Expresión del exponencial complejo en términos de seno y coseno
Este artículo trata sobre la fórmula de Euler en análisis complejo. Para conocer la fórmula de Euler en topología algebraica y combinatoria poliédrica, consulte la característica de Euler .
La fórmula de Euler es omnipresente en matemáticas, física e ingeniería. El físico Richard Feynman llamó a la ecuación "nuestra joya" y "la fórmula más notable de las matemáticas". [2]
Cuando x = π , la fórmula de Euler se evalúa como e iπ + 1 = 0 , que se conoce como identidad de Euler .
Contenido
1 Historia
2 Definiciones de exponenciación compleja
2.1 Definición de ecuación diferencial
2.2 Definición de la serie de potencias
2.3 Definición de límite
3 pruebas
3.1 Usando la diferenciación
3.2 Uso de series de potencia
3.3 Uso de coordenadas polares
4 aplicaciones
4.1 Aplicaciones en la teoría de números complejos
4.2 Interpretación de la fórmula
4.3 Uso de la fórmula para definir el logaritmo de números complejos
4.4 Relación con la trigonometría
4.5 Interpretación topológica
4.6 Otras aplicaciones
5 Véase también
6 referencias
7 Lecturas adicionales
8 Enlaces externos
Historia
En 1714, el matemático inglés Roger Cotes presentó un argumento geométrico que se puede interpretar (después de corregir un factor incorrecto de ) como: [3] [4] [5]
Al exponer esta ecuación se obtiene la fórmula de Euler. Tenga en cuenta que el enunciado logarítmico no es universalmente correcto para números complejos, ya que un logaritmo complejo puede tener infinitos valores, que difieren en múltiplos de 2 πi .
Alrededor de 1740 Leonhard Euler centró su atención en la función exponencial y derivó la ecuación que lleva su nombre comparando las expansiones en serie de las expresiones exponenciales y trigonométricas. [6] [4] La fórmula se publicó por primera vez en 1748 en su obra fundamental Introductio in analysin infinitorum [7] .
Johann Bernoulli había descubierto que [8]
Y desde
la ecuación anterior nos dice algo sobre logaritmos complejos al relacionar logaritmos naturales con números imaginarios (complejos). Bernoulli, sin embargo, no evaluó la integral.
La correspondencia de Bernoulli con Euler (que también conocía la ecuación anterior) muestra que Bernoulli no entendía completamente los logaritmos complejos . Euler también sugirió que los logaritmos complejos pueden tener infinitos valores.
La visión de los números complejos como puntos en el plano complejo fue descrita unos 50 años más tarde por Caspar Wessel .
Definiciones de exponenciación compleja
Artículos principales: Exponenciación y función exponencial
La función exponencial e x para valores reales de x puede definirse de diferentes formas equivalentes (consulte Caracterizaciones de la función exponencial ). Varios de estos métodos se puede extender directamente a dar definiciones de e z para valores complejos de z simplemente mediante la sustitución de z en lugar de x y el uso de las operaciones algebraicas complejas. En particular, podemos utilizar cualquiera de las tres siguientes definiciones, que son equivalentes. Desde una perspectiva más avanzada, cada una de estas definiciones puede interpretarse como una continuación analítica única de e x al plano complejo.
Definición de ecuación diferencial
La función exponencial es la función diferenciable única de una variable compleja tal que
y
Definición de series de potencia
Para z complejo
Usando la prueba de razón , es posible demostrar que esta serie de potencias tiene un radio de convergencia infinito y, por lo tanto, define e z para todo z complejo .
Definición de límite
Para z complejo
Aquí, n está restringido a números enteros positivos , por lo que no hay duda de qué significa la potencia con exponente n .
Pruebas
Son posibles varias pruebas de la fórmula.
Usando la diferenciación
Esta prueba muestra que el cociente de las expresiones trigonométricas y exponenciales es la función constante uno, por lo que deben ser iguales (la función exponencial nunca es cero, [9] por lo que esto está permitido). [10]
Sea f ( θ ) la función
de verdad θ . Diferenciando, tenemos, por la regla del producto
Por tanto, f ( θ ) es una constante. Dado que f (0) = 1 , entonces f ( θ ) = 1 para todo θ real , y por lo tanto
Usando series de potencia
Aquí hay una prueba de la fórmula de Euler usando expansiones de series de potencias , así como hechos básicos sobre las potencias de i : [11]
Usando ahora la definición de series de potencias de arriba, vemos que para valores reales de x
donde en el último paso reconocemos que los dos términos son la serie de Maclaurin para cos x y sen x . La reordenación de términos se justifica porque cada serie es absolutamente convergente .
Usando coordenadas polares
Otra prueba [12] se basa en el hecho de que todos los números complejos se pueden expresar en coordenadas polares. Por lo tanto, para algunos r y θ dependiendo de x ,
No se hacen suposiciones sobre r y θ ; se determinarán en el transcurso de la prueba. De cualquiera de las definiciones de la función exponencial se puede demostrar que la derivada de e ix es ie ix . Por lo tanto, diferenciar ambos lados da
Sustituyendo r (cos θ + i sin θ ) por e ix y equiparando las partes real e imaginaria en esta fórmula, se obtiene dr / dx = 0 y dθ / dx = 1 . Por lo tanto, r es una constante, y θ es x + C para alguna constante C . Los valores iniciales r (0) = 1 y θ (0) = 0 provienen de e 0 i = 1 , dando r = 1y θ = x . Esto prueba la fórmula
Aplicaciones
Aplicaciones en teoría de números complejos
La fórmula de Euler e iφ = cos φ + i sin φ ilustrada en el plano complejo.
Visualización tridimensional de la fórmula de Euler. Ver también polarización circular .
Interpretación de la fórmula
Esta fórmula puede interpretarse en el sentido de que la función e iφ es un número complejo unitario , es decir, que traza el círculo unitario en el plano complejo a medida que φ abarca los números reales. Aquí φ es el ángulo que forma una línea que conecta el origen con un punto en el círculo unitario con el eje real positivo , medido en el sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes .
La demostración original se basa en las expansiones de la serie de Taylor de la función exponencial e z (donde z es un número complejo) y de sen x y cos x para los números reales x (ver más abajo). De hecho, la misma prueba muestra que la fórmula de Euler es incluso válida para todos los números complejos x .
Un punto en el plano complejo se puede representar mediante un número complejo escrito en coordenadas cartesianas . La fórmula de Euler proporciona un medio de conversión entre coordenadas cartesianas y coordenadas polares . La forma polar simplifica las matemáticas cuando se usa en multiplicaciones o potencias de números complejos. Cualquier número complejo z = x + iy , y su conjugado complejo, z = x - iy , se puede escribir como
donde
x = Re z es la parte real,
y = Im z es la parte imaginaria,
r = | z | = √ x 2 + y 2 es la magnitud de z y
φ = arg z = atan2 ( y , x ) .
φ es el argumento de z , es decir, el ángulo entre el eje x y el vector z medido en el sentido contrario a las agujas del reloj en radianes , que se define hasta la suma de 2 π . Muchos textos escriben φ = tan −1 y / x en lugar de φ = atan2 ( y , x ) , pero la primera ecuación necesita un ajuste cuando x ≤ 0 . Esto es porque para cualquier real de x y y , pero no ambos cero, los ángulos de los vectores (x , y ) y (- x , - y ) difieren en π radianes, pero tienen el valor idéntico de tan φ = y / x .
Uso de la fórmula para definir el logaritmo de números complejos
Ahora, tomando esta fórmula derivada, podemos usar la fórmula de Euler para definir el logaritmo de un número complejo. Para hacer esto, también usamos la definición del logaritmo (como el operador inverso de exponenciación):
y eso
tanto válida para cualquier números complejos una y b . Por tanto, se puede escribir:
para cualquier z ≠ 0 . Tomar el logaritmo de ambos lados muestra que
y de hecho esto puede usarse como la definición del logaritmo complejo . El logaritmo de un número complejo es, por tanto, una función de varios valores , porque φ tiene varios valores.
Finalmente, la otra ley exponencial
que se puede ver para todos los enteros k , junto con la fórmula de Euler, implica varias identidades trigonométricas , así como la fórmula de De Moivre .
Relación con la trigonometría
Relación entre seno, coseno y función exponencial
La fórmula de Euler proporciona una conexión poderosa entre el análisis y la trigonometría , y proporciona una interpretación de las funciones seno y coseno como sumas ponderadas de la función exponencial:
Las dos ecuaciones anteriores se pueden derivar sumando o restando las fórmulas de Euler:
y resolviendo para coseno o seno.
Estas fórmulas pueden incluso servir como definición de funciones trigonométricas para argumentos complejos x . Por ejemplo, dejando x = iy , tenemos:
Las exponenciales complejas pueden simplificar la trigonometría, porque son más fáciles de manipular que sus componentes sinusoidales. Una técnica consiste simplemente en convertir sinusoides en expresiones equivalentes en términos de exponenciales. Después de las manipulaciones, el resultado simplificado sigue teniendo un valor real. Por ejemplo:
Otra técnica consiste en representar las sinusoides en términos de la parte real de una expresión compleja y realizar las manipulaciones en la expresión compleja. Por ejemplo:
Esta fórmula se utiliza para la generación recursiva de cos nx para valores enteros de ny arbitrarios x (en radianes).
Véase también aritmética fasorial .
Interpretación topológica
En el lenguaje de la topología , la fórmula de Euler establece que la función exponencial imaginaria es un morfismo ( sobreyectivo ) de grupos topológicos desde la línea real hasta el círculo unitario . De hecho, este se exhibe como un espacio de cobertura de . De manera similar, la identidad de Euler dice que el núcleo de este mapa es dónde . Estas observaciones se pueden combinar y resumir en el siguiente diagrama conmutativo :
Otras aplicaciones
Ver también: Número complejo § Aplicaciones
En ecuaciones diferenciales , la función e ix se usa a menudo para simplificar soluciones, incluso si la respuesta final es una función real que involucra seno y coseno. La razón de esto es que la función exponencial es la función propia de la operación de diferenciación .
En ingeniería eléctrica , procesamiento de señales y campos similares, las señales que varían periódicamente a lo largo del tiempo a menudo se describen como una combinación de funciones sinusoidales (ver análisis de Fourier ), y estas se expresan más convenientemente como la suma de funciones exponenciales con exponentes imaginarios , utilizando el método de Euler. fórmula. Además, el análisis fasorial de circuitos puede incluir la fórmula de Euler para representar la impedancia de un condensador o un inductor.
En el espacio de cuatro dimensiones de los cuaterniones , hay una esfera de unidades imaginarias . Para cualquier punto r en esta esfera, yx un número real, se aplica la fórmula de Euler:
y el elemento se llama versor en cuaterniones. El conjunto de todos los versores forma una 3-esfera en el 4-espacio.
Ver también
Número complejo
Identidad de Euler
Integración mediante la fórmula de Euler
Historia de las transformaciones de Lorentz § Brecha de Euler
Lista de cosas que llevan el nombre de Leonhard Euler
Referencias
^ Moskowitz, Martin A. (2002). Un curso de análisis complejo en una variable . World Scientific Publishing Co. pág. 7. ISBN 981-02-4780-X.
^ Feynman, Richard P. (1977). Las conferencias de física de Feynman, vol. Yo . Addison-Wesley. pag. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
^ Cotes escribió: "Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptus, sinun habeat CX sinumque Supplei ad quadrantem XE ; sumendo radio CE pro Modulo, arcus erit rationis inter & CE mensura ducta in ." (Así, si cualquier arco de un cuadrante de un círculo, descrito por el radio CE , tiene seno CX y seno del complemento al cuadrante XE ; tomando el radio CE como módulo, el arco será la medida de la relación entre& CE multiplicado por.) Es decir, considere un círculo que tiene centro E (en el origen del plano (x, y)) y radio CE . Considere un ángulo θ con su vértice en E que tiene el eje x positivo como un lado y un radio CE como el otro lado. La perpendicular desde el punto C en el círculo al eje x es el "seno" CX ; la línea entre el centro E del círculo y el punto X al pie de la perpendicular es XE , que es el "seno del complemento al cuadrante" o "coseno". Por tanto, la relación entre y CE es. En la terminología de Cotes, la "medida" de una cantidad es su logaritmo natural, y el "módulo" es un factor de conversión que transforma una medida de ángulo en una longitud de arco circular (aquí, el módulo es el radio ( CE ) del círculo ). Según Cotes, el producto del módulo y la medida (logaritmo) de la razón, cuando se multiplica por , es igual a la longitud del arco circular subtendido por θ , que para cualquier ángulo medido en radianes es CE • θ . Por lo tanto, . Esta ecuación tiene el signo incorrecto: el factor de debe estar en el lado derecho de la ecuación, no en el lado izquierdo. Si se realiza este cambio, entonces, después de dividir ambos lados por CEy exponenciando ambos lados, el resultado es:, que es la fórmula de Euler.
Ver:
Roger Cotes (1714) "Logometria", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 29 (338): 5-45; ver especialmente la página 32. Disponible en línea en: Hathi Trust
Roger Cotes con Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, Inglaterra: 1722), capítulo: "Logometria", p. 28 .
↑ a b John Stillwell (2002). Matemáticas y su historia . Saltador.
^ Sandifer, C. Edward (2007), Grandes éxitos de Euler , Asociación matemática de América ISBN 978-0-88385-563-8
^ Leonard Euler (1748) Capítulo 8: Sobre las cantidades trascendentes que surgen del círculo de Introducción al análisis del infinito , página 214, sección 138 (traducción de Ian Bruce, enlace en pdf de las matemáticas del siglo XVII).
^ Conway y Guy, p. 254-255
↑ Bernoulli, Johann (1702). "Solution d'un problème concernnant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul" [Solución de un problema de cálculo integral con algunas notas relativas a este cálculo]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris . 1702 : 289-297.
^ Apostol, Tom (1974). Análisis matemático . Pearson. pag. 20. ISBN 978-0201002881. Teorema 1.42
^ user02138 ( https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138 ), Cómo probar la fórmula de Euler: $ e ^ {i \ varphi} = \ cos (\ varphi) + i \ sin (\ varphi) $ ?, URL (versión: 2018-06-25): https://math.stackexchange.com/q/8612
^ Ricardo, Henry J. Una introducción moderna a las ecuaciones diferenciales . pag. 428.
^ Strang, Gilbert (1991). Cálculo . Wellesley-Cambridge. pag. 389. ISBN 0-9614088-2-0. Segunda prueba en la página.
Otras lecturas
Nahin, Paul J. (2006). La fabulosa fórmula del Dr. Euler: cura muchos males matemáticos . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-11822-2.
Wilson, Robin (2018). Ecuación pionera de Euler: el teorema más hermoso de las matemáticas . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-879492-9. Señor 3791469 .