En matemáticas , un módulo de Galois es un G -módulo , con G siendo el grupo de Galois de alguna extensión de campos . El término representación de Galois se usa con frecuencia cuando el módulo G es un espacio vectorial sobre un campo o un módulo libre sobre un anillo en la teoría de la representación , pero también puede usarse como sinónimo de módulo G. El estudio de módulos de Galois para extensiones de campos locales o globales y su cohomología grupal.es una herramienta importante en la teoría de números .
Sea K un campo valorado (con la valoración denotada con v ) y sea L / K una extensión finita de Galois con el grupo G de Galois . Para una extensión w de v a L , y mucho I w denotan su grupo inercia . Se dice que un módulo de Galois ρ: G → Aut ( V ) no está ramificado si ρ ( I w ) = {1}.
En la teoría de números algebraica clásica , sea L una extensión de Galois de un campo K y sea G el grupo de Galois correspondiente. Entonces, el anillo O L de los enteros algebraicos de L se puede considerar como un módulo O K [ G ], y uno puede preguntarse cuál es su estructura. Ésta es una cuestión aritmética, ya que por el teorema de la base normal uno sabe que L es un módulo K [ G ] libre de rango 1. Si lo mismo es cierto para los números enteros, eso es equivalente a la existencia de una base integral normal, Es decir, de α en O L tal que sus elementos conjugados bajo G dan una base libre para O L sobre O K . Esta es una pregunta interesante, incluso (quizás especialmente) cuando K es el número racional campo Q .
Por ejemplo, si L = Q ( √ −3 ), ¿hay una base integral normal? La respuesta es sí, como se ve al identificarlo con Q ( ζ ) donde
De hecho, todos los subcampos de los campos ciclotómicos para p -ésimas raíces de la unidad para p un número primo tienen bases integrales normales (sobre Z ), como se puede deducir de la teoría de los períodos gaussianos (el teorema de Hilbert-Speiser ). Por otro lado, el campo gaussiano no lo hace. Este es un ejemplo de una condición necesaria encontrada por Emmy Noether (¿ quizás conocida antes? ). Lo que importa aquí es la ramificación dócil . En términos del discriminante D de L , y tomando todavía K = Q , ningún primo p debe dividir D a la potencia p . Entonces, el teorema de Noether establece que la ramificación dócil es necesaria y suficiente para que O L sea un módulo proyectivo sobre Z [ G ]. Por tanto, es ciertamente necesario que sea un módulo gratuito . Deja la cuestión de la brecha entre lo libre y lo proyectivo, para lo cual ahora se ha construido una gran teoría.
Un resultado clásico, basado en un resultado de David Hilbert , es que un campo numérico abeliano dócilmente ramificado tiene una base integral normal. Esto se puede ver utilizando el teorema de Kronecker-Weber para incrustar el campo abeliano en un campo ciclotómico. [1]