5 21 panal | |
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Tipo | Panal uniforme |
Familia | k 21 politopo |
Símbolo de Schläfli | {3,3,3,3,3,3 2,1 } |
Símbolo de coxeter | 5 21 |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | |
8 caras | 5 11 {3 7 } |
7 caras | {3 6 } |
6 caras | {3 5 } |
5 caras | {3 4 } |
4 caras | {3 3 } |
Células | {3 2 } |
Caras | {3} |
Figura celular | 1 21 |
Figura de la cara | 2 21 |
Figura de borde | 3 21 |
Figura de vértice | 4 21 |
Grupo de simetría | , [3 5,2,1 ] |
En geometría , el panal de 5 21 es una teselación uniforme del espacio euclidiano de 8 dimensiones. El símbolo 5 21 es de Coxeter , llamado así por la longitud de las 3 ramas de su diagrama de Coxeter-Dynkin. [1]
Este panal fue estudiado por primera vez por Gosset, quien lo llamó una figura semirregular de 9-ic [2] (Gosset consideraba los panales en n dimensiones como politopos degenerados n +1).
Cada vértice del panal de 5 21 está rodeado por 2160 8-ortoplejos y 17280 8-simples.
La figura de la cima de nido de abeja de Gosset es la semirregular 4 21 politopo . Es la figura final de la familia k 21 .
Este panal es muy regular en el sentido de que su grupo de simetría (el afín Weyl group) actúa transitivamente sobre las k caras para k ≤ 6. Todas las k caras para k ≤ 7 son simples.
Construcción
Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 9 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones.
La información de las facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes deja el ortoplex 8 , 6 11 .
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 1 longitud deja el 8-simplex .
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el politopo 4 21 .
La figura del borde se determina a partir de la figura del vértice quitando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el politopo 3 21 .
La figura de la cara se determina a partir de la figura del borde quitando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el politopo 2 21 .
La figura de la celda se determina a partir de la figura de la cara eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el politopo 1 21 .
Número de besos
Cada vértice de esta teselación es el centro de una 7-esfera en el empaquetamiento más denso conocido en 8 dimensiones; su número de besos es 240, representado por los vértices de su vértice figura 4 21 .
Celosía E8
contiene como un subgrupo del índice 5760. [3] Ambos y pueden verse como extensiones afines de de diferentes nodos:
contiene como un subgrupo del índice 270. [4] Ambos y pueden verse como extensiones afines de de diferentes nodos:
La disposición del vértice de 5 21 se llama celosía E8 . [5]
La celosía E8 también se puede construir como una unión de los vértices de dos panales de 8 semicubos (denominada celosía D 8 2 o D 8 + ), así como la unión de los vértices de tres panales de 8 simplex (denominada A 8 3 celosía): [6]
- = ∪ = ∪ ∪
Panal complejo regular
Usando un sistema de coordenadas de números complejos , también se puede construir como un politopo complejo regular , dado el símbolo 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3, y el diagrama de Coxeter . Sus elementos están en proporción relativa como 1 vértice, 80 3 aristas, 270 3 {3} 3 caras, 80 3 {3} 3 {3} 3 celdas y 1 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 Witting células politope . [7]
Politopos y panales relacionados
El 5 21 es el séptimo en una serie dimensional de politopos semirregulares , identificados en 1900 por Thorold Gosset . Cada miembro de la secuencia tiene el miembro anterior como su figura de vértice . Todas las facetas de estos politopos son politopos regulares , a saber, símplex y ortoplejos .
k 21 cifras en n dimensional | |||||||||||
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Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||||||||
E n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Grupo Coxeter | E 3 = UNA 2 UNA 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Diagrama de Coxeter | |||||||||||
Simetría | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [3 1,2,1 ] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Pedido | 12 | 120 | 1.920 | 51,840 | 2.903.040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Grafico | - | - | |||||||||
Nombre | −1 21 | 0 21 | 1 21 | 2 21 | 3 21 | 4 21 | 5 21 | 6 21 |
Ver también
- Celosía E8
- 1 52 panal
- 2 51 panal
Notas
- ^ Coxeter, 1973, Capítulo 5: El caleidoscopio
- ^ Gosset, Thorold (1900). "Sobre las figuras regulares y semi-regulares en el espacio de n dimensiones". Mensajero de las Matemáticas . 29 : 43–48.
- ^ NW Johnson: Geometrías y transformaciones , (2018) 12.5: Grupos de Coxeter euclidianos, p.294
- ^ Johnson (2011) p.177
- ^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/E8.html
- ^ Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter, Documento 18, "Formas extremas" (1950)
- ^ Politopos convexos regulares de Coxeter, 12.5 El politopo Witting
Referencias
- Coxeter La belleza de la geometría: Doce ensayos , Publicaciones de Dover, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes)
- Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares ((3a ed.) Ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-61480-8.
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- NW Johnson : geometrías y transformaciones , (2015)
Espacio | Familia | / / | ||||
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E 2 | Azulejos uniformes | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Nido de abeja convexo uniforme | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniforme de 4 panales | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Panal de 24 celdas |
E 5 | Uniforme de 5 panales | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniforme de 6 panales | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniforme de 7 panales | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniforme de 8 panal | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniforme de 9 panales | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E 10 | Uniforme de 10 panal | {3 [11] } | δ 11 | hδ 11 | qδ 11 | |
E n -1 | Uniforme ( n -1) - panal | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |