En geometría , un subconjunto de un espacio euclidiano , o más generalmente un espacio afín sobre los reales , es convexo si, dados dos puntos cualesquiera, contiene todo el segmento de línea que los une. De manera equivalente, un conjunto convexo o una región convexa es un subconjunto que interseca cada línea en un solo segmento de línea (posiblemente vacío). [1] [2] Por ejemplo, un cubo sólido es un conjunto convexo, pero todo lo que es hueco o tiene una sangría, por ejemplo, una forma de media luna , no es convexo.
El límite de un conjunto convexo es siempre una curva convexa . La intersección de todos los conjuntos convexos que contienen un subconjunto dado A del espacio euclidiano se llama el casco convexo de A . Es el conjunto convexo más pequeño que contiene A .
Una función convexa es una función de valor real definida en un intervalo con la propiedad de que su epígrafe (el conjunto de puntos sobre o sobre el gráfico de la función) es un conjunto convexo. La minimización convexa es un subcampo de optimización que estudia el problema de minimizar funciones convexas sobre conjuntos convexos. La rama de las matemáticas dedicada al estudio de las propiedades de conjuntos convexos y funciones convexas se denomina análisis convexo .
La noción de conjunto convexo se puede generalizar como se describe a continuación.
Definiciones
Sea S un espacio vectorial o un espacio afín sobre los números reales o, más generalmente, sobre algún campo ordenado . Esto incluye los espacios euclidianos, que son espacios afines. Un subconjunto C de S es convexo si, para todos los x y y en C , el segmento de línea que conecta x y y está incluido en C . Esto significa que la combinación afín (1 - t ) x + ty pertenece a C , para todos los x y y en C , y t en el intervalo [0, 1] . Esto implica que la convexidad (la propiedad de ser convexa) es invariante bajo transformaciones afines . Esto implica también que un conjunto convexo en un espacio vectorial topológico real o complejo está conectado por una trayectoria , por lo tanto conectado .
Un conjunto C esconvexa estrictamente si cada punto en el segmento de línea que conectaxyyaparte de los puntos finales está dentro delinteriorde laC.
Un conjunto C es absolutamente convexo si es convexo y equilibrado .
Los convexas subconjuntos de R (el conjunto de números reales) son los intervalos y los puntos de R . Algunos ejemplos de subconjuntos convexos del plano euclidiano son polígonos regulares sólidos, triángulos sólidos e intersecciones de triángulos sólidos. Algunos ejemplos de subconjuntos convexos de un espacio tridimensional euclidiano son los sólidos de Arquímedes y los sólidos platónicos . Los poliedros de Kepler-Poinsot son ejemplos de conjuntos no convexos.
Conjunto no convexo
Un conjunto que no es convexo se denomina conjunto no convexo . Un polígono que no es un polígono convexo a veces se llama polígono cóncavo , [3] y algunas fuentes usan más generalmente el término conjunto cóncavo para referirse a un conjunto no convexo, [4] pero la mayoría de las autoridades prohíben este uso. [5] [6]
El complemento de un conjunto convexo, como el epígrafe de una función cóncava , a veces se denomina conjunto convexo inverso , especialmente en el contexto de la optimización matemática . [7]
Propiedades
Dados r puntos u 1 , ..., u r en un conjunto convexo S , y r números no negativos λ 1 , ..., λ r tales que λ 1 + ... + λ r = 1 , la combinación afín
Esta combinación afín se llama combinación convexa de u 1 , ..., u r .
Intersecciones y uniones
La colección de subconjuntos convexos de un espacio vectorial, un espacio afín o un espacio euclidiano tiene las siguientes propiedades: [8] [9]
- El conjunto vacío y todo el espacio son convexos.
- La intersección de cualquier colección de conjuntos convexos es convexa.
- La unión de una secuencia de conjuntos convexos es convexa, si forman una cadena no decreciente para su inclusión. Para esta propiedad, la restricción a cadenas es importante, ya que la unión de dos conjuntos convexos no necesita ser convexa.
Conjuntos convexos cerrados
Los conjuntos convexos cerrados son conjuntos convexos que contienen todos sus puntos límite . Ellos pueden ser caracterizados como las intersecciones de cerrados semiespacios (conjuntos de punto en el espacio que se encuentran en y a un lado de un hiperplano ).
De lo que se acaba de decir, está claro que tales intersecciones son convexas y también serán conjuntos cerrados. Para probar lo contrario, es decir, cada conjunto convexo cerrado puede representarse como tal intersección, se necesita el teorema del hiperplano de apoyo en la forma de que para un conjunto convexo cerrado C dado y un punto P fuera de él, hay un semiespacio cerrado H que contiene C y no P . El teorema del hiperplano de apoyo es un caso especial del teorema de análisis funcional de Hahn-Banach .
Conjuntos convexos y rectángulos
Sea C un cuerpo convexo en el plano (un conjunto convexo cuyo interior no está vacío). Podemos inscribir un rectángulo R en C tal que una homotética copia R de r está circunscrito sobre C . La relación de homotecia positiva es como máximo 2 y: [10]
Diagramas de Blaschke-Santaló
El conjunto de todos los cuerpos convexos planos se puede parametrizar en términos del diámetro del cuerpo convexo D , su radio interno r (el círculo más grande contenido en el cuerpo convexo) y su radio circunferencia R (el círculo más pequeño que contiene el cuerpo convexo). De hecho, este conjunto se puede describir mediante el conjunto de desigualdades dado por [11] [12]
Alternativamente, el conjunto también se puede parametrizar por su ancho (la distancia más pequeña entre dos hiperplanos de soporte paralelos diferentes), perímetro y área. [11] [12]
Otras propiedades
Sea X un espacio vectorial topológico y ser convexo.
- y son ambos convexos (es decir, el cierre y el interior de los conjuntos convexos son convexos).
- Si y luego (dónde ).
- Si luego:
- , y
- , dónde es el interior algebraica de C .
Cascos convexos y sumas de Minkowski
Cascos convexos
Cada subconjunto A del espacio vectorial está contenido dentro de un conjunto más pequeño convexa (llamado el casco convexo de A ), es decir, la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen A . El operador de casco convexo Conv () tiene las propiedades características de un operador de casco :
- extenso : S ⊆ Conv ( S ) ,
- no decreciente : S ⊆ T implica que Conv ( S ) ⊆ Conv ( T ) , y
- idempotente : Conv (Conv ( S )) = Conv ( S ) .
La operación de casco convexo es necesaria para que el conjunto de conjuntos convexos forme una celosía , en la que la operación de " unión " es el casco convexo de la unión de dos conjuntos convexos.
Adición de Minkowski
En un espacio vectorial real, la suma de Minkowski de dos conjuntos (no vacíos), S 1 y S 2 , se define como el conjunto S 1 + S 2 formado por la suma de vectores elemento-sabio de los conjuntos de sumandos
Para la suma de Minkowski, el conjunto de ceros {0} que contiene solo el vector cero 0 tiene una importancia especial : para cada subconjunto S no vacío de un espacio vectorial
Cascos convexos de sumas de Minkowski
La adición de Minkowski se comporta bien con respecto a la operación de tomar cascos convexos, como lo muestra la siguiente proposición:
Sean S 1 , S 2 subconjuntos de un espacio vectorial real, el casco convexo de su suma de Minkowski es la suma de Minkowski de sus cascos convexos
Este resultado es más general para cada colección finita de conjuntos no vacíos:
En terminología matemática, las operaciones de suma de Minkowski y de formar cascos convexos son operaciones de conmutación . [14] [15]
Sumas de Minkowski de conjuntos convexos
La suma de Minkowski de dos conjuntos convexos compactos es compacta. La suma de un conjunto convexo compacto y un conjunto convexo cerrado es cerrado. [dieciséis]
El siguiente teorema famoso, probado por Dieudonné en 1966, da una condición suficiente para que la diferencia de dos subconjuntos convexos cerrados sea cerrada. [17] Utiliza el concepto de cono de recesión de un subconjunto convexo no vacío S , definido como:
Teorema (Dieudonné). Sean A y B subconjuntos no vacíos, cerrados y convexos de un espacio vectorial topológico localmente convexo tal quees un subespacio lineal. Si A o B es localmente compacto , A - B está cerrado.
Generalizaciones y extensiones de convexidad.
La noción de convexidad en el espacio euclidiano puede generalizarse modificando la definición en algunos u otros aspectos. Se utiliza el nombre común "convexidad generalizada", porque los objetos resultantes retienen ciertas propiedades de los conjuntos convexos.
Conjuntos estrella-convexos (en forma de estrella)
Sea C un conjunto en un espacio vectorial real o complejo. C es convexa estrella (en forma de estrella) si existe un x 0 en C tal que el segmento de línea de x 0 a cualquier punto y en C está contenido en C . Por lo tanto, un conjunto convexo no vacío es siempre convexo en estrella, pero un conjunto convexo en estrella no siempre es convexo.
Convexidad ortogonal
Un ejemplo de convexidad generalizada es la convexidad ortogonal . [18]
Un conjunto S en el espacio euclidiano se llama ortogonalmente convexa o orto-convexa , si cualquier segmento paralelo a cualquiera de los ejes de coordenadas que conectan dos puntos de S mentiras totalmente dentro de S . Es fácil demostrar que una intersección de cualquier colección de conjuntos ortoconvexos es ortoconvexa. Algunas otras propiedades de los conjuntos convexos también son válidas.
Geometría no euclidiana
La definición de un conjunto convexo y un casco convexo se extiende naturalmente a las geometrías que no son euclidianas al definir un conjunto geodésicamente convexo como uno que contiene las geodésicas que unen dos puntos cualesquiera del conjunto.
Topología de pedidos
La convexidad se puede ampliar para un conjunto X totalmente ordenado dotado de la topología de orden . [19]
Let Y ⊆ X . El subespacio Y es un conjunto convexo si para cada par de puntos a , b en Y tal que a ≤ b , el intervalo [ a , b ] = { x ∈ X | un ≤ x ≤ b } está contenido en Y . Es decir, Y es convexo si y sólo si para todo un , b en Y , un ≤ b implica [ un , b ] ⊆ Y .
Un conjunto convexo no está conectado en general: un contraejemplo viene dado por el subespacio {1,2,3} en Z , que es convexo y no conectado.
Espacios de convexidad
La noción de convexidad puede generalizarse a otros objetos, si se seleccionan como axiomas determinadas propiedades de convexidad .
Dado un conjunto X , una convexidad sobre X es una colección 𝒞 de subconjuntos de X que satisfacen los siguientes axiomas: [8] [9] [20]
- El conjunto vacío y X están en 𝒞
- La intersección de cualquier colección de 𝒞 está en 𝒞 .
- La unión de una cadena (con respecto a la relación de inclusión ) de elementos de 𝒞 está en 𝒞 .
Los elementos de 𝒞 se denominan conjuntos convexos y el par ( X , 𝒞 ) se denomina espacio de convexidad . Para la convexidad ordinaria, los dos primeros axiomas son válidos y el tercero es trivial.
Para obtener una definición alternativa de convexidad abstracta, más adecuada para la geometría discreta , consulte las geometrías convexas asociadas con los antimatroides .
Ver también
- Conjunto absorbente
- Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
- Teorema del punto fijo de Brouwer
- Convexidad compleja
- Casco convexo
- Serie convexa
- Espacio métrico convexo
- Teorema de Carathéodory (casco convexo)
- Teoría de Choquet
- Teorema de helly
- Casco holomórficamente convexo
- Conjunto integralmente convexo
- John elipsoide
- Pseudoconvexidad
- Teorema de radón
- Lema de Shapley-Folkman
- Conjunto simétrico
Referencias
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Una confusión que se ve a menudo es un "conjunto cóncavo". Las funciones cóncavas y convexas designan ciertas clases de funciones, no de conjuntos, mientras que un conjunto convexo designa una cierta clase de conjuntos y no una clase de funciones. Un "conjunto cóncavo" confunde conjuntos con funciones.
- ^ Corbae, Dean; Stinchcombe, Maxwell B .; Zeman, Juraj (2009). Introducción al análisis matemático para la teoría económica y la econometría . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 347. ISBN 9781400833085.
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enlaces externos
- "Subconjunto convexo" . Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
- Conferencias sobre conjuntos convexos , notas de Niels Lauritzen, en la Universidad de Aarhus , marzo de 2010.