En matemáticas , específicamente en la teoría de operadores , un operador densamente definido o un operador parcialmente definido es un tipo de función parcialmente definida . En un sentido topológico , es un operador lineal que se define " casi en todas partes ". Los operadores densamente definidos a menudo surgen en el análisis funcional como operaciones que a uno le gustaría aplicar a una clase más grande de objetos que aquellos para los que a priori "tienen sentido".
Definición
Un operador lineal T densamente definido de un espacio vectorial topológico , X , a otro, Y , es un operador lineal que se define en un subespacio lineal denso dom ( T ) de X y toma valores en Y , escrito T : dom ( T ) ⊆ X → Y . A veces esto se abrevia como T : X → Y cuando el contexto deja claro que X podría no ser el conjunto de la teoría de dominio de T .
Ejemplos de
- Considere el espacio C 0 ([0, 1]; R ) de todos de valor real , funciones continuas definidas en el intervalo de la unidad; Sea C 1 ([0, 1]; R ) el subespacio que consta de todas las funciones continuamente diferenciables . Equipar C 0 ([0, 1]; R ) con la norma suprema || · || ∞ ; esto convierte a C 0 ([0, 1]; R ) en un espacio de Banach real . El operador de diferenciación D dado por
- es un operador densamente definido de C 0 ([0, 1]; R ) a sí mismo, definido en el subespacio denso C 1 ([0, 1]; R ). El operador D es un ejemplo de un operador lineal ilimitado , ya que
- posee
- Esta ilimitación causa problemas si se desea extender de alguna manera continuamente el operador de diferenciación D a la totalidad de C 0 ([0, 1]; R ).
- La integral de Paley-Wiener , por otro lado, es un ejemplo de una extensión continua de un operador densamente definido. En cualquier espacio de Wiener abstracto i : H → E con adjunto j = i ∗ : E ∗ → H , hay un operador lineal continuo natural (de hecho es la inclusión, y es una isometría ) de j ( E ∗ ) a L 2 ( E , γ ; R ), bajo la cual j ( f ) ∈ j ( E ∗ ) ⊆ H pasa a la clase de equivalencia [ f ] de f en L 2 ( E , γ ; R ). No es difícil demostrar que J ( E * ) es denso en H . Dado que la inclusión anterior es continua, hay una extensión lineal continua única I : H → L 2 ( E , γ ; R ) de la inclusión j ( E ∗ ) → L 2 ( E , γ ; R ) a la totalidad de H . Esta extensión es el mapa Paley-Wiener.