109. doi : 10.1111 / j.1467-9965.1996.tb00113.x .
- Damiano Brigo; Fabio Mercurio (2001). Modelos de tasas de interés: teoría y práctica con sonrisa, inflación y crédito (2ª ed. 2006 ed.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
- Brigo, Damiano; Fabio Mercurio (2001b). "Una extensión de cambio determinista de modelos de tasa corta analíticamente manejables y homogéneos en el tiempo" . Finanzas y estocásticos . 5 (3): 369–388. doi : 10.1007 / PL00013541 . S2CID 35316609 .
- Biblioteca de código abierto que implementa el proceso CIR en python
- Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa María; Bufalo, Michele (2020). "Pronóstico de tipos de interés a través de modelos Vasicek y CIR: un enfoque de partición". Journal of Forecasting . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . doi : 10.1002 / para.2642 . ISSN 1099-131X . S2CID 126507446 .