En el campo del análisis funcional , los espacios DF , también espacios escritos ( DF ), son espacios vectoriales topológicos localmente convexos que tienen una propiedad que comparten los espacios vectoriales topológicos localmente convexos metrizables . Desempeñan un papel considerable en la teoría de los productos tensoriales topológicos. [1]
Los espacios DF fueron definidos por primera vez por Alexander Grothendieck y los estudió en detalle en ( Grothendieck 1954 ) . Grothendieck fue llevado a introducir estos espacios por la siguiente propiedad de duales fuertes de espacios metrizables: Sies un espacio localmente convexo metrizable y es una secuencia de barrios 0 convexos en tal que absorbe cada conjunto fuertemente acotado, luego es un barrio 0 en (dónde es el espacio dual continuo de dotado de la fuerte topología dual). [2]
Definición
Un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS)es un espacio DF , también escrito ( DF ) -space , si [1]
- es un espacio contable cuasi-cañón (es decir, cada unión contable fuertemente acotada de subconjuntos equicontinuos de es equicontinuo), y
- posee una secuencia fundamental de acotado (es decir, existe una secuencia contable de subconjuntos acotados tal que cada subconjunto acotado de está contenido en algunos [3] ).
Propiedades
- Dejar ser un espacio DF y dejar ser un subconjunto balanceado convexo de Luego es una vecindad del origen si y solo si para cada subconjunto convexo, equilibrado y acotado es un barrio del origen en [1] En consecuencia, un mapa lineal desde un espacio DF a un espacio convexo local es continuo si su restricción a cada subconjunto acotado del dominio es continua. [1]
- El fuerte espacio dual de un espacio DF es un espacio Fréchet . [4]
- Cada espacio Montel DF de dimensión infinita es un espacio secuencial, pero no un espacio Fréchet-Urysohn .
- Suponer es un espacio DF o un espacio LM . Sies un espacio secuencial, entonces es metrizable o bien un espacio DF-espacio Montel .
- Cada espacio DF cuasi-completo está completo. [5]
- Si es un espacio DF nuclear completo , entonceses un espacio de Montel . [6]
Condiciones suficientes
El fuerte espacio dual de un espacio Fréchet es un espacio DF. [7]
- El dual fuerte de un espacio localmente convexo metrizable es un espacio DF [8] pero la conversión en general no es verdadera [8] (la inversa es la afirmación de que cada espacio DF es el dual fuerte de algún espacio localmente convexo metrizable) . De esto se sigue:
- Todo espacio normado es un espacio DF. [9]
- Cada espacio de Banach es un espacio DF. [1]
- Cada espacio infrabarreado que posee una secuencia fundamental de conjuntos acotados es un espacio DF.
- Cada cociente de Hausdorff de un espacio DF es un espacio DF. [10]
- La finalización de un espacio DF es un espacio DF. [10]
- La suma localmente convexa de una secuencia de espacios DF es un espacio DF. [10]
- Un límite inductivo de una secuencia de espacios DF es un espacio DF. [10]
- Suponer que y son espacios DF. Entonces, el producto del tensor proyectivo , así como su finalización, de estos espacios es un espacio DF. [6]
Sin emabargo,
- Un producto infinito de espacios DF no triviales (es decir, todos los factores tienen una dimensión distinta de 0) no es un espacio DF. [10]
- Un subespacio vectorial cerrado de un espacio DF no es necesariamente un espacio DF. [10]
- Existen espacios DF completos que no son TVS-isomorfos al dual fuerte de un TVS localmente convexo metrizable. [10]
Ejemplos de
Existen espacios DF completos que no son TVS-isomorfos con el fuerte dual de un espacio localmente convexo metrizable. [10] Existen espacios DF que tienen subespacios vectoriales cerrados que no son espacios DF. [11]
Ver también
- Espacio barril
- Espacio contable de cuasi barriles
- Espacio F: espacio vectorial topológico con una métrica invariante de traducción completa
- LB-espacio
- LF-espacio
- Espacio nuclear : tipo de espacio vectorial topológico
- Producto tensorial proyectivo
Citas
- ↑ a b c d e Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 154-155.
- ^ Schaefer y Wolff 1999 , págs. 152,154.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 25.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 196.
- ^ Schaefer y Wolff 1999 , págs. 190-202.
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 199-202.
- ^ Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes contables locales (2014)
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , p. 154.
- ^ Khaleelulla 1982 , p. 33.
- ↑ a b c d e f g h Schaefer y Wolff 1999 , págs. 196-197.
- ^ Khaleelulla 1982 , págs.103-110 .
Bibliografía
- Grothendieck, Alexander (1954). "Sur les espaces (F) et (DF)". Summa Brasil. Matemáticas. (en francés). 3 : 57-123. Señor 0075542 .
- Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Productos de tensores topológicos y espacios nucleares]. Serie Memorias de la American Mathematical Society (en francés). Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. 16 . ISBN 978-0-8218-1216-7. Señor 0075539 . OCLC 1315788 .
- Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de clase en matemáticas . 936 . Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
- Pietsch, Albrecht (1979). Espacios Nucleares Localmente Convexos . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 66 (Segunda ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC 539541 .
- Pietsch, Albrecht (1972). Espacios nucleares localmente convexos . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Wong, Yau-Chuen (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Apuntes de clase en matemáticas . 726 . Berlín Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC 5126158 .
enlaces externos
- DF-space en ncatlab