En matemáticas, el programa de Erlangen es un método de caracterización de geometrías basado en la teoría de grupos y la geometría proyectiva . Fue publicado por Felix Klein en 1872 como Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Lleva el nombre de la Universidad Erlangen-Nürnberg , donde trabajó Klein.
Para 1872, habían surgido geometrías no euclidianas , pero sin una forma de determinar su jerarquía y relaciones. El método de Klein fue fundamentalmente innovador en tres formas:
Más tarde, Élie Cartan generalizó los espacios modelo homogéneos de Klein a las conexiones de Cartan en ciertos paquetes principales , lo que generalizó la geometría de Riemann .
Desde Euclides , geometría había significado la geometría del espacio euclidiano de dos dimensiones ( geometría plana ) o de tres dimensiones ( geometría sólida ). En la primera mitad del siglo XIX hubo varios acontecimientos que complicaron el panorama. Las aplicaciones matemáticas requerían geometría de cuatro o más dimensiones ; el examen minucioso de los fundamentos de la geometría euclidiana tradicional había revelado la independencia del postulado de las paralelas de los demás, y había nacido la geometría no euclidiana . Klein propuso la idea de que todas estas nuevas geometrías son solo casos especiales de la geometría proyectiva , como ya fue desarrollado porPoncelet , Möbius , Cayley y otros. Klein también sugirió encarecidamente a los físicos matemáticos que incluso un cultivo moderado del ámbito proyectivo podría traerles beneficios sustanciales.
Con cada geometría, Klein asoció un grupo subyacente de simetrías . La jerarquía de las geometrías se representa así matemáticamente como una jerarquía de estos grupos y una jerarquía de sus invariantes . Por ejemplo, las longitudes, los ángulos y las áreas se conservan con respecto al grupo euclidiano de simetrías, mientras que solo la estructura de incidencia y la relación cruzada se conservan bajo las transformaciones proyectivas más generales . Un concepto de paralelismo , que se conserva en la geometría afín , no tiene sentido en la geometría proyectiva . Entonces, al abstraer el subyacentegrupos de simetrías a partir de las geometrías, las relaciones entre ellas se pueden restablecer a nivel de grupo. Dado que el grupo de geometría afín es un subgrupo del grupo de geometría proyectiva, cualquier noción invariante en geometría proyectiva tiene significado a priori en geometría afín; pero no al revés. Si elimina las simetrías requeridas, tiene una teoría más poderosa pero menos conceptos y teoremas (que serán más profundos y generales).
En otras palabras, los "espacios tradicionales" son espacios homogéneos ; pero no para un grupo únicamente determinado. Cambiar el grupo cambia el lenguaje geométrico apropiado.