Sea G un grupo de Lie real o complejo con álgebra de Lie , y denote el álgebra de polinomios valorados en (exactamente el mismo argumento funciona si usamos en lugar de ). Sea la subálgebra de puntos fijos en bajo la acción adjunta de G ; es decir, la subálgebra que consta de todos los polinomios f tales que , para todo g en G y x en ,
llamado homomorfismo de Chern-Weil , donde a la derecha la cohomología es la cohomología de Rham . Este homomorfismo se obtiene tomando polinomios invariantes en la curvatura de cualquier conexión en el paquete dado. Si G es compacto o semi-simple, entonces el anillo de cohomología del espacio de clasificación para G -bundles,, es isomorfo al álgebra de polinomios invariantes:
(El anillo de cohomología de BG todavía se puede dar en el sentido de De Rham:
Si, además, f es invariante; es decir, entonces se puede demostrar que es una forma cerrada , desciende a una forma única en M y que la clase de cohomología de De Rham de la forma es independiente de . Primero, esa es una forma cerrada que se deriva de los dos lemas siguientes: [1]
Lema 1: La forma en P desciende a una forma (única) en M ; es decir, hay un formulario en M al que se retira .
Lema 2: Si una forma de en P desciende a una forma en M , entonces .
De hecho, la segunda identidad de Bianchi dice y, dado que D es una derivación graduada, Finalmente, el Lema 1 dice que satisface la hipótesis del Lema 2.
Para ver el lema 2, sea la proyección y h la proyección de sobre el subespacio horizontal. Entonces el Lema 2 es una consecuencia del hecho de que (el núcleo de es precisamente el subespacio vertical). En cuanto al Lema 1, la primera nota
que es debido y f es invariante. Por tanto, se puede definir mediante la fórmula:
donde están los ascensores de : .
A continuación, mostramos que la clase de cohomología de De Rham de sobre M es independiente de una elección de conexión. [2] Sean formas de conexión arbitrarias en P y sea la proyección. Poner
donde t es una función suave dada por . Sean las formas de curvatura de . Sean las inclusiones. Entonces es homotópico de . Por lo tanto, y pertenecen a la misma clase de cohomología de De Rham por la invariancia de homotopía de la cohomología de De Rham . Finalmente, por naturalidad y singularidad de descender,
y lo mismo para . Por lo tanto, pertenecen a la misma clase de cohomología.
La construcción da así el mapa lineal: (cf. Lema 1)
De hecho, se puede comprobar que el mapa así obtenido:
es un homomorfismo de álgebra .
Ejemplo: clases Chern y carácter Chern
Let y su álgebra de Lie. Para cada x en , podemos considerar su polinomio característico en t : [3]
donde i es la raíz cuadrada de -1. Entonces los polinomios invariantes están activados , ya que el lado izquierdo de la ecuación es. La k -ésima clase Chern de un conjunto de vectores complejos lisos E de rango n en una variedad M :
se da como la imagen de bajo el homomorfismo de Chern-Weil definido por E (o más precisamente el paquete de tramas de E ). Si t = 1, entonces es un polinomio invariante. La clase Chern total de E es la imagen de este polinomio; es decir,
Directamente de la definición, se puede mostrar que y c dado anteriormente citados cumplen los axiomas de clases de Chern. Por ejemplo, para la fórmula de la suma de Whitney, consideramos
donde escribimos para la forma de curvatura 2 en M del paquete de vectores E (por lo que es el descendiente de la forma de curvatura en el paquete de marcos de E ). El homomorfismo de Chern-Weil es el mismo si se usa esto . Ahora, suponga que E es una suma directa de los haces de vectores y la forma de curvatura de de modo que, en el término de la matriz, es la matriz diagonal de bloques con Ω I en la diagonal. Entonces, desde , tenemos:
donde a la derecha la multiplicación es la de un anillo de cohomología: producto de taza . Para la propiedad de normalización, se calcula la primera clase Chern de la línea proyectiva compleja ; ver clase Chern # Ejemplo: el haz tangente complejo de la esfera de Riemann .
Dado que , [4] también tenemos:
Finalmente, el carácter Chern de E viene dado por
donde está la forma de curvatura de alguna conexión en E (dado que es nilpotente, es un polinomio en ). Entonces ch es un homomorfismo de anillo :
Ahora suponga que en algún anillo R que contiene el anillo de cohomología , existe la factorización del polinomio en t :
donde están en R (a veces se les llama raíces de Chern) . Entonces .
Ejemplo: clases Pontrjagin
Si E es un conjunto de vectores reales suaves en una variedad M , entonces la k -ésima clase Pontrjagin de E se da como:
donde escribimos para la complejización de E . De manera equivalente, es la imagen bajo el homomorfismo Chern-Weil del polinomio invariante en dada por:
El homomorfismo de los paquetes de vectores holomórficos
Deje E ser un holomorphic (complejidad) del paquete del vector en un complejo colector M . La forma de curvatura de E , con respecto a alguna métrica hermitiana, no es solo una forma 2, sino que de hecho es una forma (1, 1) (ver paquete de vectores holomórficos # Métricas de Hermitian en un paquete de vectores holomórficos ). Por tanto, el homomorfismo de Chern-Weil asume la forma: con ,
Notas
↑ Kobayashi-Nomizu , 1969 , Cap. XII. harvnb error: no target: CITEREFKobayashi-Nomizu1969 (help)
^ El argumento a favor del independiente de una elección de conexión aquí se toma de: Akhil Mathew, Notas sobre la desaparición de Kodaira "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de diciembre de 2014 . Consultado el 11 de diciembre de 2014 .CS1 maint: copia archivada como título ( enlace ) . Kobayashi-Nomizu, la referencia principal, da un argumento más concreto.
^ Nota editorial: esta definición es consistente con la referencia excepto que tenemos t , que es t −1 allí. Nuestra elección parece más estándar y concuerda con nuestroartículo " Clase Chern ".
^ Demostración: Por definición,. Ahora calcule el cuadrado deusando la regla de Leibniz.
Referencias
Bott, Raoul (1973), "Sobre el homomorfismo de Chern-Weil y la cohomología continua de los grupos de Lie", Advances in Mathematics , 11 (3): 289-303, doi : 10.1016 / 0001-8708 (73) 90012-1.
Chern, Shiing-Shen (1951), Temas de geometría diferencial , Instituto de estudios avanzados, notas de clase mimeografiadas.
Chern, Shiing-Shen (1995), colectores complejos sin teoría de potencial , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0 . (El apéndice de este libro, "Geometría de clases características", es una introducción muy clara y profunda al desarrollo de las ideas de clases características).
Chern, Shiing-Shen ; Simons, James (1974), "Formas características e invariantes geométricos", Annals of Mathematics , Second Series, 99 (1): 48–69, doi : 10.2307 / 1971013 , JSTOR 1971013.
Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963), Fundamentos de la geometría diferencial, vol. 2 (nueva ed.), Wiley-Interscience (publicado en 2004), MR 0152974.
Narasimhan, MS ; Ramanan, S. (1961), "Existencia de conexiones universales" (PDF) , American Journal of Mathematics , 83 (3): 563–572, doi : 10.2307 / 2372896 , hdl : 10338.dmlcz / 700905 , JSTOR 2372896 , MR 0133772.
Morita, Shigeyuki (2000), "Geometría de formas diferenciales", Traducciones de monografías matemáticas , 201 , MR 1851352.
Otras lecturas
Freed, Daniel S .; Hopkins, Michael J. (2013). "Formas de Chern-Weil y teoría de la homotopía abstracta". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . (NS). 50 (3): 431–468. arXiv : 1301.5959 . doi : 10.1090 / S0273-0979-2013-01415-0 . Señor 3049871 .