En teoría de números , un invariante perfecto de dígito a dígito ( PDDI ; también conocido como número de Munchausen [1] ) es un número natural en una base numérica dada eso es igual a la suma de sus dígitos cada uno elevado a la potencia de sí mismo. Por ejemplo, en la base 3 ( ternario ) hay tres: 1, 12 y 22. El término "número de Munchausen" fue acuñado por el matemático e ingeniero de software holandés Daan van Berkel en 2009, [2] ya que evoca la historia de Baron Munchausen levantándose por su propia cola de caballo porque cada dedo se eleva al poder de sí mismo. [3] [4]
Definición
Dejar ser un número natural. Definimos la función invariante de dígito a dígito perfecta para base ser el siguiente:
- .
dónde es el número de dígitos en el número en base y
es el valor de cada dígito del número. Como 0 0 no suele estar definido, normalmente se utilizan dos convenciones, una en la que se considera igual a uno y otra en la que se considera igual a cero. [5] [6] Un número naturales un invariante perfecto de dígito a dígito si es un punto fijo para, que ocurre si . Para la primera convención, es un punto fijo para todos , y por lo tanto es un invariante de dígito a dígito perfecto trivial para todos, y todos los demás invariantes perfectos de dígito a dígito son invariantes de dígito a dígito perfectos no triviales . Para la segunda convención, ambos y son invariantes triviales perfectos de dígito a dígito.
Por ejemplo, el número 3435 en base es un invariante perfecto de dígito a dígito porque .
Para , en la primera convención , es simplemente el número de dígitos en la representación de base 2, y en la segunda convención , es simplemente la suma de dígitos .
Un numero natural es un invariante de dígito a dígito sociable si es un punto periódico para, dónde para un entero positivo , y forma un ciclo de período. Un invariante perfecto de dígito a dígito es un invariante de dígito a dígito sociable con, y un invariante amigable de dígito a dígito es un invariante de dígito a dígito sociable con.
Todos los números naturales son puntos preperiódicos para, independientemente de la base. Esto se debe a que todos los números naturales de base con los dígitos satisfacen . Sin embargo cuando, luego , así que cualquiera satisfará Hasta que . Hay un número finito de números naturales menores que, por lo que se garantiza que el número alcanzará un punto periódico o un punto fijo menor que , convirtiéndolo en un punto preperiódico. Esto también significa que hay un número finito de invariantes y ciclos perfectos de dígito a dígito para cualquier base dada..
El número de iteraciones necesitado para llegar a un punto fijo es el -Persistencia de la función de factorion dee indefinido si nunca llega a un punto fijo.
Invariantes perfectos de dígito a dígito y ciclos de para especifico
Todos los números están representados en base .
Convención
Base | Invariantes de dígito a dígito perfectos no triviales () | Ciclos |
---|---|---|
2 | 10 | |
3 | 12, 22 | 2 → 11 → 2 |
4 | 131, 313 | 2 → 10 → 2 |
5 | 2 → 4 → 2011 → 12 → 10 → 2 104 → 2013 → 113 → 104 | |
6 | 22352, 23452 | 4 → 1104 → 1111 → 4 23445 → 24552 → 50054 → 50044 → 24503 → 23445 |
7 | 13454 | 12066 → 536031 → 265204 → 265623 → 551155 → 51310 → 12125 → 12066 |
8 | 405 → 6466 → 421700 → 3110776 → 6354114 → 142222 → 421 → 405 | |
9 | 31, 156262, 1656547 | |
10 | 3435 | |
11 | ||
12 | 3A67A54832 |
Convención
Base | Invariantes de dígito a dígito perfectos no triviales (, ) [1] | Ciclos |
---|---|---|
2 | ||
3 | 12, 22 | 2 → 11 → 2 |
4 | 130, 131, 313 | |
5 | 103, 2024 | 2 → 4 → 2011 → 11 → 2 9 → 2012 → 9 |
6 | 22352, 23452 | 5 → 22245 → 23413 → 1243 → 1200 → 5 53 → 22332 → 150 → 22250 → 22305 → 22344 → 2311 → 53 |
7 | 13454 | |
8 | 400, 401 | |
9 | 30, 31, 156262, 1647063, 1656547, 34664084 | |
10 | 3435, 438579088 | |
11 | ||
12 | 3A67A54832 |
Ejemplos de programación
Pitón
El siguiente programa en Python determina si un número entero es un Número Munchausen / Dígito perfecto a dígito invariante o no, siguiendo la convención.
num = int ( input ( "Enter number:" )) temp = num s = 0.0 while num > 0 : digit = num % 10 num // = 10 s + = pow ( digit , digit ) if s == temp : print ( "Número Munchausen" ) else : print ( "Número no Munchausen" )
Los ejemplos siguientes implementan la función invariante perfecta de dígito a dígito descrita en la definición anterior para buscar invariantes y ciclos perfectos de dígito a dígito en Python para las dos convenciones.
Convención
def pddif ( x : int , b : int ) -> int : total = 0 while x > 0 : total = total + pow ( x % b , x % b ) x = x // b return totaldef pddif_cycle ( x : int , b : int ) -> Lista [ int ]: visto = [] mientras que x no está en visto : visto . añadir ( x ) x = pddif ( x , b ) ciclo = [] mientras que x no está en ciclo : ciclo . append ( x ) x = pddif ( x , b ) ciclo de retorno
Convención
def pddif ( x : int , b : int ) -> int : total = 0 while x > 0 : if x % b > 0 : total = total + pow ( x % b , x % b ) x = x // b devolución totaldef pddif_cycle ( x : int , b : int ) -> Lista [ int ]: visto = [] mientras que x no está en visto : visto . añadir ( x ) x = pddif ( x , b ) ciclo = [] mientras que x no está en ciclo : ciclo . append ( x ) x = pddif ( x , b ) ciclo de retorno
Java
El siguiente programa en Java determina si un número entero es un Número Munchausen / Dígito perfecto a dígito invariante o no, siguiendo la convención.
import java.util.Scanner ; public class Munchausen { public static void main () { Scanner in = new Scanner ( System . in ); Sistema . fuera . println ( "Ingresar número:" ); int num = en . nextInt (), temp = num , dígito ; suma doble = 0 ; while ( num > 0 ) { dígito = num % 10 ; num / = 10 ; suma + = Matemáticas . pow ( dígito , dígito ); } if ( suma == temp ) Sistema . fuera . print ( "Número de Munchausen" ); else System . fuera . print ( "Número no Munchausen" ); } }
Ver también
Referencias
- ↑ a b van Berkel, Daan (2009). "Sobre una curiosa finca de 3435". arXiv : 0911.3038 [ math.HO ].
- ^ Olry, Regis y Duane E. Haines. "Raíces históricas y literarias de los síndromes de Münchhausen" , de Literatura, neurología y neurociencia: trastornos neurológicos y psiquiátricos, Stanley Finger, Francois Boller, Anne Stiles, eds. Elsevier, 2013. p.136.
- ↑ Daan van Berkel, Sobre una propiedad curiosa de 3435.
- ^ Parker, Matt (2014). Cosas para hacer y hacer en la cuarta dimensión . Penguin Reino Unido. pag. 28. ISBN 9781846147654. Consultado el 2 de mayo de 2015 .
- ^ Número narciso , Harvey Heinz
- ^ Wells, David (1997). El diccionario de pingüinos de números curiosos e interesantes . Londres: Penguin. pag. 185. ISBN 0-14-026149-4.
enlaces externos
- Parker, Matt. "3435" . Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 13 de abril de 2017 . Consultado el 1 de abril de 2013 .