En matemáticas , particularmente en álgebra abstracta , un semigrupo con involución o un *-semigrupo es un semigrupo dotado de un antiautomorfismo involutivo , que, en términos generales, lo acerca a un grupo porque esta involución, considerada como operador unario, exhibe ciertas propiedades fundamentales de la operación de tomar la inversa en un grupo: unicidad, doble aplicación "cancelándose a sí misma", y la misma ley de interacción con la operación binaria que en el caso de la inversa del grupo. Por lo tanto, no es una sorpresa que cualquier grupo sea un semigrupo con involución. Sin embargo, hay ejemplos naturales significativos de semigrupos con involución que no son grupos.
Un ejemplo de álgebra lineal es el monoide multiplicativo de matrices cuadradas reales de orden n (llamado monoide lineal completo ). La función que envía una matriz a su transpuesta es una involución porque la transpuesta está bien definida para cualquier matriz y obedece a la ley ( AB ) T = B T A T , que tiene la misma forma de interacción con la multiplicación que la toma de inversas en la grupo lineal general (que es un subgrupo del monoide lineal completo). Sin embargo, para una matriz arbitraria,AA T no es igual al elemento de identidad (es decir, la matriz diagonal ). Otro ejemplo, procedente de la teoría del lenguaje formal , es el semigrupo libre generado por un conjunto no vacío (un alfabeto ), con la concatenación de cadenas como operación binaria, y la involución es el mapa que invierte el orden lineal de las letras en una cadena. Un tercer ejemplo, de la teoría básica de conjuntos , es el conjunto de todas las relaciones binarias entre un conjunto y sí mismo, siendo la involución la relación inversa , y la multiplicación dada por la habitualcomposición de las relaciones .
Los semigrupos con involución aparecieron explícitamente nombrados en un artículo de 1953 de Viktor Wagner (en ruso) como resultado de su intento de unir la teoría de los semigrupos con la de los semimontones . [1]
Sea S un semigrupo con su operación binaria escrita multiplicativamente. Una involución en S es una operación unaria * sobre S (o una transformación * : S → S , x ↦ x *) que satisface las siguientes condiciones:
En algunas aplicaciones, el segundo de estos axiomas se ha denominado antidistributivo . [2] Con respecto a la filosofía natural de este axioma, HSM Coxeter comentó que "se vuelve claro cuando pensamos en [x] e [y] como las operaciones de ponernos los calcetines y los zapatos, respectivamente". [3]
Un elemento x de un semigrupo con involución a veces se denomina hermitiano (por analogía con una matriz hermitiana ) cuando la involución lo deja invariable, lo que significa que x * = x . Los elementos de la forma xx * o x * x son siempre hermíticos, y también lo son todas las potencias de un elemento hermitiano. Como se señaló en la sección de ejemplos, un semigrupo S es un semigrupo inverso si y solo si S es un semigrupo regular y admite una involución tal que todo idempotente es hermitiano. [7]