En matemáticas , la secuencia Puppe es una construcción de la teoría de la homotopía , llamada así por Dieter Puppe . Viene en dos formas: una secuencia larga exacta , construida a partir de la fibra cartográfica (una fibración ), y una secuencia larga coexacta, construida a partir del cono cartográfico (que es una cofibración ). [1] Intuitivamente, la secuencia de Puppe nos permite pensar en la teoría de la homología como un funtor que lleva espacios a secuencias de grupos largas y exactas. También es útil como herramienta para construir largas secuencias exactas de grupos de homotopía relativa .
Secuencia exacta de marionetas
Dejar ser un mapa continuo entre espacios puntiagudos y dejardenotar la fibra de mapeo (la fibración dual al cono de mapeo ). Entonces se obtiene una secuencia exacta:
donde la fibra cartográfica se define como: [1]
Observe que el espacio del bucle inyecta en la fibra de mapeo: , ya que consta de mapas que comienzan y terminan en el punto base . Entonces se puede mostrar que la secuencia anterior se extiende a la secuencia más larga
Luego, la construcción se puede iterar para obtener la secuencia Puppe exacta.
La secuencia exacta es a menudo más conveniente que la secuencia coexacta en aplicaciones prácticas, como explica Joseph J. Rotman : [1]
- (las) diversas construcciones (de la secuencia coexacta) involucran espacios de cociente en lugar de subespacios, por lo que todos los mapas y homotopías requieren más escrutinio para asegurarse de que estén bien definidos y sean continuos.
Ejemplos de
Ejemplo: homotopía relativa
Como caso especial, [1] uno puede tomar X como un subespacio A de Y que contiene el punto base y 0 , y f como la inclusiónde A en Y . Luego se obtiene una secuencia exacta en la categoría de espacios puntiagudos :
donde el son los grupos de homotopía , es la esfera cero (es decir, dos puntos) y denota la equivalencia de homotopía de mapas de U a W . Tenga en cuenta que. Entonces uno puede mostrar que
está en biyección con el grupo de homotopía relativa, dando así lugar a la secuencia de homotopía relativa de pares
El objeto es un grupo para y es abeliano para .
Ejemplo: Fibración
Como caso especial, [1] se puede tomar f como una fibración. . Entonces, la fibra de mapeo Mp tiene la propiedad de elevación de homotopía y se deduce que Mp y la fibratienen el mismo tipo de homotopía . De ello se deduce trivialmente que los mapas de la esfera en Mp son homotópicos de los mapas de la esfera en F , es decir,
A partir de esto, la secuencia de Puppe da la secuencia de homotopía de una fibración :
Ejemplo: fibración débil
Las fibraciones débiles son estrictamente más débiles que las fibraciones, sin embargo, el resultado principal anterior aún se mantiene, aunque la prueba debe modificarse. La observación clave, debida a Jean-Pierre Serre , es que, dada una fibración débil, y la fibra en el punto base dado por , que hay una biyeccion
- .
Esta biyección se puede utilizar en la secuencia de homotopía relativa anterior, para obtener la secuencia de homotopía de una fibración débil , que tiene la misma forma que la secuencia de fibración, aunque con un mapa de conexión diferente.
Secuencia de marionetas coexactivas
Dejar ser un mapa continuo entre complejos CW y dejardenotar un cono de mapeo de f , (es decir, el cofibra del mapa f ), de modo que tenemos una secuencia (cofiber):
- .
Ahora podemos formar y suspensiones de A y B respectivamente, y también(esto se debe a que la suspensión podría verse como un funtor ), obteniendo una secuencia:
- .
Tenga en cuenta que la suspensión conserva las secuencias de cofibras.
Debido a este poderoso hecho, sabemos que es homotopía equivalente a Colapsando hasta cierto punto, uno tiene un mapa natural Así tenemos una secuencia:
Iterando esta construcción, obtenemos la secuencia Puppe asociada a :
Algunas propiedades y consecuencias
Es un simple ejercicio de topología para ver que cada tres elementos de una secuencia Puppe son, hasta una homotopía, de la forma:
- .
Por "hasta una homotopía", queremos decir aquí que cada 3 elementos en una secuencia de Puppe son de la forma anterior si se consideran objetos y morfismos en la categoría de homotopía .
Si ahora se le da un funtor topológico semiexacto , la propiedad anterior implica que, después de actuar con el funtor en cuestión en la secuencia de Puppe asociada a, se obtiene una secuencia larga y exacta .
Un resultado, debido a John Milnor , [2] es que si uno toma los axiomas de Eilenberg-Steenrod para la teoría de la homología y reemplaza la escisión por la secuencia exacta de una fibración débil de pares, entonces uno obtiene la analogía de homotopía de Eilenberg-Steenrod teorema : existe una secuencia única de functorescon P la categoría de todos los pares puntiagudos de espacios topológicos.
Observaciones
Como hay dos "tipos" de suspensión , no reducida y reducida , también se pueden considerar secuencias Puppe no reducidas y reducidas (al menos si se trata de espacios puntiagudos , cuando es posible formar una suspensión reducida).
Referencias
- ^ a b c d e Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (Consulte el capítulo 11 para la construcción).
- ^ John Milnor "Construcción de paquetes universales I" (1956) Annals of Mathematics , 63 págs. 272-284.
- Edwin Spanier , Topología algebraica , Springer-Verlag (1982) Reimpresión, McGraw Hill (1966)