En el campo matemático de la teoría de nudos , un nudo quiral es un nudo que no es equivalente a su imagen especular. Un nudo orientado que es equivalente a su imagen especular es un nudo anfiquiral , también llamado nudo aquiral . La quiralidad de un nudo es invariante . La quiralidad de un nudo se puede clasificar adicionalmente dependiendo de si es invertible o no .
Hay solo cinco tipos de simetría de nudos, indicados por quiralidad e invertibilidad: completamente quiral, reversible, positivamente anfiquiral no invertible, negativamente anfiquiral no invertible y completamente anfiquiral invertible. [1]
Fondo
La quiralidad de ciertos nudos se sospechó durante mucho tiempo y fue probada por Max Dehn en 1914. PG Tait conjeturó que todos los nudos anfiquirales tenían un número de cruces uniforme , pero Morwen Thistlethwaite et al. en 1998. [2] Sin embargo, la conjetura de Tait se demostró cierto para los primeros , nudos alternos . [3]
Numero de cruces | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | Secuencia OEIS |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nudos quirales | 1 | 0 | 2 | 2 | 7 | dieciséis | 49 | 152 | 552 | 2118 | 9988 | 46698 | 253292 | 1387166 | N / A |
Nudos reversibles | 1 | 0 | 2 | 2 | 7 | dieciséis | 47 | 125 | 365 | 1015 | 3069 | 8813 | 26712 | 78717 | A051769 |
Nudos completamente quirales | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 27 | 187 | 1103 | 6919 | 37885 | 226580 | 1308449 | A051766 |
Nudos anfiquirales | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 5 | 0 | 13 | 0 | 58 | 0 | 274 | 1 | 1539 | A052401 |
Nudos anfiquirales positivos no invertibles | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | sesenta y cinco | A051767 |
Nudos anfiquirales negativos no reversibles | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 40 | 0 | 227 | 1 | 1361 | A051768 |
Nudos completamente anfiquirales | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | 7 | 0 | 17 | 0 | 41 | 0 | 113 | A052400 |
El nudo de trébol para zurdos.
El nudo de trébol de la mano derecha.
El nudo quiral más simple es el nudo de trébol , que Max Dehn demostró que es quiral . Todos los nudos de toro son quirales. El polinomio de Alexander no puede detectar la quiralidad de un nudo, pero el polinomio de Jones puede en algunos casos; si V k ( q ) ≠ V k ( q −1 ), entonces el nudo es quiral, sin embargo, lo contrario no es cierto. El polinomio HOMFLY es incluso mejor en la detección de quiralidad, pero no existe un invariante de nudo polinomial conocido que pueda detectar completamente la quiralidad. [4]
Nudo reversible
Un nudo quiral que es invertible se clasifica como un nudo reversible. [5] Los ejemplos incluyen el nudo de trébol.
Nudo completamente quiral
Si un nudo no es equivalente a su inverso o su imagen especular, es un nudo completamente quiral, por ejemplo el nudo 9 32 . [5]
Nudo anfiquiral
Un nudo anfiquiral es aquel que tiene una orientación -invirtiendo el self- homeomorfismo de la 3-esfera , α, que fija el nudo en forma de conjunto. Todos los nudos alternos anfiquirales tienen un número de cruces par . El primer nudo anfiquiral con número de cruces impar es un nudo de 15 cruces descubierto por Hoste et al. [3]
Totalmente anfiquiral
Si un nudo es isotópico tanto para su reverso como para su imagen especular, es completamente anfiquiral. El nudo más simple con esta propiedad es el nudo en forma de ocho .
Anfiquiral positivo
Si el autohomomorfismo, α, conserva la orientación del nudo, se dice que es anfiquiral positivo. Esto equivale a que el nudo sea isotópico a su espejo. Ningún nudo con un número de cruces menor de doce es anfiquiral positivo y no invertible. [5]
Anfiquiral negativo
Si el autohomomorfismo, α, invierte la orientación del nudo, se dice que es anfiquiral negativo. Esto es equivalente a que el nudo sea isotópico al reverso de su imagen especular. El nudo no invertible con esta propiedad que tiene el menor número de cruces es el nudo 8 17 . [5]
Referencias
- ^ Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeff (1998), "Los primeros 1,701,936 nudos" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 20 (4): 33–48, doi : 10.1007 / BF03025227 , MR 1646740 , archivado desde el original (PDF) en 2013-12 -15.
- ^ Jablan, Slavik; Sazdanovic, Radmila. "Historia de la teoría de nudos y ciertas aplicaciones de nudos y eslabones" . LinKnot . Archivado desde el original el 20 de agosto de 2011.
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Nudo anfiquiral" . MathWorld . Consultado: 5 de mayo de 2013.
- ^ Ramadevi, P .; Govindarajan, TR; Kaul, RK (1994). "Quiralidad de nudos 9 42 y 10 71 y Chern-Simons Theory " ". Mod.Phys.Lett . A9 (34): 3205-18. ArXiv : hep-th / 9401095 . Bibcode : 1994MPLA .... 9.3205R . doi : 10.1142 / S0217732394003026 . S2CID 119143024 .
- ^ a b c d " Invariantes tridimensionales ", The Knot Atlas .