En matemáticas , más específicamente en análisis funcional y teoría de operadores , la noción de operador ilimitado proporciona un marco abstracto para tratar con operadores diferenciales , observables ilimitados en mecánica cuántica y otros casos.
A diferencia de los operadores acotados, los operadores ilimitados en un espacio dado no forman un álgebra , ni siquiera un espacio lineal, porque cada uno está definido en su propio dominio.
El término "operador" a menudo significa "operador lineal limitado", pero en el contexto de este artículo significa "operador ilimitado", con las reservas hechas anteriormente. Se supone que el espacio dado es un espacio de Hilbert . [se necesita aclaración ] Algunas generalizaciones a los espacios de Banach y los espacios vectoriales topológicos más generales son posibles.
La teoría de los operadores ilimitados se desarrolló a fines de la década de 1920 y principios de la de 1930 como parte del desarrollo de un marco matemático riguroso para la mecánica cuántica . [1] El desarrollo de la teoría se debe a John von Neumann [2] y Marshall Stone . [3] Von Neumann introdujo el uso de gráficos para analizar operadores ilimitados en 1936. [4]
Deje que X , Y sea espacios de Banach . Un operador sin límites (o simplemente operador ) T : X → Y es un mapa lineal T desde un subespacio lineal D ( T ) ⊆ X -el dominio de T -para el espacio Y . [5] Al contrario de la convención habitual, T no se puede definir en todo el espacio X . Dos operadores son iguales si tienen un dominio común y coinciden en ese dominio común. [5]
Se dice que un operador T está cerrado si su gráfico Γ ( T ) es un conjunto cerrado . [6] (Aquí, la gráfica Γ ( T ) es un subespacio lineal de la suma directa X ⊕ Y , definida como el conjunto de todos los pares ( x , Tx ) , donde x corre sobre el dominio de T. ) Explícitamente, esto significa que para cada secuencia { x n } de puntos del dominio de T tal que x n→ x y Tx n → y , se sostiene que x pertenece al dominio de T y Tx = y . [6] La cercanía también se puede formular en términos de la norma gráfica : un operador T es cerrado si y solo si su dominio D ( T ) es un espacio completo con respecto a la norma: [7]