En teoría de números , un factorión en una base numérica dada es un número natural que es igual a la suma de los factoriales de sus dígitos . [1] [2] [3] El nombre factorion fue acuñado por el autor Clifford A. Pickover . [4]
Definición
Dejar ser un número natural. Definimos la suma del factorial de los dígitos [5] [6] de para base ser el siguiente:
- .
dónde es el número de dígitos en el número en base , es el factorial de y
es el valor de cada dígito del número. Un numero natural es un - factorion si es un punto fijo para, que ocurre si . [7] y son puntos fijos para todos , y por lo tanto son factores triviales para todos, y todos los demás factores son factores no triviales .
Por ejemplo, el número 145 en base es un factorion porque .
Para , la suma del factorial de los dígitos es simplemente el número de dígitos en la representación de base 2.
Un numero natural es un factorion sociable si es un punto periódico para, dónde para un entero positivo , y forma un ciclo de período. Un factorion es un factorion sociable con, y un factorion amistoso es un factorion sociable con. [8] [9]
Todos los números naturales son puntos preperiódicos para, independientemente de la base. Esto se debe a que todos los números naturales de base con los dígitos satisfacen . Sin embargo cuando, luego por , así que cualquiera satisfará Hasta que . Hay un número finito de números naturales menores que, por lo que se garantiza que el número alcanzará un punto periódico o un punto fijo menor que , convirtiéndolo en un punto preperiódico. Para, el número de dígitos para cualquier número, una vez más, convirtiéndolo en un punto preperiódico. Esto también significa que hay un número finito de factoriones y ciclos para cualquier base dada..
El número de iteraciones necesitado para llegar a un punto fijo es el persistencia de la función dee indefinido si nunca llega a un punto fijo.
Factoriones para
b = (k - 1)!
Dejar ser un entero positivo y la base numérica . Luego:
- es un factorion para para todos .
Deje que los dígitos de ser , y . Luego
Por lo tanto es un factorion para para todos .
- es un factorion para para todos .
Deje que los dígitos de ser , y . Luego
Por lo tanto es un factorion para para todos .
4 | 6 | 41 | 42 |
5 | 24 | 51 | 52 |
6 | 120 | 61 | 62 |
7 | 720 | 71 | 72 |
b = k! - k + 1
Dejar ser un entero positivo y la base numérica . Luego:
- es un factorion para para todos .
Deje que los dígitos de ser , y . Luego
Por lo tanto es un factorion para para todos .
3 | 4 | 13 |
4 | 21 | 14 |
5 | 116 | 15 |
6 | 715 | dieciséis |
Tabla de factoriones y ciclos de
Todos los números están representados en base .
Base | Factorión no trivial (, ) [10] | Ciclos |
---|---|---|
2 | ||
3 | ||
4 | 13 | 3 → 12 → 3 |
5 | 144 | |
6 | 41, 42 | |
7 | 36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36 | |
8 | 3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175 | |
9 | 62558 | |
10 | 145, 40585 | 871 → 45361 → 871 [9] 872 → 45362 → 872 [8] |
Ejemplo de programación
El siguiente ejemplo implementa la suma del factorial de los dígitos descritos en la definición anterior para buscar factoriones y ciclos en Python .
def factorial ( x : int ) -> int : total = 1 para i en el rango ( 0 , x ): total = total * ( i + 1 ) return totaldef sfd ( x : int , b : int ) -> int : "" "Suma del factorial de los dígitos." "" total = 0 mientras que x > 0 : total = total + factorial ( x % b ) x = x // b devuelve el totaldef sfd_cycle ( x : int , b : int ) -> Lista [ int ]: visto = [] mientras que x no está en visto : visto . añadir ( x ) x = sfd ( x , b ) ciclo = [] mientras que x no está en ciclo : ciclo . append ( x ) x = sfd ( x , b ) ciclo de retorno
Ver también
Referencias
- ^ Sloane, Neil, "A014080" , Enciclopedia en línea de secuencias de enteros
- ^ Gardner, Martin (1978), "Factorial Oddities", Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-Of-Mind , Vintage Books, págs. 61 y 64, ISBN 9780394726236
- ^ Madachy, Joseph S. (1979), Recreaciones matemáticas de Madachy , Publicaciones de Dover, p. 167, ISBN 9780486237626
- ^ Pickover, Clifford A. (1995), "The Loneliness of the Factorions", Keys to Infinity , John Wiley & Sons, págs. 169-171 y 319-320, ISBN 9780471193340 - a través de Google Books
- ^ Gupta, Shyam S. (2004), "Sum of the Factorials of the Digits of Integers", The Mathematical Gazette , The Mathematical Association, 88 (512): 258-261, doi : 10.1017 / S0025557200174996 , JSTOR 3620841
- ^ Sloane, Neil, "A061602" , Enciclopedia en línea de secuencias de enteros
- ^ Abbott, Steve (2004), "SFD Chains and Factorion Cycles", The Mathematical Gazette , The Mathematical Association, 88 (512): 261-263, doi : 10.1017 / S002555720017500X , JSTOR 3620842
- ^ a b Sloane, Neil, "A214285" , Enciclopedia en línea de secuencias de enteros
- ^ a b Sloane, Neil, "A254499" , Enciclopedia en línea de secuencias de enteros
- ^ Sloane, Neil, "A193163" , Enciclopedia en línea de secuencias de enteros
enlaces externos
- Factorion en Wolfram MathWorld