En las matemáticas , la clase de Selberg es un axioma definición de una clase de L -Funciones . Los miembros de la clase son series de Dirichlet que obedecen a cuatro axiomas que parecen captar las propiedades esenciales satisfechas por la mayoría de las funciones que comúnmente se denominan funciones L o funciones zeta . Aunque la naturaleza exacta de la clase es conjetural, la esperanza es que la definición de la clase conduzca a una clasificación de su contenido y una elucidación de sus propiedades, incluida una idea de su relación con las formas automórficas y la hipótesis de Riemann . La clase fue definida porAtle Selberg en ( Selberg 1992 ), quien prefirió no utilizar la palabra "axioma" que han empleado autores posteriores. [1]
Definición
La definición formal de la clase S es el conjunto de todas las series de Dirichlet.
absolutamente convergente para Re ( s )> 1 que satisfacen cuatro axiomas (o supuestos como los llama Selberg):
- Analiticidad : tiene una continuación meromórfica de todo el plano complejo, con el único polo posible (si lo hay) cuando s es igual a 1.
- Conjetura de Ramanujan : a 1 = 1 y para cualquier ε> 0;
- Ecuación funcional : hay un factor gamma de la forma
donde Q es real y positivo, Γ la función gamma , el ω i real y positivo, y el complejo μ i con parte real no negativa, así como el llamado número raíz
- ,
tal que la función
satisface
- Producto de Euler : para Re ( s )> 1, F ( s ) se puede escribir como un producto sobre primos:
con
y, para algunos θ <1/2,
Comentarios sobre la definición
La condición de que la parte real de μ i no sea negativa es porque existen funciones L conocidas que no satisfacen la hipótesis de Riemann cuando μ i es negativa. Específicamente, hay formas de Maass asociadas con valores propios excepcionales, para los cuales se cumple la conjetura de Ramanujan-Peterssen , y tienen una ecuación funcional, pero no satisfacen la hipótesis de Riemann.
La condición de que θ <1/2 es importante, ya que el caso θ = 1/2 incluye la función eta de Dirichlet , que viola la hipótesis de Riemann. [2]
Es una consecuencia de 4. que las a n son multiplicativas y que
Ejemplos de
El ejemplo prototípico de un elemento en S es la función zeta de Riemann . [3] Otro ejemplo es la función L del discriminante modular Δ
dónde y τ ( n ) es la función tau de Ramanujan . [4]
Todos los ejemplos conocidos son automorfas L -Funciones , y los recíprocos de F p ( s ) son polinomios en p - s de grado limitado. [5]
Los mejores resultados sobre la estructura de la clase Selberg se deben a Kaczorowski y Perelli, quienes muestran que las funciones L de Dirichlet (incluida la función zeta de Riemann) son los únicos ejemplos con un grado menor que 2. [6]
Propiedades básicas
Al igual que con la función zeta de Riemann, un elemento F de S tiene ceros triviales que surgen de los polos del factor gamma γ ( s ). Los otros ceros se conocen como los ceros no triviales de F . Estos serán todos situados en algunas tira 1 - A ≤ Re ( s ) ≤ A . Denotando el número de ceros no triviales de F con 0 ≤ Im ( s ) ≤ T por N F ( T ), [7] Selberg mostró que
Aquí, d F se llama el grado (o dimensión ) de F . Está dado por [8]
- Se puede demostrar que F = 1 es la única función en S cuyo grado es menor que 1.
Si F y G están en la clase Selberg, entonces también lo es su producto y
Una función F ≠ 1 en S se llama primitiva si siempre que se escribe como F = F 1 F 2 , con F i en S , entonces F = F 1 o F = F 2 . Si d F = 1, entonces F es primitivo. Cada función F ≠ 1 de S se puede escribir como un producto de funciones primitivas. Las conjeturas de Selberg, que se describen a continuación, implican que la factorización en funciones primitivas es única.
Ejemplos de funciones primitivas incluyen la función de zeta de Riemann y Dirichlet L -Funciones de caracteres de Dirichlet primitivos. Suponiendo las conjeturas 1 y 2 siguientes, las funciones L de las representaciones automórficas cúspides irreductibles que satisfacen la conjetura de Ramanujan son primitivas. [9]
Las conjeturas de Selberg
En ( Selberg 1992 ), Selberg hizo conjeturas sobre las funciones en S :
- Conjetura 1: Para todo F en S , hay un entero n F tal que
- y n F = 1 siempre que F es primitivo.
- Conjetura 2: Para distintas primitivas F , F ′ ∈ S ,
- Conjetura 3: Si F está en S con factorización primitiva
- χ es un carácter de Dirichlet primitivo, y la función
- también está en S , entonces las funciones F i χ son elementos primitivos de S (y, en consecuencia, forman la factorización primitiva de F χ ).
- Hipótesis de Riemann para S : Para todo F en S , todos los ceros no triviales de F se encuentran en la línea Re ( s ) = 1/2.
Consecuencias de las conjeturas
Las conjeturas 1 y 2 implican que si F tiene un polo de orden m en s = 1, entonces F ( s ) / ζ ( s ) m es entero. En particular, implican la conjetura de Dedekind. [10]
M. Ram Murty demostró en ( Murty 1994 ) que las conjeturas 1 y 2 implican la conjetura de Artin . De hecho, Murty demostró que las funciones L de Artin correspondientes a representaciones irreductibles del grupo de Galois de una extensión resoluble de los racionales son automórficas como lo predicen las conjeturas de Langlands . [11]
Las funciones en S también satisfacen un análogo del teorema de los números primos : F ( s ) no tiene ceros en la línea Re ( s ) = 1. Como se mencionó anteriormente, las conjeturas 1 y 2 implican la factorización única de funciones en S en funciones primitivas . Otra consecuencia es que la primitividad de F es equivalente an F = 1. [12]
Ver también
- Lista de funciones zeta
Notas
- ^ El título del artículo de Selberg es un tanto una parodia de Paul Erdős , que tenía muchos artículos llamados (aproximadamente) "(Algunos) Problemas y resultados antiguos y nuevos sobre ...". De hecho, la conferencia de Amalfi de 1989 fue bastante sorprendente porque tanto Selberg como Erdős estuvieron presentes, y la historia es que Selberg no sabía que Erdős iba a asistir.
- ^ Conrey y Ghosh 1993 , §1
- ^ Murty 2008
- ^ Murty 2008
- ^ Murty 1994
- ^ Jerzy Kaczorowski y Alberto Perelli (2011). "Sobre la estructura de la clase Selberg, VII" (PDF) . Annals of Mathematics . 173 : 1397-1411. doi : 10.4007 / annals.2011.173.3.4 .
- ^ Los ceros en el límite se cuentan con multiplicidad media.
- ^ Si bien las ω i no están definidas únicamente por F , el resultado de Selberg muestra que su suma está bien definida.
- ^ Murty 1994 , Lema 4.2
- ^ Una célebre conjetura de Dedekind afirma que para cualquier extensión algebraica finita de , la función zeta es divisible por la función zeta de Riemann . Es decir, el cocienteestá completo. De manera más general, Dedekind conjetura que si es una extensión finita de , luego debe estar completo. Esta conjetura sigue abierta.
- ^ Murty 1994 , Teorema 4.3
- ^ Conrey y Ghosh 1993 , § 4
Referencias
- Selberg, Atle (1992), "Viejas y nuevas conjeturas y resultados sobre una clase de series de Dirichlet", Actas de la Conferencia de Amalfi sobre teoría analítica de números (Maiori, 1989) , Salerno: Univ. Salerno, págs. 367–385, MR 1220477 , Zbl 0787.11037Reimpreso en Collected Papers, vol 2 , Springer-Verlag, Berlín (1991)
- Conrey, J. Brian ; Ghosh, Amit (1993), "On the Selberg class of Dirichlet series: small degree", Duke Mathematical Journal , 72 (3): 673–693, arXiv : math.NT / 9204217 , doi : 10.1215 / s0012-7094-93 -07.225-0 , MR 1.253.620 , Zbl 0.796,11037
- Murty, M. Ram (1994), "Las conjeturas de Selberg y las funciones de Artin L ", Boletín de la American Mathematical Society , New Series, 31 (1): 1-14, arXiv : math / 9407219 , doi : 10.1090 / s0273- 0979-1994-00479-3 , MR 1.242.382 , S2CID 265909 , Zbl 0.805,11062
- Murty, M. Ram (2008), Problemas en teoría analítica de números , Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas, 206 (Segunda ed.), Springer-Verlag , Capítulo 8, doi : 10.1007 / 978-0-387-72350- 1 , ISBN 978-0-387-72349-5, MR 2376618 , Zbl 1190.11001