En geometría , el gyrobifastigium es el 26º sólido de Johnson ( J 26 ). Puede construirse uniendo dos prismas triangulares regulares a lo largo de caras cuadradas correspondientes, dando un cuarto de vuelta a un prisma. [1] Es el único sólido de Johnson que puede revestir un espacio tridimensional. [2] [3]
Gyrobifastigium | |
---|---|
Tipo | Johnson J 25 - J 26 - J 27 |
Caras | 4 triángulos 4 cuadrados |
Bordes | 14 |
Vértices | 8 |
Configuración de vértice | 4 (3.4 2 ) 4 (3.4.3.4) |
Grupo de simetría | D 2d |
Poliedro doble | Disfenoides tetragonal alargado |
Propiedades | convexo , nido de abeja |
Neto | |
También es la figura del vértice del duoantiprisismo pq no uniforme (si pyq son mayores que 2). A pesar de que p, q = 3 daría un equivalente geométricamente idéntico al sólido de Johnson, carece de una esfera circunscrita que toque todos los vértices, excepto en el caso p = 5, q = 5/3, que representa un gran duoantiprisma uniforme . .
Su dual, el difenoide tetragonal alargado , se puede encontrar como células de los duales de los duoantiprismas pq.
Historia y nombre
Un sólido de Johnson es uno de los 92 poliedros estrictamente convexos que se componen de caras poligonales regulares pero que no son poliedros uniformes (es decir, no son sólidos platónicos , sólidos de Arquímedes , prismas o antiprismas ). Fueron nombrados por Norman Johnson , quien primero enumeró estos poliedros en 1966. [4]
El nombre del gyrobifastigium proviene del latín fastigium , que significa techo inclinado. [5] En la convención de nomenclatura estándar de los sólidos de Johnson, bi- significa dos sólidos conectados en sus bases, y gyro- significa que las dos mitades están torcidas una con respecto a la otra.
El lugar del gyrobifastigium en la lista de sólidos de Johnson, inmediatamente antes de las bicupolas , se explica al verlo como una gyrobicupola digonal . Al igual que las otras cúpulas regulares tienen una secuencia alterna de cuadrados y triángulos que rodean un único polígono en la parte superior ( triángulo , cuadrado o pentágono ), cada mitad del gyrobifastigium consta de cuadrados y triángulos alternados, conectados en la parte superior solo por una cresta. .
Panal
El panal prismático triangular girado se puede construir empaquetando un gran número de gyrobifastigiums idénticos. El gyrobifastigium es uno de los cinco poliedros convexos con caras regulares capaces de llenar el espacio (los otros son el cubo , el octaedro truncado , el prisma triangular y el prisma hexagonal ) y es el único sólido de Johnson capaz de hacerlo. [2] [3]
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas para el gyrobifastigium con caras regulares y longitudes de borde unitarias se pueden derivar fácilmente de la fórmula de la altura de la longitud del borde unitario[6] como sigue:
Para calcular fórmulas para el área de superficie y el volumen de un gyrobifastigium con caras regulares y con una longitud de borde a , simplemente se pueden adaptar las fórmulas correspondientes para el prisma triangular: [7]
- [8]
- [9]
Poliedros topológicamente equivalentes
Biprisismo de Schmitt-Conway-Danzer
El biprisma de Schmitt-Conway-Danzer (también llamado prototipo SCD [10] ) es un poliedro topológicamente equivalente al gyrobifastigium, pero con paralelogramo y caras de triángulos irregulares en lugar de cuadrados y triángulos equiláteros. Al igual que el gyrobifastigium, puede llenar el espacio, pero solo de forma aperiódica o con una simetría de tornillo , no con un grupo completo de simetrías tridimensionales. Por lo tanto, proporciona una solución parcial al problema de Einstein tridimensional . [11] [12]
Doble
El poliedro dual del gyrobifastigium tiene 8 caras: 4 triángulos isósceles , correspondientes a los vértices de grado tres del gyrobifastigium, y 4 paralelogramos correspondientes a los vértices ecuatoriales de grado cuatro.
Ver también
- Gyrobifastigium alargado
- Octaedro alargado
Referencias
- ^ Darling, David (2004), El libro universal de las matemáticas: de Abracadabra a las paradojas de Zeno , John Wiley & Sons, p. 169, ISBN 9780471667001.
- ^ a b Alam, SM Nazrul; Haas, Zygmunt J. (2006), "Cobertura y conectividad en redes tridimensionales", Actas de la 12ª Conferencia internacional anual sobre informática móvil y redes (MobiCom '06) , Nueva York, NY, EE. UU .: ACM, págs. 346 –357, arXiv : cs / 0609069 , doi : 10.1145 / 1161089.1161128 , ISBN 1-59593-286-0.
- ^ a b Kepler, Johannes (2010), The Six-Cornered Snowflake , Paul Dry Books, nota al pie 18, p. 146 , ISBN 9781589882850.
- ^ Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169-200, doi : 10.4153 / cjm-1966-021-8 , MR 0185507 , Zbl 0132.14603.
- ^ Rich, Anthony (1875), "Fastigium" , en Smith, William (ed.), Diccionario de antigüedades griegas y romanas , Londres: John Murray, págs. 523–524.
- ^ Weisstein, Eric W. "Triángulo equilátero" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 13 de abril de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Prisma triangular" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 13 de abril de 2020 .
- ^ Wolfram Research, Inc. (2020). "Wolfram | Base de conocimientos Alpha". Champaign, IL.
Cite journal requierePolyhedronData[{"Johnson", 26}, "SurfaceArea"]
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( ayuda ) - ^ Wolfram Research, Inc. (2020). "Wolfram | Base de conocimientos Alpha". Champaign, IL.
Cite journal requierePolyhedronData[{"Johnson", 26}, "Volume"]
|journal=
( ayuda ) - ^ Forzar la no periodicidad con una sola baldosa Joshua ES Socolar y Joan M. Taylor, 2011
- ^ Senechal, Marjorie (1996), "7.2 The SCD (Schmitt-Conway-Danzer) tile" , Cuasicrystals and Geometry , Cambridge University Press, págs. 209-213, ISBN 9780521575416.
- ^ Azulejos de espacio con demostraciones de wolfram del biprisismo de Schmitt-Conway
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , Gyrobifastigium ( sólido de Johnson ) en MathWorld .