En matemáticas, los objetos compactos , también denominados objetos presentados de forma finita u objetos de presentación finita , son objetos de una categoría que satisfacen una determinada condición de finitud.
Definición
Un objeto X en una categoría C que admite todos los colimits filtrados (también conocidos como límites directos ) se llama compacto si el functor
conmuta con colimits filtrados, es decir, si el mapa natural
es una biyección para cualquier sistema filtrado de objetos en C . [1] Dado que los elementos del colimit filtrado de la izquierda están representados por mapas, para algunos i , la sobrejetividad del mapa anterior equivale a requerir que un mapa factores sobre algunos .
La terminología está motivada por un ejemplo que surge de la topología que se menciona a continuación. Varios autores también utilizan una terminología que está más estrechamente relacionada con las categorías algebraicas: Adámek y Rosický (1994) utilizan la terminología objeto presentado finitamente en lugar de objeto compacto. Kashiwara y Schapira (2006) los denominan objetos de presentación finita .
Compacidad en categorías ∞
La misma definición también se aplica si C es una categoría ∞ , siempre que el conjunto de morfismos anterior sea reemplazado por el espacio de mapeo en C (y los colimits filtrados se entienden en el sentido categórico ∞, a veces también llamados colimits de homotopía filtrados ).
Compacidad en categorías trianguladas
Para una categoría C triangulada que admite todos los coproductos , Neeman (2001) define un objeto como compacto si
conmuta con coproductos. La relación de esta noción y la anterior es la siguiente: supongamos que C surge como la categoría de homotopía de una categoría ∞ estable que admite todos los colimits filtrados. (Esta condición se satisface ampliamente, pero no es automática). Entonces, un objeto en C es compacto en el sentido de Neeman si y sólo si es compacto en el sentido ∞-categórico. La razón es que en una categoría ∞ estable,siempre conmuta con colimits finitos ya que estos son límites. Luego, se usa una presentación de colimits filtrados como coequalizador (que es un colimit finito) de un coproducto infinito.
Ejemplos de
Los objetos compactos en la categoría de conjuntos son precisamente los conjuntos finitos.
Para un anillo R , los objetos compactos en la categoría de módulos R son precisamente los módulos R finamente presentados . En particular, si R es un campo, entonces los objetos compactos son espacios vectoriales de dimensión finita.
Resultados similares son válidos para cualquier categoría de estructuras algebraicas dadas por operaciones en un conjunto que obedecen las leyes de la ecuación. Estas categorías, llamadas variedades , pueden estudiarse sistemáticamente utilizando las teorías de Lawvere . Para cualquier teoría de Lawvere T , existe una categoría Mod ( T ) de modelos de T , y los objetos compactos en Mod ( T ) son precisamente los modelos finitamente presentados. Por ejemplo: supongamos que T es la teoría de grupos. Entonces Mod ( T ) es la categoría de grupos, y los objetos compactos en Mod ( T ) son los grupos finitamente presentados.
Los objetos compactos en la categoría derivada Los módulos R son precisamente los complejos perfectos .
Los espacios topológicos compactos no son los objetos compactos en la categoría de espacios topológicos . En cambio, estos son precisamente los conjuntos finitos dotados de la topología discreta . [2] El vínculo entre la compacidad en topología y la noción categórica anterior de compacidad es el siguiente: para un espacio topológico fijo, existe la categoría cuyos objetos son los subconjuntos abiertos de (e inclusiones como morfismos). Luego, es un espacio topológico compacto si y solo si es compacto como un objeto en .
Si es cualquier categoría, la categoría de pre-despegue (es decir, la categoría de functores de a conjuntos) tiene todos los colimits. La categoría original está conectado a por la incrustación de Yoneda . Para cualquier objeto de , es un objeto compacto (de ).
En una línea similar, cualquier categoría puede considerarse como una subcategoría completa de la categoría de objetos ind en. Considerado como un objeto de esta categoría más amplia, cualquier objeto dees compacto. De hecho, los objetos compactos de son precisamente los objetos de (o, más precisamente, sus imágenes en ).
No ejemplos
Categoría derivada de gavillas de grupos abelianos en una X no compacta
En la categoría derivada ilimitada de gavillas de grupos abelianos para un espacio topológico no compacto , generalmente no es una categoría generada de forma compacta. Se puede encontrar alguna evidencia de esto considerando una cubierta abierta (que nunca se puede refinar a una subcubierta finita utilizando la no compacidad de ) y tomando un mapa
para algunos . Entonces, para este mapa levantar a un elemento
tendría que factorizar a través de algunos , que no está garantizado. Probar esto requiere demostrar que cualquier objeto compacto tiene soporte en algún subconjunto compacto de, y luego mostrar este subconjunto debe estar vacío. [3]
Categoría derivada de poleas cuasi coherentes en una pila Artin
Para pilas algebraicas sobre la característica positiva, la categoría derivada ilimitada de poleas cuasi coherentes en general no se genera de forma compacta, incluso sies cuasi-compacto y cuasi-separado . [4] De hecho, para la pila algebraica, no hay ningún objeto compacto que no sea el objeto cero. Esta observación se puede generalizar al siguiente teorema: si la pila tiene un grupo estabilizador tal que
- se define sobre un campo de característica positiva
- tiene un subgrupo isomorfo a
entonces el único objeto compacto en es el objeto cero. En particular, la categoría no se genera de forma compacta.
Este teorema se aplica, por ejemplo, a por medio de la incrustación enviando un punto a la matriz de identidad más en el -ésima columna en la primera fila.
Categorías generadas de forma compacta
En la mayoría de las categorías, la condición de ser compacto es bastante fuerte, por lo que la mayoría de los objetos no son compactos. Una categoríase genera de forma compacta si cualquier objeto se puede expresar como un colimit filtrado de objetos compactos en. Por ejemplo, cualquier espacio vectorial V es el colimit filtrado de sus subespacios de dimensión finita (es decir, compactos). Por tanto, la categoría de espacios vectoriales (sobre un campo fijo) se genera de forma compacta.
Las categorías que se generan de forma compacta y también admiten todos los colimits se denominan categorías accesibles .
Relación con objetos dualizables
Para las categorías C con un producto tensorial de buen comportamiento (más formalmente, se requiere que C sea una categoría monoidal ), hay otra condición que impone algún tipo de finitud, a saber, la condición de que un objeto es dualizable . Si la unidad monoidal en C es compacta, entonces cualquier objeto dualizable también es compacto. Por ejemplo, R es compacto como un módulo R , por lo que se puede aplicar esta observación. De hecho, en la categoría de módulos R, los objetos dualizables son los módulos proyectivos finamente presentados , que son en particular compactos. En el contexto de las categorías ∞, los objetos dualizables y compactos tienden a estar más estrechamente vinculados, por ejemplo, en la categoría ∞ de complejos de módulos R , los objetos compactos y dualizables coinciden. Este y un ejemplo más general en el que coinciden los objetos dualizables y compactos se analizan en Ben-Zvi, Francis & Nadler (2010) .
Referencias
- ↑ Lurie (2009 , §5.3.4)
- ↑ Adámek y Rosický (1994 , Capítulo 1.A)
- ^ Neeman, Amnón. "Sobre la categoría derivada de poleas en un colector" . Documenta Mathematica . 6 : 483–488.
- ^ Hall, Jack; Neeman, Amnon; Rydh, David (3 de diciembre de 2015). "Un resultado positivo y dos negativos para las categorías derivadas de pilas algebraicas". arXiv : 1405.1888 [ math.AG ].
- Adámek, Jiří; Rosický, Jiří (1994), Categorías localmente presentables y accesibles , Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511600579 , ISBN 0-521-42261-2, MR 1294136
- Ben-Zvi, David; Francis, John; Nadler, David (2010), "Transformaciones integrales y centros Drinfeld en geometría algebraica derivada", Journal of the American Mathematical Society , 23 (4): 909–966, arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090 / S0894-0347-10-00669 -7 , MR 2.669.705 , S2CID 2202294
- Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Categorías y roldanas , Springer Verlag, doi : 10.1007 / 3-540-27950-4 , ISBN 978-3-540-27949-5, MR 2182076
- Lurie, Jacob (2009), Teoría de topos superiores , Annals of Mathematics Studies, 170 , Princeton University Press , arXiv : math.CT / 0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0, MR 2522659