En la teoría de categorías , la noción de objeto proyectivo generaliza la noción de módulo proyectivo . Los objetos proyectivos en categorías abelianas se utilizan en álgebra homológica . La noción dual de objeto proyectivo es la de objeto inyectivo .
Definición
Un objeto en una categoría es proyectiva si para cualquier epimorfismo y morfismo , hay un morfismo tal que , es decir, el siguiente diagrama conmuta :
Es decir, cada morfismo factores a través de cada epimorfismo. [1]
Si C es localmente pequeño , es decir, en particulares un conjunto para cualquier objeto X en C , esta definición es equivalente a la condición de que el functor hom (también conocido como functor corepresentable )
conserva los epimorfismos . [2]
Objetos proyectivos en categorías abelianas
Si la categoría C es una categoría abeliana como, por ejemplo, la categoría de grupos abelianos , entonces P es proyectiva si y solo si
es un funtor exacto , donde Ab es la categoría de grupos abelianos .
Una categoría abeliana se dice que tiene suficientes proyectivos si, para cada objeto de , hay un objeto proyectivo de y un epimorfismo de P a A o, de manera equivalente, una breve secuencia exacta
El propósito de esta definición es asegurar que cualquier objeto A admita una resolución proyectiva , es decir, una secuencia exacta (larga)
donde los objetos son proyectivas.
Proyectividad con respecto a clases restringidas
Semadeni (1963) analiza la noción de objetos proyectivos (y doblemente inyectables) en relación con una denominada bicategoría, que consta de un par de subcategorías de "inyecciones" y "sobreyecciones" en la categoría C dada . Estas subcategorías están sujetas a ciertas propiedades formales, incluido el requisito de que cualquier sobreyección sea un epimorfismo. Un objeto proyectivo (relativo a la clase fija de sobreyecciones) es entonces un objeto P de modo que Hom ( P , -) convierte la clase fija de sobreyecciones (en oposición a todos los epimorfismos) en sobreyecciones de conjuntos (en el sentido habitual).
Propiedades
- El coproducto de dos objetos proyectivos es proyectivo. [3]
- La retracción de un objeto proyectivo es proyectiva. [4]
Ejemplos de
La afirmación de que todos los conjuntos son proyectivos es equivalente al axioma de elección .
Los objetos proyectivos en la categoría de grupos abelianos son los grupos abelianos libres .
Dejar ser un anillo con identidad. Considere la categoría (abeliana)- Mod de izquierda-módulos. Los objetos proyectivos en- Mod son precisamente los módulos R izquierdos proyectivos . Como consecuencia, es en sí mismo un objeto proyectivo en - Mod . Dualmente, los objetos inyectivos en- Mod son exactamente los módulos R inyectivos izquierdos .
La categoría de izquierda (derecha) -modules también tiene suficientes proyectivos. Esto es cierto ya que, para cada izquierda (derecha)-módulo , podemos tomar ser el libre (y por tanto proyectivo) -módulo generado por un grupo electrógeno por (de hecho podemos tomar ser - estar ). Entonces la proyección canónica es la sobreyección requerida .
Los objetos proyectivos en la categoría de espacios compactos de Hausdorff son precisamente los espacios extremadamente desconectados . Este resultado se debe a Gleason (1958) , con una prueba simplificada dada por Rainwater (1959) .
En la categoría de espacios y contracciones de Banach (es decir, funcionales cuya norma es como máximo 1), los epimorfismos son precisamente los mapas con imagen densa . Wiweger (1969) muestra que el espacio cero es el único objeto proyectivo en esta categoría. Sin embargo, hay espacios no triviales que son proyectivos con respecto a la clase de contracciones sobreyectivas. En la categoría de espacios vectoriales normativos con contracciones (y mapas sobreyectivos como "sobreyecciones"), los objetos proyectivos son precisamente los-espacios. [5]
Referencias
- ↑ Awodey (2010 , §2.1)
- ^ Mac Lane (1978 , p. 118)
- ↑ Awodey (2010 , p. 72)
- ↑ Awodey (2010 , p. 33)
- ↑ Semadeni (1963)
- Awodey, Steve (2010), teoría de categorías (2a ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 9780199237180, OCLC 740446073
- Gleason, Andrew M. (1958), "Espacios topológicos proyectivos", Illinois Journal of Mathematics , 2 (4A): 482–489, doi : 10.1215 / ijm / 1255454110 , MR 0121775
- Mac Lane, Saunders (1978), Categorías para el matemático que trabaja (segunda ed.), Nueva York, NY: Springer New York, p. 114, ISBN 1441931236, OCLC 851741862
- Mitchell, Barry (1965). Teoría de categorías . Matemática pura y aplicada. 17 . Prensa académica. ISBN 978-0-124-99250-4. Señor 0202787 .
- Pothoven, Kenneth (1969), "Objetos proyectivos e inyectivos en la categoría de espacios de Banach", Actas de la American Mathematical Society , 22 (2): 437–438, doi : 10.2307 / 2037073 , JSTOR 2037073
- Rainwater, John (1959), "A Note on Projective Resolutions", Proceedings of the American Mathematical Society , 10 (5): 734–735, doi : 10.2307 / 2033466 , JSTOR 2033466
- Semadeni, Z. (1963), "Proyectividad, inyectividad y dualidad" , Rozprawy Mat. , 36 , MR 0154832
enlaces externos
' "objeto proyectivo en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 17 de octubre de 2017 .