En el campo matemático de la topología de conjuntos de puntos , un continuo (plural: "continua") es un espacio métrico conectado compacto no vacío o, con menos frecuencia, un espacio compacto de Hausdorff conectado . La teoría del continuo es la rama de la topología dedicada al estudio de los continuos.
Definiciones
- Un continuo que contiene más de un punto se llama no degenerado .
- Un subconjunto A de un continuo X de tal manera que A en sí es un continuo se denomina subcontinuum de X . Un espacio homeomorfo a un subcontinuo del plano euclidiano R 2 se llama un continuo planar .
- Un continuo X es homogénea si por cada dos puntos x y y en X , existe un homeomorfismo h : X → X tal que h ( x ) = y .
- Un continuo de Peano es un continuo que está conectado localmente en cada punto.
- Un continuo indecomponible es un continuo que no puede representarse como la unión de dos subcontinuos propios. Un continuo X es hereditariamente indecomponible si cada subcontinuo de X es indecomponible.
- La dimensión de un continuo generalmente significa su dimensión topológica . Un continuo unidimensional a menudo se denomina curva .
Ejemplos de
- Un arco es un espacio homeomorfo al intervalo cerrado [0,1]. Si h : [0,1] → X es un homeomorfismo y h (0) = p y h (1) = q entonces p y q son llamados los puntos finales de X ; también se dice que X es un arco desde p hasta q . Un arco es el tipo más simple y familiar de un continuo. Es unidimensional, conectado en forma de arco y conectado localmente.
- La curva sinusoidal del topólogo es un subconjunto del plano que es la unión de la gráfica de la función f ( x ) = sin (1 / x ), 0 < x ≤ 1 con el segmento −1 ≤ y ≤ 1 de la y - eje. Es un continuo unidimensional que no está conectado en forma de arco y está desconectado localmente en los puntos a lo largo del eje y .
- El círculo de Varsovia se obtiene "cerrando" la curva sinusoidal del topólogo mediante un arco que conecta (0, -1) y (1, sin (1)). Es un continuo unidimensional cuyos grupos de homotopía son todos triviales, pero no es un espacio contráctil .
- Una n- celda es un espacio homeomorfo a la bola cerrada en el espacio euclidiano R n . Es contráctil y es el ejemplo más simple de un continuo n- dimensional.
- Un n -sphere es un homeomorfa espacio para el estándar de n-esfera en la ( n + 1) -dimensional espacio euclidiano. Es un continuo homogéneo n- dimensional que no es contráctil y, por lo tanto, diferente de una n- celda.
- El cubo de Hilbert es un continuo de dimensión infinita.
- Los solenoides se encuentran entre los ejemplos más simples de continuos homogéneos e indecomponibles. No están conectados en forma de arco ni localmente.
- La alfombra de Sierpinski , también conocida como la curva universal de Sierpinski , es un continuo plano unidimensional de Peano que contiene una imagen homeomórfica de cualquier continuo plano unidimensional.
- El pseudoarco es un continuo plano homogéneo e indecomponible por herencia.
Propiedades
Existen dos técnicas fundamentales para la construcción de continuos, mediante intersecciones anidadas y límites inversos .
- Si { X n } es una familia anidada de continuos, es decir, X n ⊇ X n +1 , entonces su intersección es un continuo.
- Si {( X n , f n )} es una secuencia inversa de continuos X n , llamados espacios de coordenadas , junto con mapas continuos f n : X n +1 → X n , llamados mapas de enlace , entonces su límite inverso es un continuo.
Un producto finito o contable de continuos es un continuo.
Ver también
Referencias
Fuentes
- Sam B. Nadler, Jr, Teoría del continuo. Una introducción . Matemática pura y aplicada, Marcel Dekker. ISBN 0-8247-8659-9 .
enlaces externos
- Problemas abiertos en la teoría del continuo
- Ejemplos en la teoría del continuo
- Continuum Theory and Topological Dynamics , M. Barge y J. Kennedy, en Open Problems in Topology, J. van Mill y GM Reed (Editores) Elsevier Science Publishers BV (North-Holland), 1990.
- Hiperespaciowiki