En matemáticas , la condición de límite de Neumann (o de segundo tipo ) es un tipo de condición de límite , que lleva el nombre de Carl Neumann . [1] Cuando se impone a una ecuación diferencial ordinaria o parcial , la condición especifica los valores de la derivada aplicados en el límite del dominio .
Es posible describir el problema utilizando otras condiciones de frontera: una condición de frontera de Dirichlet especifica los valores de la solución en sí misma (en oposición a su derivada) en la frontera, mientras que la condición de frontera de Cauchy , la condición de frontera mixta y la condición de frontera de Robin son todas diferentes tipos de combinaciones de las condiciones de frontera de Neumann y Dirichlet.
Ejemplos de
ODA
Para una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo,
las condiciones de frontera de Neumann en el intervalo [ a , b ] toman la forma
donde α y β se dan números.
PDE
Para una ecuación diferencial parcial, por ejemplo,
donde ∇ 2 denota el operador de Laplace , las condiciones de frontera de Neumann en un dominio Ω ⊂ R n toman la forma
donde n denota la normal (normalmente exterior) al límite ∂Ω , yf es una función escalar dada .
La derivada normal , que aparece en el lado izquierdo, se define como
donde ∇ y ( x ) representa el vector gradiente de y ( x ) , n̂ es la unidad normal y ⋅ representa el operador del producto interno .
Se hace evidente que el límite debe ser lo suficientemente suave como para que pueda existir la derivada normal, ya que, por ejemplo, en los puntos de las esquinas del límite, el vector normal no está bien definido.
Aplicaciones
Las siguientes aplicaciones implican el uso de condiciones de contorno de Neumann:
- En termodinámica , un flujo de calor prescrito de una superficie serviría como condición de contorno. Por ejemplo, un aislante perfecto no tendría flujo, mientras que un componente eléctrico podría disiparse a una potencia conocida.
- En magnetostática , la intensidad del campo magnético se puede prescribir como condición límite para encontrar la distribución de la densidad del flujo magnético en una matriz de imanes en el espacio, por ejemplo, en un motor de imanes permanentes. Dado que los problemas en magnetostática implican resolver la ecuación de Laplace o la ecuación de Poisson para el potencial escalar magnético , la condición de frontera es una condición de Neumann.
Ver también
Referencias
- ^ Cheng, AH-D .; Cheng, DT (2005). "Patrimonio e historia temprana del método del elemento de frontera". Análisis de ingeniería con elementos de contorno . 29 (3): 268. doi : 10.1016 / j.enganabound.2004.12.001 .