En teoría de números , un número de Dudeney en una base numérica dada es un número natural igual al cubo perfecto de otro número natural tal que la suma de dígitos del primer número natural es igual al segundo. El nombre deriva de Henry Dudeney , quien señaló la existencia de estos números en uno de sus acertijos, Root Extraction , donde un profesor jubilado en Colney Hatch postula esto como un método general para la extracción de raíces.
Definición matemática
Dejar ser un número natural. Definimos la función de Dudeney para basey poder ser el siguiente:
dónde es el número de dígitos en el número en base .
Un numero natural es una raíz de Dudeney si es un punto fijo para, que ocurre si . El numero naturales un número de Dudeney generalizado , [1] y para, los números se conocen como números de Dudeney . y son números triviales de Dudeney para todos y , todos los demás números de Dudeney triviales son números de Dudeney triviales no triviales .
Para y , hay exactamente seis de esos números enteros (secuencia A061209 en la OEIS ):
Un numero natural es una raíz de Dudeney sociable si es un punto periódico para, dónde para un entero positivo , y forma un ciclo de período. Una raíz de Dudeney es una raíz de Dudeney sociable con, y una raíz de Dudeney amigable es una raíz de Dudeney sociable con. Los números sociables de Dudeney y los números amistosos de Dudeney son el poder de sus respectivas raíces.
El número de iteraciones necesitado para alcanzar un punto fijo es la persistencia de la función de Dudeney dee indefinido si nunca llega a un punto fijo.
Se puede demostrar que dada una base numérica y poder , la raíz máxima de Dudeney tiene que satisfacer este límite:
lo que implica un número finito de raíces de Dudeney y números de Dudeney para cada orden y base . [2]
es la suma de dígitos . Los únicos números de Dudeney son los números de un solo dígito en la base, y no hay puntos periódicos con un período primo mayor que 1.
Números de Dudeney, raíces y ciclos de F p , b para p y b específicos
Todos los números están representados en base .
Raíces de Dudeney no triviales | Números de Dudeney no triviales | Ciclos de | Números amigables / sociables de Dudeney | ||
---|---|---|---|---|---|
2 | 2 | ||||
2 | 3 | 2 | 11 | ||
2 | 4 | 3 | 21 | ||
2 | 5 | 4 | 31 | ||
2 | 6 | 5 | 41 | ||
2 | 7 | 3, 4, 6 | 12, 22, 51 | ||
2 | 8 | 7 | 61 | 2 → 4 → 2 | 4 → 20 → 4 |
2 | 9 | 8 | 71 | ||
2 | 10 | 9 | 81 | 13 → 16 → 13 | 169 → 256 → 169 |
2 | 11 | 5, 6, A | 23, 33, 91 | ||
2 | 12 | B | A1 | 9 → 13 → 14 → 12 | 69 → 169 → 194 → 144 |
2 | 13 | 4, 9, C, 13 | 13, 63, B1, 169 | ||
2 | 14 | D | C1 | 9 → 12 → 9 | 5B → 144 → 5B |
2 | 15 | 7, 8, E | 34, 44, D1 | 2 → 4 → 2 9 → B → 9 | 4 → 11 → 4 56 → 81 → 56 |
2 | dieciséis | 6, A, F | 24, 64, E1 | ||
3 | 2 | ||||
3 | 3 | 11, 22 | 2101, 200222 | 12 → 21 → 12 | 11122 → 110201 → 11122 |
3 | 4 | 2, 12, 13, 21, 22 | 20, 3120, 11113, 23121, 33220 | ||
3 | 5 | 3, 13, 14, 22, 23 | 102, 4022, 10404, 23403, 32242 | 12 → 21 → 12 | 2333 → 20311 → 2333 |
3 | 6 | 13, 15, 23, 24 | 3213, 10055, 23343, 30544 | 11 → 12 → 11 | 1331 → 2212 → 1331 |
3 | 7 | 2, 4, 11, 12, 14, 15, 21, 22 | 11, 121, 1331, 2061, 3611, 5016, 12561, 14641 | 25 → 34 → 25 | 25666 → 63361 → 25666 |
3 | 8 | 6, 15, 16 | 330, 4225, 5270 | 17 → 26 → 17 | 6457 → 24630 → 6457 |
3 | 9 | 3, 7, 16, 17, 25 | 30, 421, 4560, 5551, 17618 | 5 → 14 → 5 12 → 21 → 12 18 → 27 → 18 | 148 → 3011 → 148 1738 → 6859 → 1738 6658 → 15625 → 6658 |
3 | 10 | 8, 17, 18, 26, 27 | 512, 4913, 5832, 17576, 19683 | 19 → 28 → 19 | 6859 → 21952 → 6859 |
3 | 11 | 5, 9, 13, 15, 18, 22, 25 | 104, 603, 2075, 3094, 5176, A428, 13874 | 8 → 11 → 8 A → 19 → A 14 → 23 → 14 16 → 21 → 16 | 426 → 1331 → 426 82A → 6013 → 82A 2599 → 10815 → 2599 3767 → 12167 → 3767 |
3 | 12 | 19, 1A, 1B, 28, 29, 2A | 5439, 61B4, 705B, 16B68, 18969, 1A8B4 | 8 → 15 → 16 → 11 → 8 13 → 18 → 21 → 14 → 13 | 368 → 2A15 → 3460 → 1331 → 368 1B53 → 4768 → 9061 → 2454 → 1B53 |
4 | 2 | 11, 101 | 1010001, 1001110001 | ||
4 | 3 | 11 | 100111 | 22 → 101 → 22 | 12121201 → 111201101 → 12121201 |
4 | 4 | 3, 13, 21, 31 | 1101, 211201, 1212201, 12332101 | ||
4 | 5 | 4, 14, 22, 23, 31 | 2011, 202221, 1130421, 1403221, 4044121 | ||
4 | 6 | 24, 32, 42 | 1223224, 3232424, 13443344 | 14 → 23 → 14 | 114144 → 1030213 → 114144 |
5 | 2 | 110, 111, 1001 | 1111001100000, 100000110100111, 1110011010101001 | ||
5 | 3 | 101 | 12002011201 | 22 → 121 → 112 → 110 → 22 | 1122221122 → 1222021101011 → 1000022202102 → 110122100000 → 1122221122 |
5 | 4 | 2, 22 | 200, 120122200 | 21 → 33 → 102 → 30 → 21 | 32122221 → 2321121033 → 13031110200 → 330300000 → 32122221 |
6 | 2 | 110 | 1011011001000000 | 111 → 1001 → 1010 → 111 | 11100101110010001 → 10000001101111110001 → 11110100001001000000 → 11100101110010001 |
6 | 3 | 101 → 112 → 121 → 101 | 1212210202001 → 112011112120201 → 1011120101000101 → 1212210202001 |
Extensión a enteros negativos
Los números de Dudeney se pueden extender a los enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada entero.
Ejemplo de programación
El siguiente ejemplo implementa la función de Dudeney descrita en la definición anterior para buscar raíces, números y ciclos de Dudeney en Python .
def dudeneyf ( x : int , p : int , b : int ) -> int : "" "Función de Dudeney." "" y = pow ( x , p ) total = 0 while y > 0 : total = total + y % b y = y // b devuelve el totaldef dudeneyf_cycle ( x : int , p : int , b : int ) -> Lista : visto = [] mientras que x no está en visto : visto . añadir ( x ) x = dudeneyf ( x , p , b ) ciclo = [] mientras que x no está en ciclo : ciclo . añadir ( x ) x = dudeneyf ( x , p , b ) ciclo de retorno
Ver también
Referencias
- HE Dudeney, 536 Puzzles & Curious Problems , Souvenir Press, Londres, 1968, p 36, # 120.