En la teoría de grupos , un subcampo del álgebra abstracta , un gráfico de ciclo de grupo ilustra los diversos ciclos de un grupo y es particularmente útil para visualizar la estructura de pequeños grupos finitos .
Un ciclo es el conjunto de potencias de un elemento del grupo dado a , donde a n , la n -ésima potencia de un elemento a se define como el producto de a multiplicado por sí mismo n veces. El elemento de una se dice que generar el ciclo. En un grupo finito, alguna potencia distinta de cero de a debe ser la identidad del grupo , e ; el poder más bajo es el ordendel ciclo, el número de elementos distintos en él. En un gráfico de ciclo, el ciclo se representa como un polígono, con los vértices que representan los elementos del grupo y las líneas de conexión que indican que todos los elementos en ese polígono son miembros del mismo ciclo.
Ciclos
Los ciclos pueden superponerse o no pueden tener ningún elemento en común más que la identidad. El gráfico de ciclo muestra cada ciclo interesante como un polígono.
Si a genera un ciclo de orden 6 (o, más brevemente, tiene orden 6), entonces a 6 = e . Entonces, el conjunto de potencias de a 2 , { a 2 , a 4 , e } es un ciclo, pero esta no es realmente información nueva. De manera similar, un 5 genera el mismo ciclo que a sí mismo.
Por lo tanto, solo es necesario considerar los ciclos primitivos , es decir, aquellos que no son subconjuntos de otro ciclo. Cada uno de estos es generado por algún elemento primitivo , a . Toma un punto por cada elemento del grupo original. Para cada elemento primitivo, conecte e con a , a con a 2 , ..., a n −1 con a n , etc., hasta que se alcance e . El resultado es el gráfico del ciclo.
Cuando a 2 = e , a tiene orden 2 (es una involución ) y está conectada ae por dos aristas. Excepto cuando la intención es enfatizar los dos bordes del ciclo, generalmente se dibuja [1] como una sola línea entre los dos elementos.
Propiedades
Caleidoscopio dih 4 con espejo rojo y generadores de rotación de 4 veces | Gráfico de ciclo para el grupo diedro Dih 4 . |
Como ejemplo de un gráfico de ciclo de grupo, considere el grupo diedro Dih 4 . La tabla de multiplicar para este grupo se muestra a la izquierda, y el gráfico del ciclo se muestra a la derecha con e especificando el elemento de identidad.
o | mi | B | a | un 2 | un 3 | ab | a 2 b | a 3 b |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
mi | mi | B | a | un 2 | un 3 | ab | a 2 b | a 3 b |
B | B | mi | a 3 b | a 2 b | ab | un 3 | un 2 | a |
a | a | ab | un 2 | un 3 | mi | a 2 b | a 3 b | B |
un 2 | un 2 | a 2 b | un 3 | mi | a | a 3 b | B | ab |
un 3 | un 3 | a 3 b | mi | a | un 2 | B | ab | a 2 b |
ab | ab | a | B | a 3 b | a 2 b | mi | un 3 | un 2 |
a 2 b | a 2 b | un 2 | ab | B | a 3 b | a | mi | un 3 |
a 3 b | a 3 b | un 3 | a 2 b | ab | B | un 2 | a | mi |
Observe el ciclo { e , a , a 2 , a 3 } en la tabla de multiplicar, con a 4 = e . La inversa a −1 = a 3 también es un generador de este ciclo: ( a 3 ) 2 = a 2 , ( a 3 ) 3 = a , y ( a 3 ) 4 = e . De manera similar, cualquier ciclo en cualquier grupo tiene al menos dos generadores y se puede atravesar en cualquier dirección. De manera más general, el número de generadores de un ciclo con n elementos viene dado por la función de Euler φ de n , y cualquiera de estos generadores puede escribirse como el primer nodo del ciclo (junto a la identidad e ); o más comúnmente, los nodos se dejan sin marcar. Dos ciclos distintos no pueden cruzarse en un generador.
Los ciclos que contienen un número no primo de elementos tienen subgrupos cíclicos que no se muestran en el gráfico. Para el grupo Dih 4 anterior, se puede dibujar una línea entre un 2 y e desde ( un 2 ) 2 = e , pero desde un 2 es parte de un ciclo más grande, esto no es un borde de la gráfica ciclo.
Puede haber ambigüedad cuando dos ciclos comparten un elemento no identitario. Por ejemplo, el grupo de cuaterniones de 8 elementos tiene un gráfico de ciclo que se muestra a la derecha. Cada uno de los elementos en la fila del medio cuando se multiplica por sí mismo da -1 (donde 1 es el elemento de identidad). En este caso, podemos usar diferentes colores para realizar un seguimiento de los ciclos, aunque las consideraciones de simetría también funcionarán.
Como se señaló anteriormente, los dos bordes de un ciclo de 2 elementos generalmente se representan como una sola línea.
La inversa de un elemento es el nodo simétrico a él en su ciclo, con respecto a la reflexión que fija la identidad.
Historia
Los gráficos de ciclos fueron investigados por el teórico de números Daniel Shanks a principios de la década de 1950 como una herramienta para estudiar grupos multiplicativos de clases de residuos . [2] Shanks publicó por primera vez la idea en la primera edición de 1962 de su libro Problemas resueltos y no resueltos en teoría de números . [3] En el libro, Shanks investiga qué grupos tienen gráficos de ciclos isomórficos y cuándo un gráfico de ciclos es plano . [4] En la segunda edición de 1978, Shanks reflexiona sobre su investigación sobre grupos de clase y el desarrollo del método del paso del bebé del paso gigante : [5]
Los gráficos de ciclo han demostrado ser útiles cuando se trabaja con grupos abelianos finitos; y los he usado con frecuencia para encontrar mi camino alrededor de una estructura intrincada [77, p. 852], al obtener una relación multiplicativa deseada [78, p. 426], o en el aislamiento de algún subgrupo buscado [79].
Los gráficos de ciclo se utilizan como una herramienta pedagógica en el libro de texto introductorio de 2009 de Nathan Carter, Visual Group Theory . [6]
Características gráficas de familias de grupos particulares
Ciertos tipos de grupos dan gráficos típicos:
Los grupos cíclicos Z n , orden n , son un solo ciclo graficado simplemente como un polígono de n lados con los elementos en los vértices:
Z 1 | Z 2 = Dih 1 | Z 3 | Z 4 | Z 5 | Z 6 = Z 3 × Z 2 | Z 7 | Z 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Z 9 | Z 10 = Z 5 × Z 2 | Z 11 | Z 12 = Z 4 × Z 3 | Z 13 | Z 14 = Z 7 × Z 2 | Z 15 = Z 5 × Z 3 | Z 16 |
Z 17 | Z 18 = Z 9 × Z 2 | Z 19 | Z 20 = Z 5 × Z 4 | Z 21 = Z 7 × Z 3 | Z 22 = Z 11 × Z 2 | Z 23 | Z 24 = Z 8 × Z 3 |
Z 2 | Z 2 2 = Dih 2 | Z 2 3 = Dih 2 × Dih 1 | Z 2 4 = Dih 2 2 |
---|
Cuando n es un número primo , los grupos de la forma (Z n ) m tendrán ( n m - 1) / ( n - 1) n ciclos de elementos que comparten el elemento de identidad:
Z 2 2 = Dih 2 | Z 2 3 = Dih 2 × Dih 1 | Z 2 4 = Dih 2 2 | Z 3 2 |
---|
Grupos diedros Dih n , orden 2 n consta de un n ciclo -elemento y n ciclos de 2 elementos:
Dih 1 = Z 2 | Dih 2 = Z 2 2 | Dih 3 = S 3 | Dih 4 | Dih 5 | Dih 6 = Dih 3 × Z 2 | Dih 7 | Dih 8 | Dih 9 | Dih 10 = Dih 5 × Z 2 |
---|
Grupos dicíclicos , Dic n = Q 4 n , orden 4 n :
Dic 2 = Q 8 | Dic 3 = Q 12 | Dic 4 = Q 16 | Dic 5 = Q 20 | Dic 6 = Q 24 |
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Otros productos directos :
Z 4 × Z 2 | Z 4 × Z 2 2 | Z 6 × Z 2 | Z 8 × Z 2 | Z 4 2 |
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Grupos simétricos: el grupo simétrico S n contiene, para cualquier grupo de orden n , un subgrupo isomorfo a ese grupo. Por tanto, el gráfico de ciclo de cada grupo de orden n se encontrará en el gráfico de ciclo de S n .
Ver ejemplo: Subgrupos de S 4
Ejemplo: subgrupos del grupo octaédrico completo
El grupo octaédrico completo es el producto cruzado del grupo simétrico S 4 y el grupo cíclico Z 2 .
Su orden es 48 y tiene subgrupos de cada orden que divide a 48.
En los ejemplos siguientes, los nodos que están relacionados entre sí se colocan uno al lado del otro,
por lo que estos no son los gráficos de ciclo más simples posibles para estos grupos (como los de la derecha).
S 4 × Z 2 (pedido 48) | A 4 × Z 2 (pedido 24) | Dih 4 × Z 2 (pedido 16) | S 3 × Z 2 = Dih 6 (orden 12) |
---|---|---|---|
S 4 (pedido 24) | A 4 (orden 12) | Dih 4 (orden 8) | S 3 = Dih 3 (orden 6) |
Como todos los gráficos, un gráfico de ciclo se puede representar de diferentes maneras para enfatizar diferentes propiedades. Las dos representaciones del gráfico de ciclo de S 4 son un ejemplo de eso.
Ver también
enlaces externos
Referencias
- ^ Sarah Perkins (2000). "Gráficos de involución de conmutación para A˜n, sección 2.2, p.3, primera figura" (PDF) . Birkbeck College, Malet Street, Londres, WC1E 7HX: Facultad de Economía, Matemáticas y Estadística . Consultado el 31 de enero de 2016 .Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
- ^ Shanks 1978 , p. 246.
- ^ Shanks 1978 , p. xii.
- ^ Shanks 1978 , págs. 83–98, 206–208.
- ^ Shanks 1978 , p. 225.
- ^ Carter, Nathan (2009), Teoría de grupos visuales , Materiales de recursos para el aula, Asociación Matemática de América, ISBN 978-0-88385-757-1
- Skiena, S. (1990). Ciclos, estrellas y ruedas. Implementación de matemáticas discretas: combinatoria y teoría de grafos con Mathematica (págs. 144-147).
- Shanks, Daniel (1978) [1962], Problemas resueltos y no resueltos en teoría de números (2ª ed.), Nueva York: Chelsea Publishing Company, ISBN 0-8284-0297-3
- Pemmaraju, S. y Skiena, S. (2003). Ciclos, estrellas y ruedas. Matemáticas discretas computacionales: combinatoria y teoría de grafos con Mathematica (págs. 248-249). Prensa de la Universidad de Cambridge.