Una función se denomina antilineal o conjugada lineal si es aditiva y conjugada homogénea . Una función
se llama aditivo si
![{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all vectors }}x,y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
mientras que se llama conjugado homogéneo si ![{\displaystyle f(ax)={\overline {a}}f(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por el contrario, un mapa lineal es una función aditiva y homogénea , donde
se llama homogéneo si ![{\displaystyle f(ax)=af(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un mapa antilineal
puede describirse de forma equivalente en términos del mapa lineal
de
al complejo espacio vectorial conjugado
Ejemplos de
Mapa dual antilineal
Dado un espacio vectorial complejo
de rango 1, podemos construir un mapa dual antilineal que es un mapa antilineal
![{\displaystyle l:V\to \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
enviando un elemento
por
a
![{\displaystyle x_{1}+iy_{1}\mapsto a_{1}x_{1}-ib_{1}y_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para algunos números reales fijos
. Podemos extender esto a cualquier espacio vectorial complejo de dimensión finita, donde si escribimos la base estándar
y cada elemento básico estándar como
![{\displaystyle e_{k}=x_{k}+iy_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
luego un mapa complejo antilineal para
será de la forma
![{\displaystyle \sum _{k}x_{k}+iy_{k}\mapsto \sum _{k}a_{k}x_{k}-ib_{k}y_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por
.
Isomorfismo de dual antilineal con dual real
El dual antilineal [1] pág. 36 de un espacio vectorial complejo![V](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\text{Hom}}_{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es un ejemplo especial porque es isomorfo al dual real del espacio vectorial real subyacente de
,
. Esto viene dado por el mapa que envía un mapa antilineal.
![{\displaystyle l:V\to \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
a
![{\displaystyle {\text{Im}}(l):V\to \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En la otra dirección, está el mapa inverso que envía un vector dual real
![{\displaystyle \lambda :V\to \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
a
![{\displaystyle l(v)=-\lambda (iv)+i\lambda (v)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dando el mapa deseado.
El compuesto de dos mapas antilineal es una aplicación lineal . La clase de mapas semilineales generaliza la clase de mapas antilineales.
El espacio vectorial de todas las formas antilineales en un espacio vectorial
se llama el espacio algebraico anti-dual de
Si
es un espacio vectorial topológico , entonces el espacio vectorial de todos los funcionales antilineales continuos en
denotado por
se llama el espacio anti-dual continuo o simplemente el espacio anti-dual de
si no puede surgir confusión.
Cuándo
es un espacio normado, entonces la norma canónica sobre el espacio anti-dual (continuo)
denotado por
se define utilizando esta misma ecuación:
![{\displaystyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {X}}^{\prime }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta fórmula es idéntica a la fórmula para la norma dual en el espacio dual continuo
de
que está definido por
![{\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in X^{\prime }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Isometría canónica entre dual y anti-dual
El conjugado complejo
de un funcional
se define enviando
a
Satisface
![{\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {X}}^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{X^{\prime }}~=~\|g\|_{{\overline {X}}^{\prime }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para cada
y cada
Esto dice exactamente que la biyección antilineal canónica definida por ![{\displaystyle \operatorname {Cong} ~:~X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {Cong} (f):={\overline {f}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
así como su inverso
son isometrías antilineales y consecuentemente también homeomorfismos . Si
luego
y este mapa canónico
se reduce al mapa de identidad.
- Espacios interiores de productos
Si
es un espacio de producto interno, entonces tanto la norma canónica en
y en
cumple la ley del paralelogramo , lo que significa que la identidad de polarización se puede utilizar para definir un producto interno canónico en
y también en
que este artículo denotará con las anotaciones
![{\displaystyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{X^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde este producto interior hace
y
en los espacios de Hilbert. Los productos internos
y
son antilineales en sus segundos argumentos. Además, la norma canónica inducida por este producto interno (es decir, la norma definida por
) es consistente con la norma dual (es decir, como se define arriba por el supremo sobre la bola unitaria); explícitamente, esto significa que lo siguiente es válido para cada ![{\displaystyle f\in X^{\prime }:}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|=\|f\|_{X^{\prime }}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{X^{\prime }}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{X^{\prime }}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si
es un espacio de producto interno, luego los productos internos en el espacio dual
y el espacio anti-dual
denotado respectivamente por
y
están relacionados por
![{\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{X^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{X^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in X^{\prime }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y ![{\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{X^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {X}}^{\prime }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)