En el procesamiento de señales , un filtro de respuesta de impulso finito ( FIR ) es un filtro cuya respuesta de impulso (o respuesta a cualquier entrada de longitud finita) es de duración finita , porque se establece en cero en un tiempo finito. Esto contrasta con los filtros de respuesta de impulso infinito (IIR), que pueden tener retroalimentación interna y pueden continuar respondiendo indefinidamente (generalmente decayendo).
La respuesta al impulso (es decir, la salida en respuesta a una entrada delta de Kronecker ) de un filtro FIR de tiempo discreto de orden N- ésimo dura exactamente samples (desde el primer elemento distinto de cero hasta el último elemento distinto de cero) antes de que se establezca en cero.
Los filtros FIR pueden ser de tiempo discreto o de tiempo continuo , y digitales o analógicos .
Definición
Para un filtro FIR de tiempo discreto causal de orden N , cada valor de la secuencia de salida es una suma ponderada de los valores de entrada más recientes :
donde :
- es la señal de entrada,
- es la señal de salida,
- es el orden de filtrado; unEl filtro de th -order tiene términos en el lado derecho
- es el valor de la respuesta al impulso en el i- ésimo instante para de una -Ordenar filtro FIR. Si el filtro es un filtro FIR de forma directa, entonces también es un coeficiente del filtro.
Este cálculo también se conoce como convolución discreta .
La en estos términos se les conoce comúnmente como tap s, basado en la estructura de unalínea de retardo con tap que en muchas implementaciones o diagramas de bloques proporciona las entradas retardadas a las operaciones de multiplicación. Se puede hablar de unfiltrode5º orden / 6 tomas, por ejemplo.
La respuesta al impulso del filtro, tal como se define, es distinta de cero durante una duración finita. Incluyendo ceros, la respuesta al impulso es la secuencia infinita :
Si un filtro FIR no es causal, el rango de valores distintos de cero en su respuesta de impulso puede comenzar antes , con la fórmula definitoria apropiadamente generalizada.
Propiedades
Un filtro FIR tiene una serie de propiedades útiles que a veces lo hacen preferible a un filtro de respuesta de impulso infinito (IIR). Filtros FIR:
- No requiera comentarios. Esto significa que los errores de redondeo no se agravan con la suma de iteraciones. El mismo error relativo ocurre en cada cálculo. Esto también simplifica la implementación.
- Son inherentemente estables , ya que la salida es una suma de un número finito de múltiplos finitos de los valores de entrada, por lo que no puede ser mayor que veces el valor más grande que aparece en la entrada.
- Puede diseñarse fácilmente para que sea una fase lineal haciendo simétrica la secuencia de coeficientes. Esta propiedad a veces se desea para aplicaciones sensibles a la fase, por ejemplo, comunicaciones de datos, sismología , filtros cruzados y masterización .
La principal desventaja de los filtros FIR es que se requiere una potencia de cálculo considerablemente mayor en un procesador de propósito general en comparación con un filtro IIR con una nitidez o selectividad similar , especialmente cuando se necesitan cortes de baja frecuencia (en relación con la frecuencia de muestreo). Sin embargo, muchos procesadores de señales digitales proporcionan características de hardware especializadas para hacer que los filtros FIR sean aproximadamente tan eficientes como IIR para muchas aplicaciones.
Respuesta frecuente
El efecto del filtro en la secuencia se describe en el dominio de la frecuencia mediante el teorema de convolución :
- y
donde los operadores y respectivamente, denotan la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) y su inversa. Por lo tanto, la función multiplicativa de valores complejoses la respuesta de frecuencia del filtro . Está definido por una serie de Fourier :
donde el subíndice agregado denota periodicidad 2π. Aquírepresenta la frecuencia en unidades normalizadas ( radianes / muestra ). La sustitucion favorecido por muchos programas de diseño de filtros, cambia las unidades de frecuencia a ciclos / muestra y la periodicidad a 1. [A] Cuando la secuencia x [n] tiene una frecuencia de muestreo conocida, muestras / segundo , la sustitución cambia las unidades de frecuencia a ciclos / segundo ( hercios ) y la periodicidad a El valor corresponde a una frecuencia de Hz ciclos / muestra , que es la frecuencia de Nyquist .
también se puede expresar en términos de la transformada Z de la respuesta al impulso del filtro:
Diseño de filtros
Un filtro FIR se diseña encontrando los coeficientes y el orden del filtro que cumplen ciertas especificaciones, que pueden estar en el dominio del tiempo (por ejemplo, un filtro adaptado ) y / o en el dominio de la frecuencia (el más común). Los filtros combinados realizan una correlación cruzada entre la señal de entrada y una forma de pulso conocida. La convolución FIR es una correlación cruzada entre la señal de entrada y una copia invertida en el tiempo de la respuesta al impulso. Por lo tanto, la respuesta al impulso del filtro adaptado se "diseña" muestreando la forma de pulso conocida y usando esas muestras en orden inverso como coeficientes del filtro. [1]
Cuando se desea una respuesta de frecuencia particular, son comunes varios métodos de diseño diferentes:
- Método de diseño de ventana
- Método de muestreo de frecuencia
- Método mínimo MSE (error cuadrático medio)
- Método Parks-McClellan (también conocido como método Equiripple, Optimal o Minimax). El algoritmo de intercambio de Remez se usa comúnmente para encontrar un conjunto de coeficientes de equiripulación óptima. Aquí el usuario especifica una respuesta deseada de frecuencia, una función de ponderación de errores de esta respuesta, y un orden de filtro N . El algoritmo luego encuentra el conjunto decoeficientes que minimizan la desviación máxima del ideal. Intuitivamente, esto encuentra el filtro que está lo más cerca posible de la respuesta deseada dado que soloSe pueden utilizar coeficientes. Este método es particularmente fácil en la práctica ya que al menos un texto [2] incluye un programa que toma el filtro deseado y N , y devuelve los coeficientes óptimos.
- Los filtros Equiripple FIR también se pueden diseñar utilizando los algoritmos FFT. [3] El algoritmo es de naturaleza iterativa. La DFT de un diseño de filtro inicial se calcula utilizando el algoritmo FFT (si no se dispone de una estimación inicial, se puede utilizar h [n] = delta [n]). En el dominio de Fourier o dominio de FFT, la respuesta de frecuencia se corrige de acuerdo con las especificaciones deseadas, y luego se calcula la FFT inversa. En el dominio del tiempo, solo se mantienen los primeros N coeficientes (los otros coeficientes se establecen en cero). A continuación, el proceso se repite de forma iterativa: la FFT se calcula una vez más, se aplica la corrección en el dominio de la frecuencia, etc.
Los paquetes de software como MATLAB , GNU Octave , Scilab y SciPy proporcionan formas convenientes de aplicar estos diferentes métodos.
Método de diseño de ventana
En el método de diseño de ventanas, primero se diseña un filtro IIR ideal y luego se trunca la respuesta de impulso infinito multiplicándola con una función de ventana de longitud finita . El resultado es un filtro de respuesta de impulso finito cuya respuesta de frecuencia se modifica de la del filtro IIR. Al multiplicar el impulso infinito por la función de ventana en el dominio del tiempo, la respuesta de frecuencia del IIR se convoluciona con la transformada de Fourier (o DTFT) de la función de ventana. Si el lóbulo principal de la ventana es estrecho, la respuesta de frecuencia compuesta permanece cercana a la del filtro IIR ideal.
La respuesta ideal suele ser rectangular y el IIR correspondiente es una función sinc . El resultado de la convolución en el dominio de la frecuencia es que los bordes del rectángulo se estrechan y aparecen ondulaciones en la banda de paso y la banda de parada. Trabajando hacia atrás, se puede especificar la pendiente (o ancho) de la región ahusada ( banda de transición ) y la altura de las ondulaciones, y así derivar los parámetros de dominio de frecuencia de una función de ventana apropiada. Se puede continuar hacia atrás a una respuesta de impulso iterando un programa de diseño de filtro para encontrar el orden de filtro mínimo. Otro método consiste en restringir el conjunto de soluciones a la familia paramétrica de ventanas Kaiser , que proporciona relaciones de forma cerrada entre los parámetros del dominio del tiempo y del dominio de la frecuencia. En general, ese método no logrará el orden de filtro mínimo posible, pero es particularmente conveniente para aplicaciones automatizadas que requieren un diseño de filtro dinámico y sobre la marcha.
El método de diseño de ventana también es ventajoso para crear filtros de media banda eficientes , porque la función sinc correspondiente es cero en todos los demás puntos de muestra (excepto en el central). El producto con la función de ventana no altera los ceros, por lo que casi la mitad de los coeficientes de la respuesta final al impulso son cero. Una implementación apropiada de los cálculos FIR puede explotar esa propiedad para duplicar la eficiencia del filtro.
Método del error cuadrático mínimo (MSE)
Objetivo:
- Para diseñar un filtro FIR en el sentido de MSE, minimizamos el error cuadrático medio entre el filtro que obtuvimos y el filtro deseado.
- , dónde es la frecuencia de muestreo, es el espectro del filtro que obtuvimos, y es el espectro del filtro deseado.
Método:
- Dado un filtro FIR de N puntos , y .
- Paso 1: suponga incluso simétrico. Entonces, la transformada de Fourier de tiempo discreto de Se define como
- Paso 2: Calcule el error cuadrático medio.
- Por lo tanto,
- Paso 3: Minimice el error cuadrático medio haciendo una derivada parcial de MSE con respecto a
- Después de la organización, tenemos
- Paso 4: cambiar volviendo a la presentación de
- y
Además, podemos tratar la importancia de la banda de paso y la banda de parada de manera diferente según nuestras necesidades agregando una función ponderada, Entonces, el error MSE se convierte en
Ejemplo de media móvil
Un filtro de media móvil es un filtro FIR muy simple. A veces se le llama filtro de vagón , especialmente cuando va seguido de diezmado . Los coeficientes de filtro,, se encuentran mediante la siguiente ecuación:
Para proporcionar un ejemplo más específico, seleccionamos el orden de filtro:
La respuesta al impulso del filtro resultante es :
La Fig. (A) de la derecha muestra el diagrama de bloques de un filtro de promedio móvil de segundo orden que se analiza a continuación. La función de transferencia es :
La figura (b) de la derecha muestra el diagrama polo cero correspondiente . La frecuencia cero (CC) corresponde a (1, 0), frecuencias positivas que avanzan en sentido antihorario alrededor del círculo hasta la frecuencia de Nyquist en (-1, 0). Dos polos están ubicados en el origen y dos ceros están ubicados en, .
La respuesta de frecuencia, en términos de frecuencia normalizada ω , es :
La figura (c) de la derecha muestra la magnitud y los componentes de fase de Pero gráficos como estos también se pueden generar haciendo una transformada de Fourier discreta (DFT) de la respuesta al impulso. [B] Y debido a la simetría, el diseño de filtros o el software de visualización a menudo muestran solo la región [0, π]. La gráfica de magnitud indica que el filtro de media móvil pasa las frecuencias bajas con una ganancia cercana a 1 y atenúa las frecuencias altas, y por lo tanto es un filtro de paso bajo crudo . La gráfica de fase es lineal excepto por las discontinuidades en las dos frecuencias donde la magnitud llega a cero. El tamaño de las discontinuidades es π, lo que representa una inversión de signo. No afectan la propiedad de fase lineal. Ese hecho se ilustra en la figura (d).
Ver también
- Filtro electronico
- Filtro (procesamiento de señal)
- Filtro de respuesta de impulso infinito (IIR)
- Transformada Z (específicamente ecuación de diferencia lineal de coeficiente constante )
- Función de transferencia FIR
- Diseño de filtros
- Integrador en cascada-filtro de peine
- Soporte compacto
Notas
- ^ Una excepción es MATLAB, que prefiere unidades de semiciclos / muestra = ciclos / 2 muestras , porque la frecuencia de Nyquist en esas unidades es 1, una opción conveniente para el software de trazado que muestra el intervalo de 0 a la frecuencia de Nyquist.
- ^ Consulte § Muestreo de DTFT .
Referencias
- ^ Oppenheim, Alan V., Willsky, Alan S. y Young, Ian T., 1983: Señales y sistemas, p. 256 (Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc.) ISBN 0-13-809731-3
- ^ Rabiner, Lawrence R. y Gold, Bernard, 1975: Teoría y aplicación del procesamiento de señales digitales (Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc.) ISBN 0-13-914101-4
- ^ AE Cetin, ON Gerek, Y. Yardimci, "Diseño de filtro Equiripple FIR por el algoritmo FFT", IEEE Signal Processing Magazine, págs. 60-64, marzo de 1997.