En matemáticas , el cálculo secundario es una expansión propuesta del cálculo diferencial clásico en variedades , al "espacio" de soluciones de una ecuación diferencial parcial (no lineal) . Es una teoría sofisticada a nivel de espacios de chorro y que emplea métodos algebraicos.
Cálculo secundario
El cálculo secundario actúa sobre el espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (generalmente ecuaciones no lineales). Cuando el número de variables independientes es cero, es decir, las ecuaciones son algebraicas, el cálculo secundario se reduce al cálculo diferencial clásico .
Todos los objetos en cálculo secundario son clases de cohomología de complejos diferenciales que crecen sobre diferencias . Estos últimos son, en el marco del cálculo secundario, el análogo de las variedades suaves .
Física cohomológica
La física cohomológica nació con el teorema de Gauss , que describe la carga eléctrica contenida dentro de una superficie dada en términos del flujo del campo eléctrico a través de la superficie misma. Flux es la integral de una forma diferencial y, en consecuencia, una clase de cohomología de De Rham . No es casualidad que fórmulas de este tipo, como la conocida fórmula de Stokes , aunque sea una parte natural del cálculo diferencial clásico, hayan entrado en las matemáticas modernas desde la física.
Análogos clásicos
Todas las construcciones del cálculo diferencial clásico tienen un análogo en el cálculo secundario. Por ejemplo, las simetrías más altas de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales son análogas a los campos vectoriales en variedades diferenciables. El operador de Euler, que asocia a cada problema variacional la correspondiente ecuación de Euler-Lagrange , es el análogo del diferencial clásico que asocia a una función en una variedad su diferencial. El operador de Euler es un operador diferencial secundario de primer orden, incluso si, según su expresión en coordenadas locales, parece uno de orden infinito. De manera más general, el análogo de las formas diferenciales en el cálculo secundario son los elementos del primer término de la llamada secuencia C-espectral , y así sucesivamente.
Las diferencias más simples son prolongaciones infinitas de ecuaciones diferenciales parciales , que son subvariedades de espacios de chorro infinitos . Estos últimos son variedades de infinitas dimensiones que no pueden estudiarse mediante análisis funcional estándar . Por el contrario, el lenguaje más natural para estudiar estos objetos es el cálculo diferencial sobre las álgebras conmutativas . Por tanto, este último debe considerarse como una herramienta fundamental del cálculo secundario. Por otro lado, el cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas da la posibilidad de desarrollar geometría algebraica como si fuera geometría diferencial.
Física teórica
Los desarrollos recientes de la física de partículas , basados en las teorías de campos cuánticos y sus generalizaciones, han llevado a comprender la naturaleza cohomológica profunda de las cantidades que describen tanto los campos clásicos como los cuánticos. El punto de inflexión fue el descubrimiento de la famosa transformación BRST . Por ejemplo, se entendió que los observables en teoría de campo son clases de cohomología de Rham horizontal que son invariantes bajo el grupo de calibre correspondiente y así sucesivamente. Esta corriente en la física teórica moderna en realidad está creciendo [ cita requerida ] y se llama Física Cohomológica.
Es relevante que el cálculo secundario y la física cohomológica, que se desarrollaron durante veinte años de forma independiente entre sí, llegaron a los mismos resultados. Su confluencia tuvo lugar en la conferencia internacional Secondary Calculus and Cohomological Physics (Moscú, 24-30 de agosto de 1997).
Prospectos
Un gran número de teorías matemáticas modernas convergen armoniosamente en el marco del cálculo secundario, por ejemplo: álgebra conmutativa y geometría algebraica , álgebra homológica y topología diferencial , teoría de grupos de Lie y álgebra de Lie , geometría diferencial , etc.
Referencias
Bibliografía esencial
- IS Krasil'shchik, Cálculo sobre álgebras conmutativas: una guía del usuario concisa, Acta Appl. Matemáticas. 49 (1997) 235-248; DIPS-01/98
- IS Krasil'shchik, AM Verbovetsky, Métodos homológicos en ecuaciones de física matemática, Ed. Abierta. and Sciences, Opava (República Checa), 1998; DIPS-07/98 .
- IS Krasil'shchik, AM Vinogradov (eds.), Simetrías y leyes de conservación para ecuaciones diferenciales de física matemática, Traducciones de matemáticas. Monografías 182, Amer. Matemáticas. Soc., 1999.
- J. Nestruev, Smooth Manifolds and Observables, Textos de posgrado en matemáticas 220, Springer, 2002.
- AM Vinogradov, La secuencia espectral C, el formalismo lagrangiano y las leyes de conservación I. La teoría lineal, J. Math. Anal. Apl. 100 (1984) 1-40; Diffiety Inst. Biblioteca .
- AM Vinogradov, La secuencia espectral C, el formalismo lagrangiano y las leyes de conservación II. La teoría no lineal, J. Math. Anal. Apl. 100 (1984) 41-129; Diffiety Inst. Biblioteca .
- AM Vinogradov, De las simetrías de ecuaciones diferenciales parciales hacia el cálculo secundario ("cuantificado"), J. Geom. Phys. 14 (1994) 146-194; Diffiety Inst. Biblioteca .
- AM Vinogradov, Introducción al cálculo secundario, Proc. Conf. Cálculo secundario y Física de cohomología (M. Henneaux, IS Krasil'shchik y AM Vinogradov, eds.), Matemáticas contemporáneas, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, Rhode Island, 1998; DIPS-05/98 .
- AM Vinogradov, Análisis Cohomológico de Ecuaciones Diferenciales Parciales y Cálculo Secundario, Traducciones de Matemáticas. Monografías 204, Amer. Matemáticas. Soc., 2001.