En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , el cono de un funtor es una noción abstracta que se usa para definir el límite de ese funtor . Los conos también hacen otras apariciones en la teoría de categorías.
Definición
Deje F : J → C sea un diagrama en C . Formalmente, un diagrama es nada más que un funtor de J a C . El cambio en la terminología refleja el hecho de que pensamos en F como la indexación de una familia de objetos y morfismos en C . La categoría J se considera una "categoría de índice". Se debería considerar esto en analogía con el concepto de una familia indexada de objetos en la teoría de conjuntos . La principal diferencia es que aquí también tenemos morfismos. Así, por ejemplo, cuando J es una categoría discreta , corresponde más estrechamente a la idea de una familia indexada en la teoría de conjuntos. Otro ejemplo común y más interesante toma J como un tramo . J también puede tomarse como la categoría vacía, que conduce a los conos más simples.
Deje que N sea un objeto de C . Un cono de N a F es una familia de morfismos
para cada objeto X de J , tal que para cada morfismo f : X → Y en J el siguiente diagrama conmuta :
El (generalmente infinito) colección de todos estos triángulos puede ser (parcialmente) se representa en la forma de un cono con el vértice N . El cono ψ a veces se dice que tiene vértice N y de base F .
También se puede definir la noción dual de un cono de F a N (también llamado co-cono ) invirtiendo todas las flechas anteriores. Explícitamente, un co-cono de F a N es una familia de morfismos
para cada objeto X de J , tal que para cada morfismo f : X → Y en J el siguiente diagrama conmuta:
Formulaciones equivalentes
A primera vista, los conos parecen ser construcciones ligeramente anormales en la teoría de categorías. Son mapas de un objeto a un functor (o viceversa). De acuerdo con el espíritu de la teoría de categorías, nos gustaría definirlos como morfismos u objetos en alguna categoría adecuada. De hecho, podemos hacer ambas cosas.
Sea J una categoría pequeña y sea C J la categoría de diagramas de tipo J en C (esto no es más que una categoría de functor ). Definir el funtor diagonal Δ: C → C J como sigue: Δ ( N ): J → C es el funtor constante a N para todos N en C .
Si F es un diagrama de tipo J en C , las siguientes declaraciones son equivalentes:
- ψ es un cono de N a F
- ψ es una transformación natural de Δ ( N ) a F
- ( N , ψ) es un objeto en la categoría de coma (Δ ↓ F )
Las declaraciones duales también son equivalentes:
- ψ es un co-cono de F a N
- ψ es una transformación natural de F a Δ ( N )
- ( N , ψ) es un objeto en la categoría de coma ( F ↓ Δ)
Todas estas declaraciones pueden verificarse mediante una sencilla aplicación de las definiciones. Pensando en los conos como transformaciones naturales, vemos que son solo morfismos en C J con fuente (o destino) un functor constante.
Categoría de conos
Por lo anterior, podemos definir la categoría de conos a F como la categoría de coma (Δ ↓ F ). Los morfismos de los conos son solo morfismos en esta categoría. Esta equivalencia se basa en la observación de que un mapa natural entre constantes funtores Delta ( N ), Delta ( M ) corresponde a un morfismo entre N y M . En este sentido, el funtor diagonal actúa trivialmente sobre las flechas. De manera similar, escribir la definición de un mapa natural de un funtor constante Δ ( N ) a F produce el mismo diagrama que el anterior. Como era de esperar, un morfismo de un cono ( N , ψ) a un cono ( L , φ) es solo un morfismo N → L tal que todos los diagramas "obvios" conmutan (consulte el primer diagrama en la siguiente sección).
Asimismo, la categoría de co-conos de F es la categoría de coma ( F ↓ Δ).
Conos universales
Los límites y colimits se definen como conos universales . Es decir, conos a través de los cuales factorizan todos los demás conos. Un cono φ de L a F es un cono universal si para cualquier otro cono ψ de N a F hay un morfismo único de ψ a φ.
De manera equivalente, un cono universal a F es un morfismo universal de Δ a F (pensado como un objeto en C J ), o un objeto terminal en (Δ ↓ F ).
Doblemente, un cono φ de F a L es un cono universal si para cualquier otro cono ψ de F a N hay un morfismo único de φ a ψ.
De manera equivalente, un cono universal de F es un morfismo universal de F a Δ, o un objeto inicial en ( F ↓ Δ).
El límite de F es un cono universal a la F , y el colimit es un cono universal a partir de F . Al igual que con todas las construcciones universales, no se garantiza que existan conos universales para todos los diagramas F , pero si existen, son únicos hasta un isomorfismo único (en la categoría de coma (Δ ↓ F )).
Ver también
- Límite inverso # Conos : generalización de productos, retrocesos, intersecciones y otras construcciones
Referencias
- Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-98403-8.
- Borceux, Francis (1994). "Límites". Manual de álgebra categórica . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones 50-51, 53 [es decir, 52]. Volumen 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.
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