En matemáticas , la construcción Cayley-Dickson , que lleva el nombre de Arthur Cayley y Leonard Eugene Dickson , produce una secuencia de álgebras sobre el campo de los números reales , cada una con el doble de dimensión que la anterior. Las álgebras producidas por este proceso se conocen como álgebras de Cayley-Dickson , por ejemplo , números complejos , cuaterniones y octoniones . Estos ejemplos son álgebras de composición útiles que se aplican con frecuencia en física matemática .
La construcción de Cayley-Dickson define un nuevo álgebra similar a la suma directa de un álgebra consigo mismo, con la multiplicación definida de una manera específica (diferente de la multiplicación proporcionada por la suma directa genuina) y una involución conocida como conjugación . El producto de un elemento y su conjugado (o, a veces, la raíz cuadrada de este producto) se llama norma .
Las simetrías del campo real desaparecen cuando se aplica repetidamente la construcción de Cayley-Dickson: primero el orden de pérdida , luego la conmutatividad de la multiplicación, la asociatividad de la multiplicación y la siguiente la alternatividad .
De manera más general, la construcción de Cayley-Dickson toma cualquier álgebra con involución a otra álgebra con involución del doble de dimensión. [1] : 45
Álgebra | dimen- sión | Ordenado | Propiedades de multiplicación | Nontriv. divisores cero | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
comu- repre- | aso- ativa | alter- nativa | Power- assoc. | ||||
Numeros reales | 1 | sí | sí | sí | sí | sí | No |
Núm complejo | 2 | No | sí | sí | sí | sí | No |
Cuaterniones | 4 | No | No | sí | sí | sí | No |
Octonions | 8 | No | No | No | sí | sí | No |
Sedeniones | dieciséis | No | No | No | No | sí | sí |
≥ 32 |
El teorema de Hurwitz (álgebras de composición) establece que los reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones son las únicas álgebras de división (normalizadas) (sobre los números reales).
Sinopsis
La construcción de Cayley-Dickson se debe a Leonard Dickson en 1919 que muestra cómo los números de Cayley pueden construirse como un álgebra bidimensional sobre cuaterniones . De hecho, comenzando con un campo F , la construcción produce una secuencia de F -álgebras de dimensión 2 n . Para n = 2 es un álgebra asociativa llamada álgebra de cuaterniones , y para n = 3 es un álgebra alternativa llamada álgebra de octoniones . Estos casos n = 1, 2 y 3 producen álgebras de composición como se muestra a continuación.
El caso n = 1 comienza con los elementos ( a , b ) en F × F y define ( a , b ) * como ( a *, - b ) donde a * = a en el caso n = 1, y posteriormente determinado por la formula. La esencia del álgebra F radica en la definición del producto de dos elementos ( a , b ) y ( c , d ):
Proposición 1: Por y el conjugado del producto es
- prueba:
Proposición 2: Si la F -álgebra es asociativa y,luego
- prueba: + términos que cancelan por la propiedad asociativa.
Etapas en la construcción de álgebras reales
Los detalles de la construcción de las álgebras reales clásicas son los siguientes:
Números complejos como pares ordenados
Los números complejos se pueden escribir como pares ordenados ( a , b ) de números reales a y b , siendo el operador de suma componente a gota y con la multiplicación definida por
Un número complejo cuyo segundo componente es cero está asociado con un número real: el número complejo ( a , 0) está asociado con el número real a .
El conjugado complejo ( a , b ) * de ( a , b ) viene dado por
ya que a es un número real y es su propio conjugado.
El conjugado tiene la propiedad de que
que es un número real no negativo. De esta manera, la conjugación define una norma , haciendo de los números complejos un espacio vectorial normalizado sobre los números reales: la norma de un número complejo z es
Además, para cualquier número complejo z distinto de cero , la conjugación da un inverso multiplicativo ,
Como un número complejo consta de dos números reales independientes, forman un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales.
Además de ser de dimensión superior, se puede decir que los números complejos carecen de una propiedad algebraica de los números reales: un número real es su propio conjugado.
Cuaterniones
El siguiente paso en la construcción es generalizar las operaciones de multiplicación y conjugación.
Formulario de pares ordenados ( a , b ) de números complejos a y b , con la multiplicación definida por
Son posibles ligeras variaciones de esta fórmula; las construcciones resultantes darán estructuras idénticas hasta los signos de las bases.
El orden de los factores parece extraño ahora, pero será importante en el siguiente paso.
Defina el conjugado ( a , b ) * de ( a , b ) por
Estos operadores son extensiones directas de sus análogos complejos: si una y b se han tomado de la subconjunto real de los números complejos, la aparición del conjugado en las fórmulas no tiene ningún efecto, por lo que los operadores son los mismos que los de los números complejos.
El producto de un elemento distinto de cero con su conjugado es un número real no negativo:
Como antes, el conjugado produce una norma y una inversa para cualquier par ordenado. Entonces, en el sentido que explicamos anteriormente, estos pares constituyen un álgebra similar a los números reales. Son los cuaterniones , nombrados por Hamilton en 1843.
Como un cuaternión consta de dos números complejos independientes, forman un espacio vectorial de cuatro dimensiones sobre los números reales.
Sin embargo, la multiplicación de cuaterniones no es como la multiplicación de números reales; no es conmutativa - es decir, si p y q son los cuaterniones, que no siempre es cierto que PQ = QP .
Octonions
Todos los pasos para crear más álgebras son los mismos a partir de los octoniones.
Esta vez, la forma pares ordenados ( p , q ) de cuaterniones p y q , con la multiplicación y la conjugación definidas exactamente como para los cuaterniones:
Sin embargo, tenga en cuenta que debido a que los cuaterniones no son conmutativos, el orden de los factores en la fórmula de multiplicación se vuelve importante: si el último factor en la fórmula de multiplicación fuera r * q en lugar de qr * , la fórmula para la multiplicación de un elemento por su conjugado no daría un número real.
Exactamente por las mismas razones que antes, el operador de conjugación produce una norma y un inverso multiplicativo de cualquier elemento distinto de cero.
Esta álgebra fue descubierta por John T. Graves en 1843 y se llama octoniones o " números de Cayley ".
Como un octonión consta de dos cuaterniones independientes, forman un espacio vectorial de ocho dimensiones sobre los números reales.
La multiplicación de octoniones es aún más extraña que la de cuaterniones; además de ser no conmutativo, no es asociativa - es decir, si p , q , y r son octoniones, no siempre es cierto que ( pq ) r = p ( qr ) .
Debido a esta no asociatividad, los octoniones no tienen representación matricial .
Más álgebras
El álgebra que sigue inmediatamente a los octoniones se llama sedeniones . Conserva una propiedad algebraica llamada asociatividad de potencia , lo que significa que si s es una sedenión, s n s m = s n + m , pero pierde la propiedad de ser un álgebra alternativa y por lo tanto no puede ser un álgebra de composición .
La construcción de Cayley-Dickson se puede llevar a cabo ad infinitum , produciendo en cada paso un álgebra asociativa de potencia cuya dimensión es el doble que la del álgebra del paso anterior. Todas las álgebras generadas de esta manera sobre un campo son cuadráticas : es decir, cada elemento satisface una ecuación cuadrática con coeficientes del campo. [1] : 50
En 1954, RD Schafer examinó las álgebras generadas por el proceso de Cayley-Dickson sobre un campo F y demostró que satisfacen la identidad flexible . [2] También demostró que cualquier álgebra derivación de un álgebra de Cayley-Dickson es isomorfo al álgebra derivación de números de Cayley, un 14-dimensional álgebra de Lie sobre F . [ cita requerida ]
Construcción Cayley-Dickson modificada
La construcción Cayley-Dickson, a partir de los números reales , genera las álgebras de composición (los números complejos ),(los cuaterniones ), y(las octoniones ). También existen álgebras de composición cuya norma es una forma cuadrática isotrópica , que se obtienen mediante una ligera modificación, reemplazando el signo menos en la definición del producto de pares ordenados por un signo más, de la siguiente manera:
Cuando esta construcción modificada se aplica a , se obtienen los números complejos divididos , que son isomorfos en anillo al producto directo a continuación, se obtienen los cuaterniones divididos , un álgebra asociativa isomorfa a la de las matrices reales 2 × 2 ; y los octoniones divididos , que son isomorfos a Zorn (ℝ) . La aplicación de la construcción Cayley-Dickson original a los complejos divididos también da como resultado los cuaterniones divididos y luego los octoniones divididos. [3]
Construcción general Cayley-Dickson
Albert (1942 , p. 171) dio una ligera generalización, definiendo el producto y la involución en B = A ⊕ A para A un álgebra con involución (con ( xy ) * = y * x * ) como
para γ un mapa aditivo que conmuta con * y la multiplicación de izquierda y derecha por cualquier elemento. (Sobre los reales, todas las opciones de γ son equivalentes a -1, 0 o 1.) En esta construcción, A es un álgebra con involución, lo que significa:
- A es un grupo abeliano bajo +
- A tiene un producto que es distributivo a izquierda y derecha sobre +
- A tiene una involución * , con ( x *) * = x , ( x + y ) * = x * + y * , ( xy ) * = y * x * .
El álgebra B = A ⊕ A producida por la construcción de Cayley-Dickson también es un álgebra con involución.
B hereda las propiedades de A sin cambios de la siguiente manera.
- Si A tiene una identidad 1 A , entonces B tiene una identidad (1 A , 0) .
- Si A tiene la propiedad de que x + x * , xx * asocian y conmutan con todos los elementos, entonces B también . Esta propiedad implica que cualquier elemento genera un álgebra * asociativa conmutativa, por lo que, en particular, el álgebra es asociativa de potencia.
Otras propiedades de A solo inducen propiedades más débiles de B :
- Si A es conmutativa y tiene involución trivial, entonces B es conmutativa.
- Si A es conmutativo y asociativo, entonces B es asociativo.
- Si A es asociativo y x + x * , xx * asocia y conmuta con todo, entonces B es un álgebra alternativa .
Notas
- ^ a b Schafer, Richard D. (1995) [1966], Introducción a las álgebras no asociativas , Publicaciones de Dover , ISBN 0-486-68813-5, Zbl 0145.25601
- ^ Richard D. Schafer (1954) "Sobre las álgebras formadas por el proceso Cayley-Dickson", American Journal of Mathematics 76: 435-46 doi : 10.2307 / 2372583
- ^ Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras , pp 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 SEÑOR2014924
Referencias
- Albert, AA (1942), "Formas cuadráticas que permiten la composición", Annals of Mathematics , Second Series, 43 (1): 161-177, doi : 10.2307 / 1968887 , JSTOR 1968887 , MR 0006140 (ver pág.171)
- Baez, John (2002), "The Octonions" , Bulletin of the American Mathematical Society , 39 (2): 145-205, arXiv : math / 0105155 , doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X. (Consulte la " Sección 2.2, La construcción Cayley-Dickson ")
- Dickson, LE (1919), "Sobre los cuaterniones y su generalización y la historia del teorema de los ocho cuadrados", Annals of Mathematics , Segunda serie, Annals of Mathematics, 20 (3): 155-171, doi : 10.2307 / 1967865 , JSTOR 1967865
- Biss, Daniel K .; Christensen, J. Daniel; Dugger, Daniel; Isaksen, Daniel C. (2007). "Grandes aniquiladores en álgebras de Cayley-Dickson II". Boletín de la Sociedad Matematica Mexicana . 3 : 269-292. arXiv : matemáticas / 0702075 .
- Kantor, IL; Solodownikow, AS (1978), Hyperkomplexe Zahlen , Leipzig: BG Teubner (la siguiente referencia da la traducción al inglés de este libro)
- Kantor, IL; Solodovnikov, AS (1989), números Hypercomplex , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96980-0, MR 0996029
- Hamilton, William Rowan (1847), "On Quaternions" , Actas de la Real Academia Irlandesa , 3 : 1–16, ISSN 1393-7197
- Roos, Guy (2008). "Dominios simétricos excepcionales §1: álgebras de Cayley". En Gilligan, Bruce; Roos, Guy (eds.). Simetrías en análisis complejos . Matemáticas contemporáneas. 468 . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4459-5.
Otras lecturas
- Daboul, Jamil; Delbourgo, Robert (1999). "Representaciones matriciales de octoniones y generalizaciones". Revista de Física Matemática . 40 (8): 4134–50. arXiv : hep-th / 9906065 . Código bibliográfico : 1999JMP .... 40.4134D . doi : 10.1063 / 1.532950 .