Función homogénea

En matemáticas , una función homogénea es aquella con comportamiento de escala multiplicativa : si todos sus argumentos se multiplican por un factor , entonces su valor se multiplica por alguna potencia de este factor.

Por ejemplo, una homogénea valor real- función de dos variables${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$ es una función de valor real que satisface la condición ${\displaystyle f(rx,ry)=r^{k}f(x,y)}$ por alguna constante ${\displaystyle k}$ y todos los números reales ${\displaystyle r.}$ El constante ${\displaystyle k}$se llama el grado de homogeneidad .

De manera más general, si ${\displaystyle f:V\to W}$es una función entre dos espacios vectoriales sobre un campo ${\displaystyle \mathbb {F} }$ y ${\displaystyle k}$es un número entero , entonces${\displaystyle f}$ se dice que es homogéneo de grado ${\displaystyle k}$ Si

${\displaystyle f(s\mathbf {v} )=s^{k}f(\mathbf {v} )}$

( 1 )

para todos los escalares distintos de cero ${\displaystyle s\in \mathbb {F} }$ y ${\displaystyle v\in V.}$Cuando los espacios vectoriales involucrados están por encima de los números reales , a menudo se usa una forma ligeramente menos general de homogeneidad, requiriendo solo que ( 1 ) se mantenga para todos${\displaystyle s>0.}$

También se pueden definir funciones homogéneas para espacios vectoriales con el origen eliminado, hecho que se utiliza en la definición de roldanas en el espacio proyectivo en geometría algebraica . De manera más general, si${\displaystyle S\subseteq V}$es cualquier subconjunto que es invariante bajo la multiplicación escalar por elementos del campo (un "cono"), entonces una función homogénea de S a W todavía se puede definir por ( 1 ).

Ejemplos

Una función homogénea no es necesariamente continua , como se muestra en este ejemplo. Esta es la funcion${\displaystyle f}$ definido por ${\displaystyle f(x,y)=x}$ Si ${\displaystyle xy>0}$ y ${\displaystyle f(x,y)=0}$ Si ${\displaystyle xy\leq 0.}$ Esta función es homogénea de grado 1, es decir, ${\displaystyle f(sx,sy)=sf(x,y)}$ para cualquier número real ${\displaystyle s,x,y.}$ Es discontinuo en ${\displaystyle y=0,x\neq 0.}$

Ejemplo 1

La función ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ es homogéneo de grado 2:

$${\displaystyle f(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=t^{2}f(x,y).}$$

Por ejemplo, suponga ${\displaystyle x=2,y=4,}$ y ${\displaystyle t=5.}$ Luego

• ${\displaystyle f(x,y)=2^{2}+4^{2}=4+16=20,}$ y
• ${\displaystyle f(5x,5y)=5^{2}\left(2^{2}+4^{2}\right)=25(20)=500.}$

Funciones lineales

Cualquier mapa lineal ${\displaystyle f:V\to W}$ es homogéneo de grado 1 ya que por definición de linealidad

$${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$$

para todos ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {F} }$ y ${\displaystyle v\in V.}$

Del mismo modo, cualquier función multilineal${\displaystyle f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W}$ es homogéneo de grado ${\displaystyle n}$ ya que por la definición de multilinealidad

$${\displaystyle f\left(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$$

para todos ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {F} }$ y ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots ,v_{n}\in V_{n}.}$

De ello se deduce que el ${\displaystyle n}$-th diferencial de una función${\displaystyle f:X\to Y}$entre dos espacios de Banach ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y}$ es homogéneo de grado ${\displaystyle n.}$

Polinomios homogéneos

Monomios en${\displaystyle n}$ las variables definen funciones homogéneas ${\displaystyle f:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} .}$ Por ejemplo,

$${\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}$$

es homogéneo de grado 10 ya que

$${\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,}$$

El grado es la suma de los exponentes de las variables; en este ejemplo,${\displaystyle 10=5+2+3.}$

Un polinomio homogéneo es un polinomio formado por una suma de monomios del mismo grado. Por ejemplo,

$${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$$

es un polinomio homogéneo de grado 5. Los polinomios homogéneos también definen funciones homogéneas.

Dado un polinomio homogéneo de grado ${\displaystyle k,}$ es posible obtener una función homogénea de grado 1 elevando a la potencia ${\displaystyle 1/k.}$ Entonces, por ejemplo, para cada ${\displaystyle k}$ la siguiente función es homogénea de grado 1:

$${\displaystyle \left(x^{k}+y^{k}+z^{k}\right)^{\frac {1}{k}}}$$

Mínimo / máximo

Para cada juego de pesas ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n},}$ las siguientes funciones son homogéneas de grado 1:

• ${\displaystyle \min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$( Utilidades de Leontief )
• ${\displaystyle \max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$

Polarización

Una función multilineal ${\displaystyle g:V\times V\times \cdots \times V\to \mathbb {F} }$ desde el ${\displaystyle n}$-th producto cartesiano de${\displaystyle V}$consigo mismo al campo subyacente ${\displaystyle \mathbb {F} }$ da lugar a una función homogénea ${\displaystyle f:V\to \mathbb {F} }$ evaluando en diagonal:

$${\displaystyle f(v)=g(v,v,\dots ,v).}$$

La función resultante ${\displaystyle f}$ es un polinomio en el espacio vectorial ${\displaystyle V.}$

Por el contrario, si ${\displaystyle \mathbb {F} }$tiene característica cero, luego dado un polinomio homogéneo${\displaystyle f}$ de grado ${\displaystyle n}$ en ${\displaystyle V,}$la polarización de${\displaystyle f}$ es una función multilineal ${\displaystyle g:V\times V\times \cdots \times V\to \mathbb {F} }$ sobre el ${\displaystyle n}$-th producto cartesiano de ${\displaystyle V.}$ La polarización está definida por:

$${\displaystyle g\left(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\right)={\frac {1}{n!}}{\frac {\partial }{\partial t_{1}}}{\frac {\partial }{\partial t_{2}}}\cdots {\frac {\partial }{\partial t_{n}}}f\left(t_{1}v_{1}+\cdots +t_{n}v_{n}\right).}$$

Estas dos construcciones, una de un polinomio homogéneo de una forma multilineal y la otra de una forma multilineal de un polinomio homogéneo, son mutuamente inversas entre sí. En dimensiones finitas, establecen un isomorfismo de espacios vectoriales graduados a partir del álgebra simétrica de${\displaystyle V^{*}}$al álgebra de polinomios homogéneos en${\displaystyle V.}$

Funciones racionales

Las funciones racionales formadas como la proporción de dos polinomios homogéneos son funciones homogéneas del cono afín recortado por el lugar geométrico cero del denominador. Por tanto, si${\displaystyle f}$ es homogéneo de grado ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle g}$ es homogéneo de grado ${\displaystyle n,}$ luego ${\displaystyle f/g}$ es homogéneo de grado ${\displaystyle m-n}$ lejos de los ceros de ${\displaystyle g.}$

No ejemplos

Logaritmos

El logaritmo natural ${\displaystyle f(x)=\ln x}$ escala aditivamente y por lo tanto no es homogéneo.

Esto se puede demostrar con los siguientes ejemplos: ${\displaystyle f(5x)=\ln 5x=\ln 5+f(x),}$ ${\displaystyle f(10x)=\ln 10+f(x),}$ y ${\displaystyle f(15x)=\ln 15+f(x).}$ Esto se debe a que no hay ${\displaystyle k}$ tal que ${\displaystyle f(\alpha \cdot x)=\alpha ^{k}\cdot f(x).}$

Funciones afines

Funciones afines (la función${\displaystyle f(x)=x+5}$ es un ejemplo) no escala en general multiplicativamente.

Homogeneidad positiva

En el caso especial de los espacios vectoriales sobre los números reales , la noción de homogeneidad positiva a menudo juega un papel más importante que la homogeneidad en el sentido anterior.

Dejar ${\displaystyle X}$ser un espacio vectorial sobre un campo${\displaystyle \mathbb {F} }$ y deja ${\displaystyle Y}$ser un espacio vectorial sobre un campo${\displaystyle \mathbb {G} }$ donde ${\displaystyle \mathbb {F} }$ y ${\displaystyle \mathbb {G} }$generalmente serán (o posiblemente solo contendrán como subconjuntos) los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$o números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Dejar ${\displaystyle f:X\to Y}$ser un mapa. ^{[nota 1]} Defina ^{[nota 2]} la siguiente terminología:

1. Estricta homogeneidad positiva :${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$para todos ${\displaystyle x\in X}$y todo positivo real${\displaystyle r>0.}$
2. Homogeneidad no negativa :${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$para todos ${\displaystyle x\in X}$y todo real no negativo${\displaystyle r\geq 0.}$
   • Una función de valor real no negativo con esta propiedad se puede caracterizar como funcional de Minkowski .
   • Esta propiedad se utiliza en la definición de una función sublineal .
3. Homogeneidad positiva : generalmente se define como "homogeneidad no negativa", pero también se define con frecuencia como "homogeneidad positiva estricta".
   • Cuál de estos dos se elige como definición es generalmente ^{[nota 3]} irrelevante porque para una función valorada en un espacio o campo vectorial, la homogeneidad no negativa es lo mismo que la homogeneidad positiva estricta; las definiciones serán lógicamente equivalentes . ^{[prueba 1]}
4. Homogeneidad real :${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ para todos ${\displaystyle x\in X}$ y todo real ${\displaystyle r.}$
   • Esta propiedad se utiliza en la definición de un funcional lineal real .
5. Homogeneidad :${\displaystyle f(sx)=sf(x)}$ para todos ${\displaystyle x\in X}$ y todos los escalares ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • Se enfatiza que esta definición depende del campo escalar ${\displaystyle \mathbb {F} }$ subyacente al dominio ${\displaystyle X}$.
   • Esta propiedad se utiliza en la definición de funcionales lineales y mapas lineales .
6. Homogeneidad conjugada :${\displaystyle f(sx)={\overline {s}}f(x)}$ para todos ${\displaystyle x\in X}$ y todos los escalares ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • Si ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ luego ${\displaystyle {\overline {s}}}$normalmente denota el complejo conjugado de${\displaystyle s.}$ Pero de manera más general, ${\displaystyle {\overline {s}}}$ podría ser la imagen de ${\displaystyle s}$ bajo algún distinguido automorfismo de ${\displaystyle \mathbb {F} .}$
   • Junto con la aditividad , esta propiedad se asume en la definición de un mapa antilineal . También se supone que una de las dos coordenadas de una forma sesquilínea tiene esta propiedad (como el producto interno de un espacio de Hilbert ).

Todas las definiciones anteriores se pueden generalizar reemplazando la condición ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ con ${\displaystyle f(rx)=|r|f(x),}$en cuyo caso esa definición tiene como prefijo la palabra " absoluto " o " absolutamente ". Por ejemplo,

7. Homogeneidad real absoluta :${\displaystyle f(rx)=|r|f(x)}$ para todos ${\displaystyle x\in X}$ y todo real ${\displaystyle r.}$
8. Homogeneidad absoluta :${\displaystyle f(sx)=|s|f(x)}$ para todos ${\displaystyle x\in X}$ y todos los escalares ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • Esta propiedad se utiliza en la definición de seminorma y norma .

Si ${\displaystyle k}$ es un número real fijo, entonces las definiciones anteriores se pueden generalizar aún más reemplazando la condición ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ con ${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$ (y de manera similar, reemplazando ${\displaystyle f(rx)=|r|f(x)}$ con ${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$para condiciones que utilizan el valor absoluto, etc.), en cuyo caso se dice que la homogeneidad es " de grado${\displaystyle k}$"(donde, en particular, todas las definiciones anteriores son" de grado${\displaystyle 1}$"). Por ejemplo,

9. Homogeneidad de grado no negativa ${\displaystyle k}$: ${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$ para todos ${\displaystyle x\in X}$ y todo real ${\displaystyle r\geq 0.}$
10. Homogeneidad real de grado ${\displaystyle k}$: ${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$ para todos ${\displaystyle x\in X}$ y todo real ${\displaystyle r.}$
11. Homogeneidad de grado ${\displaystyle k}$: ${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$ para todos ${\displaystyle x\in X}$ y todos los escalares ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
12. Homogeneidad real absoluta de grado ${\displaystyle k}$: ${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$ para todos ${\displaystyle x\in X}$ y todo real ${\displaystyle r.}$
13. Homogeneidad absoluta de grado ${\displaystyle k}$: ${\displaystyle f(sx)=|s|^{k}f(x)}$ para todos ${\displaystyle x\in X}$ y todos los escalares ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$

Una función continua distinta de cero que es homogénea de grado${\displaystyle k}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace }$ se extiende continuamente a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ si y solo si ${\displaystyle k>0.}$

Generalizaciones

Todas las definiciones dadas anteriormente se especializan en la siguiente noción más general de homogeneidad en la que ${\displaystyle X}$puede ser cualquier conjunto (en lugar de un espacio vectorial) y los números reales pueden ser reemplazados por la noción más general de un monoide .

Monoides y acciones de monoides

Un monoide es un par${\displaystyle (M,\,\cdot \,)}$ que consta de un conjunto ${\displaystyle M}$ y un operador asociativo ${\displaystyle M\times M\to M}$ donde hay algún elemento en ${\displaystyle S}$llamado un elemento de identidad , denotado por${\displaystyle 1\in M,}$ tal que ${\displaystyle 1\cdot m=m=m\cdot 1}$ para todos ${\displaystyle m\in M.}$

Si ${\displaystyle (M,\,\cdot \,)}$ es un monoide con elemento de identidad ${\displaystyle 1\in M}$ y si ${\displaystyle m\in M,}$ entonces se usará la siguiente notación: let ${\displaystyle m_{0}:=1,m_{1}:=m,m_{2}:=m\cdot m,}$ y más generalmente para cualquier número entero positivo ${\displaystyle k,}$ dejar ${\displaystyle m^{k}}$ ser el producto de ${\displaystyle k}$ instancias de ${\displaystyle m}$; eso es,${\displaystyle m^{k}:=m\cdot \left(m^{k-1}\right).}$

Es una práctica común (por ejemplo, en álgebra o cálculo) para denotar la operación de multiplicación de un monoide ${\displaystyle (M,\,\cdot \,)}$ por yuxtaposición, lo que significa que ${\displaystyle mn}$ puede estar escrito en lugar de ${\displaystyle m\cdot n.}$Esto evita cualquier necesidad de asignar un símbolo a la operación de multiplicación de un monoide. Cuando se usa esta notación de yuxtaposición, se debe asumir automáticamente que el elemento de identidad del monoide se denota por${\displaystyle 1.}$

Dejar ${\displaystyle M}$ ser un monoide con elemento de identidad ${\displaystyle 1\in M}$ cuya operación se denota por yuxtaposición y sea ${\displaystyle X}$ser un conjunto. Una acción monoide de${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle X}$ es un mapa ${\displaystyle M\times M\to X,}$ que también se denotará por yuxtaposición, de modo que ${\displaystyle 1x=x=x1}$ y para todos ${\displaystyle x\in X}$ y todo ${\displaystyle m,n\in M.}$

Homogeneidad

Dejar ${\displaystyle M}$ser un monoide con elemento de identidad${\displaystyle 1\in M,}$ dejar ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y}$ ser conjuntos, y supongamos que en ambos ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y}$ hay acciones monoides definidas de ${\displaystyle M.}$ Dejar ${\displaystyle k}$ ser un número entero no negativo y dejar ${\displaystyle f:X\to Y}$ser un mapa. Luego${\displaystyle f}$se dice que es homogéneo de grado${\displaystyle k}$ sobre ${\displaystyle M}$ si por cada ${\displaystyle x\in X}$ y ${\displaystyle m\in M,}$

$${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x).}$$

Si además hay una función ${\displaystyle M\to M,}$ denotado por ${\displaystyle m\mapsto |m|,}$llamado valor absoluto entonces${\displaystyle f}$se dice que es absolutamente homogéneo de grado${\displaystyle k}$ sobre ${\displaystyle M}$ si por cada ${\displaystyle x\in X}$ y ${\displaystyle m\in M,}$

$${\displaystyle f(mx)=|m|^{k}f(x).}$$

Una función es homogénea sobre${\displaystyle M}$(resp. absolutamente homogéneo sobre${\displaystyle M}$) si es homogéneo de grado ${\displaystyle 1}$ sobre ${\displaystyle M}$ (resp. absolutamente homogéneo de grado ${\displaystyle 1}$ sobre ${\displaystyle M}$).

De manera más general, es posible que los símbolos ${\displaystyle m^{k}}$ para ser definido para ${\displaystyle m\in M}$ con ${\displaystyle k}$ ser algo diferente a un número entero (por ejemplo, si ${\displaystyle M}$ son los números reales y ${\displaystyle k}$ es un número real distinto de cero, entonces ${\displaystyle m^{k}}$ se define a pesar de que ${\displaystyle k}$no es un número entero). Si este es el caso entonces${\displaystyle f}$se llamará homogéneo de grado${\displaystyle k}$ sobre ${\displaystyle M}$ si se cumple la misma igualdad:

$${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and }}m\in M.}$$

La noción de ser absolutamente homogéneo de grado${\displaystyle k}$ sobre ${\displaystyle M}$ se generaliza de manera similar.

Teorema de la función homogénea de Euler

Las funciones positivamente homogéneas continuamente diferenciables se caracterizan por el siguiente teorema:

Teorema de la función homogénea de Euler  :  suponga que la función${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace \to \mathbb {R} }$es continuamente diferenciable . Luego${\displaystyle f}$ es positivamente homogéneo de grado ${\displaystyle k}$ si y solo si

$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} ).}$$

Prueba  -

Este resultado sigue a la vez al diferenciar ambos lados de la ecuación ${\displaystyle f(\alpha y)=\alpha ^{k}f(y)}$ con respecto a ${\displaystyle \alpha ,}$aplicando la regla de la cadena y eligiendo${\displaystyle \alpha }$ ser - estar ${\displaystyle 1.}$

Lo contrario se prueba mediante la integración. Específicamente, deje${\textstyle g(\alpha )=f(\alpha \mathbf {x} ).}$Ya que ${\textstyle \alpha \mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )=kf(\alpha \mathbf {x} ),}$

${\displaystyle g'(\alpha )=\mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )={\frac {k}{\alpha }}f(\alpha \mathbf {x} )={\frac {k}{\alpha }}g(\alpha ).}$

Por lo tanto, ${\textstyle g^{\prime }(\alpha )-{\frac {k}{\alpha }}g(\alpha )=0.}$Esto implica ${\textstyle g(\alpha )=g(1)\alpha ^{k}.}$Por lo tanto, ${\textstyle f(\alpha \mathbf {x} )=g(\alpha )=\alpha ^{k}g(1)=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}$: ${\displaystyle f}$ es positivamente homogéneo de grado ${\displaystyle k.}$

Como consecuencia, suponga que ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$es diferenciable y homogéneo de grado${\displaystyle k.}$ Entonces sus derivadas parciales de primer orden ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$ son homogéneos de grado ${\displaystyle k-1.}$ El resultado se sigue del teorema de Euler al conmutar el operador ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla }$ con la derivada parcial.

Se puede especializar el teorema al caso de una función de una sola variable real (${\displaystyle n=1}$), en cuyo caso la función satisface la ecuación diferencial ordinaria

$${\displaystyle f^{\prime }(x)-{\frac {k}{x}}f(x)=0.}$$

Esta ecuación se puede resolver utilizando un enfoque de factor integrador , con solución${\textstyle f(x)=cx^{k},}$ donde ${\displaystyle c=f(1).}$

Distribuciones homogéneas

Una función continua ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es homogéneo de grado ${\displaystyle k}$ si y solo si

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}$$

para todas las funciones de prueba compatibles de forma compacta ${\displaystyle \varphi }$; y real distinto de cero${\displaystyle t.}$De manera equivalente, hacer un cambio de variable ${\displaystyle y=tx,}$ ${\displaystyle f}$ es homogéneo de grado ${\displaystyle k}$ si y solo si

$${\displaystyle t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy}$$

para todos ${\displaystyle t}$ y todas las funciones de prueba ${\displaystyle \varphi .}$La última pantalla permite definir la homogeneidad de las distribuciones . Una distribución${\displaystyle S}$ es homogéneo de grado ${\displaystyle k}$ Si

$${\displaystyle t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle }$$

para todo real distinto de cero ${\displaystyle t}$ y todas las funciones de prueba ${\displaystyle \varphi .}$ Aquí los paréntesis angulares denotan el emparejamiento entre distribuciones y funciones de prueba, y ${\displaystyle \mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ es el mapeo de la división escalar por el número real ${\displaystyle t.}$

Aplicación a ecuaciones diferenciales

La sustitucion ${\displaystyle v=y/x}$convierte la ecuación diferencial ordinaria

$${\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}$$

donde ${\displaystyle I}$ y ${\displaystyle J}$son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable

$${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v.}$$

Ver también

• Función de producción  : se utiliza para definir el producto marginal y para distinguir la eficiencia de asignación.
• Función del centro del triángulo
• Función elíptica de Weierstrass  - Clase de funciones matemáticas

Notas

1. Tenga en cuenta en particular que si${\displaystyle Y=\mathbb {C} =\mathbb {G} ,}$ entonces cada ${\displaystyle \mathbb {R} }$-función valorada en ${\displaystyle X}$ es también ${\displaystyle \mathbb {C} }$-valorado.
2. Para que una propiedad como la homogeneidad real esté bien definida, los campos${\displaystyle \mathbb {F} }$ y ${\displaystyle \mathbb {G} }$ambos deben contener los números reales. Por supuesto, automáticamente haremos cualquier suposición sobre${\displaystyle \mathbb {F} }$ y ${\displaystyle \mathbb {G} }$ son necesarios para que los productos escalares siguientes estén bien definidos.
3. En campos como el análisis convexo , el codominio de${\displaystyle f}$ a veces es el set ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$de números reales extendidos , en cuyo caso la multiplicación${\displaystyle 0\cdot f(x)}$ será indefinido siempre que ${\displaystyle f(x)=\pm \infty .}$ En este caso, las condiciones "${\displaystyle r>0}$" y "${\displaystyle r\geq 0}$"no necesariamente se puede usar indistintamente. Sin embargo, si tal ${\displaystyle f}$ satisface ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ para todos ${\displaystyle r>0}$ y ${\displaystyle x\in X,}$ entonces necesariamente ${\displaystyle f(0)\in \{\pm \infty ,0\}}$ y cuando sea ${\displaystyle f(0),f(x)\in \mathbb {R} }$ ambos son reales entonces ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ aguantará para todos ${\displaystyle r\geq 0.}$

Pruebas

1. Suponga que${\displaystyle f}$es estrictamente positivamente homogéneo y valorado en un espacio vectorial o en un campo. Luego${\displaystyle f(0)=f(2\cdot 0)=2f(0)}$ tan restando ${\displaystyle f(0)}$ de ambos lados muestra que ${\displaystyle f(0)=0.}$ Escribiendo ${\displaystyle r:=0,}$ entonces para cualquier ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(rx)=f(0)=0=0f(x)=rf(x),}$ que muestra que ${\displaystyle f}$ es homogéneo no negativo.

Referencias

• Blatter, Christian (1979). "20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.". Analysis II (2ª ed.) (En alemán). Springer Verlag. pag. 188. ISBN 3-540-09484-9.

Enlaces externos

• "Función homogénea" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Eric Weisstein. "Teorema de la función homogénea de Euler" . MathWorld .