Construcción Gelfand – Naimark – Segal

En el análisis funcional , una disciplina dentro de las matemáticas , dada un C * -álgebra A , la construcción Gelfand-Naimark-Segal establece una correspondencia entre las representaciones cíclicas * de A y ciertos funcionales lineales en A (llamados estados ). La correspondencia se muestra mediante una construcción explícita de la representación * del estado. Lleva el nombre de Israel Gelfand , Mark Naimark e Irving Segal .

Estados y representaciones

A * -representación de un C * -álgebra A en un espacio de Hilbert H es un mapeo π de A en el álgebra de operadores acotados en H tal que

• π es un homomorfismo de anillo que lleva involución en A a involución en operadores
• π es no degenerada , que es el espacio de los vectores de pi ( x ) ξ es denso como x rangos a través de A y rangos xi a través de H . Tenga en cuenta que si A tiene una identidad, medios nondegeneracy exactamente π es la unidad de preservación, es decir π asigna la identidad de A al operador de identidad en H .

Un estado en un C * -álgebra A es un funcional lineal positivo f de norma 1. Si A tiene un elemento de unidad multiplicativa, esta condición es equivalente af (1) = 1.

Para una representación π de un C * -álgebra A en un espacio de Hilbert H , un elemento ξ se llama vector cíclico si el conjunto de vectores

${\displaystyle \{\pi (x)\xi :x\in A\}}$

es norma denso en H , en cuyo caso π se denomina representación cíclica . Cualquier vector distinto de cero de una representación irreducible es cíclico. Sin embargo, los vectores distintos de cero en una representación cíclica pueden no ser cíclicos.

La construcción GNS

Sea π una * -representación de un C * -álgebra A en el espacio de Hilbert H y ξ un vector cíclico de norma unitaria para π. Luego

${\displaystyle a\mapsto \langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }$

es un estado de A .

A la inversa, cada estado de A puede verse como un estado vectorial como antes, bajo una representación canónica adecuada.

Teorema. ^[1] Dado un ρ estado de A , hay un π -Representación * de A que actúa sobre un espacio de Hilbert H con la unidad distinguido cíclico vector ξ de tal manera que para cada una en una .${\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }$

Prueba.

1) Construcción del espacio Hilbert H

Definir en A una forma sesquilínea semi-definida

${\displaystyle \langle a,b\rangle =\rho (b^{*}a),\;a,b\in A.}$

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz , los elementos degenerados, una en A que satisfacen ρ ( A * A ) = 0, forman un subespacio vectorial I de A . Mediante un argumento algebraico de C *, se puede demostrar que I es un ideal izquierdo de A (conocido como el núcleo izquierdo de ρ). De hecho, es el ideal izquierdo más grande en el espacio nulo de ρ. El espacio cociente de A por el subespacio vectorial I es un espacio de producto interno con el producto interno definido por . La finalización de Cauchy de A / I${\displaystyle \langle a+I,b+I\rangle :=\rho (b^{*}a),\;a,b\in A}$en la norma inducida por este producto interior es un espacio de Hilbert, que denotamos por H .

2) Construcción de la representación π

Definir el π acción de A en A / I por π ( una ) ( b + I ) = ab + I de A en A / I . El mismo argumento que muestra que I es un ideal de la izquierda también implica que π ( a ) es un operador acotado en A / I y, por lo tanto, puede extenderse únicamente hasta la finalización. Desentrañando la definición del adjunto de un operador en un espacio de Hilbert, π resulta ser * -preservante. Esto prueba la existencia de una representación * π.

3) Identificación del vector cíclico de la norma unitaria ξ

Si A tiene una identidad multiplicativa 1, entonces es inmediato que la clase de equivalencia ξ en el espacio GNS Hilbert H que contiene 1 es un vector cíclico para la representación anterior. Si A es no unital, tomar una identidad aproximada { e _λ } para A . Dado que los funcionales lineales positivos están acotados, las clases de equivalencia de la red { e _λ } convergen a algún vector ξ en H , que es un vector cíclico para π.

Es claro a partir de la definición del producto interno en el espacio de Hilbert GNS H que la ρ estado se puede recuperar como un vector de estado en H . Esto prueba el teorema.

El método utilizado para producir una representación * a partir de un estado de A en la demostración del teorema anterior se llama construcción GNS . Para un estado de un C * -álgebra A , la representación GNS correspondiente está esencialmente determinada de forma única por la condición, como se ve en el teorema siguiente.${\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }$

Teorema. ^[2] Dado un estado ρ de A , sean π, π '* -representaciones de A en los espacios de Hilbert H , H' respectivamente cada uno con vectores cíclicos de norma unitaria ξ ∈ H , ξ '∈ H' tales que para todos . Entonces π, π 'son unitariamente equivalente * -representations es decir, no es un operador unitario U de H a H' tal que π '( un ) = Uπ ( un ) U * para todos una en una . El operador U que implementa la equivalencia unitaria mapea π ( a ) ξ a π '(${\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle =\langle \pi '(a)\xi ',\xi '\rangle }$${\displaystyle a\in A}$un ) ξ' para todos una en una .

Importancia de la construcción GNS

La construcción GNS está en el corazón de la demostración del teorema de Gelfand-Naimark que caracteriza a las álgebras C * como álgebras de operadores. AC * -álgebra tiene suficientes estados puros (ver más abajo) para que la suma directa de las correspondientes representaciones GNS irreductibles sea fiel .

La suma directa de las correspondientes representaciones GNS de todos los estados se llama la representación universal de A . La representación universal de A contiene todas las representaciones cíclicas. Como toda representación * es una suma directa de representaciones cíclicas, se deduce que toda representación * de A es una suma directa de alguna suma de copias de la representación universal.

Si Φ es la representación universal de una C * álgebra A , el cierre de Φ ( A ) en la topología débil operador se llama la envolvente álgebra de von Neumann de una . Se puede identificar con la doble doble A ** .

Irreducibilidad

También es significativa la relación entre las representaciones * irreductibles y los puntos extremos del conjunto convexo de estados. Una representación π en H es irreducible si y solo si no hay subespacios cerrados de H que sean invariantes bajo todos los operadores π ( x ) distintos del propio H y el subespacio trivial {0}.

Teorema . El conjunto de estados de un C * -álgebra A con un elemento unitario es un conjunto convexo compacto bajo la topología débil- *. En general, (independientemente de si A tiene o no un elemento unitario) el conjunto de funcionales positivos de norma ≤ 1 es un conjunto convexo compacto.

Ambos resultados se derivan inmediatamente del teorema de Banach-Alaoglu .

En el caso conmutativo unital, para el C * -álgebra C ( X ) de funciones continuas en algún X compacto , el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani dice que los funcionales positivos de la norma ≤ 1 son precisamente las medidas positivas de Borel en X con total masa ≤ 1. Se deduce del teorema de Kerin-Milman que los estados extremos son las medidas de masa puntual de Dirac.

Por otro lado, una representación de C ( X ) es irreductible si y solo si es unidimensional. Por lo tanto, la representación GNS de C ( X ) correspondiente a una medida μ es irreducible si y solo si μ es un estado extremo. De hecho, esto es cierto para C * -álgebras en general.

Teorema . Sea A un C * -álgebra. Si π es una representación * de A en el espacio de Hilbert H con vector cíclico de norma unitaria ξ, entonces π es irreducible si y solo si el estado correspondiente f es un punto extremo del conjunto convexo de funcionales lineales positivos en A de norma ≤ 1.

Para probar este resultado, se observa primero que una representación es irreductible si y solo si el conmutador de π ( A ), denotado por π ( A ) ', consta de múltiplos escalares de la identidad.

Cualquier funcional lineal positivo g en A dominado por f es de la forma

${\displaystyle g(x^{*}x)=\langle \pi (x)\xi ,\pi (x)T_{g}\,\xi \rangle }$

para algún operador positivo T _g en π ( A ) 'con 0 ≤ T ≤ 1 en el orden del operador. Ésta es una versión del teorema Radon-Nikodym .

Para tal g , se puede escribir f como una suma de funcionales lineales positivos: f = g + g ' . Entonces π es unitariamente equivalente a una subrepresentación de π _g ⊕ π _{g '} . Esto muestra que π es irreductible si y solo si cualquiera de tales π _g es unitariamente equivalente a π, es decir, g es un múltiplo escalar de f , lo que demuestra el teorema.

Los estados extremos suelen denominarse estados puros . Tenga en cuenta que un estado es un estado puro si y solo si es extremo en el conjunto convexo de estados.

Los teoremas anteriores para las álgebras C * son válidos de manera más general en el contexto de las álgebras B * con identidad aproximada.

Generalizaciones

El teorema de factorización de Stinespring que caracteriza mapas completamente positivos es una generalización importante de la construcción de GNS.

Historia

El artículo de Gelfand y Naimark sobre el teorema de Gelfand-Naimark se publicó en 1943. ^[3] Segal reconoció la construcción que estaba implícita en este trabajo y la presentó en forma afilada. ^[4]

En su artículo de 1947, Segal demostró que es suficiente, para cualquier sistema físico que pueda ser descrito por un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert, considerar las representaciones irreductibles de un álgebra C *. En teoría cuántica, esto significa que los observables generan el álgebra C *. Esto, como señaló Segal, había sido demostrado anteriormente por John von Neumann solo para el caso específico de la teoría no relativista de Schrödinger-Heisenberg. ^[5]

Ver también

• Vector cíclico y separador

Referencias

• William Arveson , Una invitación a C * -Álgebra , Springer-Verlag, 1981
• Kadison, Richard , Fundamentos de la teoría de las álgebras de operadores, vol. I: Teoría elemental , Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN  978-0821808191 .
• Jacques Dixmier , Les C * -algèbres et leurs Représentations , Gauthier-Villars, 1969.
  Traducción al inglés: Dixmier, Jacques (1982). C * -álgebras . Holanda Septentrional. ISBN 0-444-86391-5.
• Thomas Timmermann, Una invitación a los grupos cuánticos y la dualidad: de las álgebras de Hopf a los unitarios multiplicativos y más allá , European Mathematical Society, 2008, ISBN 978-3-03719-043-2 - Apéndice 12.1, sección: Construcción de GNS (p. 371) 
• Stefan Waldmann: Sobre la teoría de la representación de la cuantificación de la deformación , En: Cuantificación de la deformación: Actas del Encuentro de físicos teóricos y matemáticos, Estrasburgo, 31 de mayo-2 de junio de 2001 (Estudios en gramática generativa) , Gruyter, 2002, ISBN 978-3 -11-017247-8 , pág. 107-134 - sección 4. La construcción de GNS (pág. 113) 
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashfully (2005). Métodos topológicos geométricos y algebraicos en mecánica cuántica . World Scientific. ISBN 981-256-129-3.

Referencias en línea

1. Kadison, RV , Teorema 4.5.2, Fundamentos de la teoría de las álgebras del operador, vol. I: Teoría elemental, Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0821808191 
2. Kadison, RV , Proposición 4.5.3, Fundamentos de la teoría de las álgebras del operador, vol. I: Teoría elemental, Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0821808191 
3. MI Gelfand , MA Naimark (1943). "Sobre la incrustación de anillos normativos en el anillo de operadores en un espacio de Hilbert" . Matematicheskii Sbornik . 12 (2): 197–217.(también Google Books , véanse las págs. 3 a 20)
4. Richard V. Kadison : Notas sobre el teorema de Gelfand-Neimark . En: Robert C. Doran (ed.): C * -Algebras: 1943–1993. A Fifty Year Celebration , sesión especial de AMS que conmemora los primeros cincuenta años de la teoría del álgebra C *, 13-14 de enero de 1993, San Antonio, Texas, American Mathematical Society, págs. 21-54, ISBN 0-8218-5175-6 ( disponible en Google Books , véanse las páginas 21 y siguientes). 
5. IE Segal (1947). "Representaciones irreducibles de álgebras de operadores" (PDF) . Toro. Soy. Matemáticas. Soc . 53 : 73–88. doi : 10.1090 / s0002-9904-1947-08742-5 .