En la matemática campo de la teoría de la representación , un peso de un álgebra A lo largo de un campo F es un homomorfismo álgebra de A a F , o equivalentemente, una unidimensional representación de A sobre F . Es el análogo de álgebra de un carácter multiplicativo de un grupo . La importancia del concepto, sin embargo, se deriva de su aplicación a representaciones de álgebras de Lie y, por lo tanto, también a representaciones degrupos algebraicos y de Lie . En este contexto, el peso de una representación es una generalización de la noción de valor propio , y el espacio propio correspondiente se denomina espacio de peso .
Motivación y concepto general
Dado un conjunto S de matrices en el mismo campo, cada uno de los cuales es diagonalizable , y cualquier dos de los cuales conmutan , siempre es posible diagonalizar simultáneamente todos los elementos de S . [nota 1] De manera equivalente, para cualquier conjunto S de transformaciones lineales semisimples de conmutación mutua de un espacio vectorial de dimensión finita V , existe una base de V que consiste en simultáneas vectores propios de todos los elementos de S . Cada uno de estos autovectores comunes v ∈ V define un funcional lineal en la subálgebra U de Fin ( V ) generado por el conjunto de endomorfismos S ; este funcional se define como el mapa que asocia a cada elemento de U su valor propio en el vector propio v . Este mapa también es multiplicativo y envía la identidad a 1; por tanto, es un homomorfismo de álgebra de U al campo base. Este "valor propio generalizado" es un prototipo de la noción de peso.
La idea está estrechamente relacionado con la idea de un carácter multiplicativo en la teoría de grupos , que es un homomorfismo χ de un grupo G en el grupo multiplicativo de un campo F . Así χ : G → F × satisface χ ( e ) = 1 (donde e es el elemento identidad de G ) y
- para todos g , h en G .
De hecho, si G actúa sobre un espacio vectorial V sobre F , cada autoespacio simultáneo para cada elemento de G , si existe, determina un carácter multiplicativo en G : el autovalor en este autoespacio común de cada elemento del grupo.
La noción de carácter multiplicativo se puede extender a cualquier álgebra A sobre F , reemplazando χ : G → F × por un mapa lineal χ : A → F con:
para todos un , b en A . Si un álgebra A actúa sobre un espacio vectorial V sobre F a cualquier autoespacio simultáneo, esto corresponde a un homomorfismo de álgebra de A a F asignando a cada elemento de A su autovalor.
Si A es un álgebra de Lie (que generalmente no es un álgebra asociativa), entonces, en lugar de requerir la multiplicatividad de un carácter, se requiere que mapee cualquier corchete de Lie al conmutador correspondiente ; pero como F es conmutativa, esto simplemente significa que este mapa debe desaparecer en los corchetes de Lie: χ ([a, b]) = 0. Un peso en un álgebra de Lie g sobre un campo F es un mapa lineal λ: g → F con λ ([ x , y ]) = 0 para todo x , y en g . Cualquier peso en un álgebra de Lie g desaparece en el álgebra derivada [ g , g ] y por lo tanto desciende a un peso en el álgebra de Lie abeliana g / [ g , g ]. Por lo tanto, los pesos son de interés principalmente para las álgebras de Lie abelianas, donde se reducen a la noción simple de un valor propio generalizado para el espacio de transformaciones lineales de conmutación.
Si G es un grupo de Lie o un grupo algebraico , entonces un carácter multiplicativo θ: G → F × induce un peso χ = dθ: g → F en su álgebra de Lie por diferenciación. (Para los grupos de Lie, esta es la diferenciación en el elemento de identidad de G , y el caso del grupo algebraico es una abstracción que usa la noción de derivación).
Pesos en la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimple
Dejar ser un álgebra de mentira compleja y semisimple y una subálgebra de Cartan de . En esta sección, describimos los conceptos necesarios para formular el "teorema del mayor peso" clasificando las representaciones de dimensión finita de. En particular, explicaremos la noción de "elemento integral dominante". Las representaciones en sí mismas se describen en el artículo vinculado anteriormente.
Peso de una representación
Sea V una representación de un álgebra de Liesobre C y sea λ un funcional lineal en. Entonces elel espacio de peso deVcon peso λ es el subespacio dada por
- .
Un peso de la representación V es un funcional lineal λ tal que el espacio de peso correspondiente es distinto de cero. Los elementos distintos de cero del espacio de peso se denominan vectores de peso . Es decir, un vector de peso es un autovector simultáneo para la acción de los elementos de, con los valores propios correspondientes dados por λ.
Si V es la suma directa de sus espacios de peso
entonces se llama módulo de peso ; esto corresponde a que hayauna basepropiacomún(una base de vectores propios simultáneos) para todos los elementos representados del álgebra, es decir, que sean matrices diagonalizables simultáneamente (vermatriz diagonalizable).
Si G es un grupo con álgebra de Lie, toda representación de dimensión finita de G induce una representación de. Un peso de la representación de G es entonces simplemente un peso de la representación asociada de. Hay una distinción sutil entre los pesos de las representaciones de grupo y las representaciones del álgebra de Lie, que es que existe una noción diferente de condición de integralidad en los dos casos; vea abajo. (La condición de integralidad es más restrictiva en el caso del grupo, lo que refleja que no todas las representaciones del álgebra de Lie provienen de una representación del grupo).
Acción de los vectores raíz
Si V es la representación adjunta de, los pesos distintos de cero de V se denominan raíces , los espacios de peso se denominan espacios de raíz y los vectores de peso se denominan vectores de raíz. Explícitamente, un funcional lineal en se llama raíz si y existe un distinto de cero en tal que
para todos en . La colección de raíces forma un sistema de raíces .
Desde la perspectiva de la teoría de la representación, el significado de las raíces y los vectores raíz es el siguiente resultado elemental pero importante: Si V es una representación de, v es un vector de peso con pesoy X es un vector raíz con raíz, luego
para todos los H en. Es decir, es el vector cero o un vector de peso con peso . Así, la acción de mapea el espacio de peso con el peso en el espacio de peso con peso .
Elemento integral
Dejar ser el subespacio real de generado por las raíces de . Para los cálculos, es conveniente elegir un producto interno que sea invariante bajo el grupo de Weyl, es decir, bajo reflexiones sobre los hiperplanos ortogonales a las raíces. Luego, podemos usar este producto interno para identificar con un subespacio de . Con esta identificación, el coroot asociado a una raíz se da como
- .
Ahora definimos dos nociones diferentes de integralidad para elementos de . La motivación de estas definiciones es simple: los pesos de las representaciones de dimensión finita desatisfacen la primera condición de integralidad, mientras que si G es un grupo con álgebra de Lie, los pesos de las representaciones de dimensión finita de G satisfacen la segunda condición de integralidad.
Un elemento es algebraicamente integral si
para todas las raíces . La motivación de esta condición es que el corootse puede identificar con el elemento H en un estándarbase para una sl (2, C ) -subálgebra de g . [1] Por resultados elementales para sl (2, C ), los valores propios deen cualquier representación de dimensión finita debe ser un número entero. Concluimos que, como se indicó anteriormente, el peso de cualquier representación de dimensión finita dees algebraicamente integral. [2]
Los pesos fundamentales se definen por la propiedad de la que forman una base dual al conjunto de coroots asociados a las raíces simples . Es decir, los pesos fundamentales están definidos por la condición
dónde son las raíces simples. Un elementoes entonces algebraicamente integral si y solo si es una combinación integral de los pesos fundamentales. [3] El conjunto de todos-los pesos integrales es una celosía enllamado celosía de peso para, denotado por .
La figura muestra el ejemplo del álgebra de Lie sl (3, C), cuyo sistema de raíces es el sistema raíz. Hay dos raíces simples, y . El primer peso fundamental,, debe ser ortogonal a y debe proyectarse ortogonalmente a la mitad de , y de manera similar para . La celosía de peso es entonces la celosía triangular.
Supongamos ahora que el álgebra de Lie es el álgebra de Lie de un grupo de Lie G . Entonces decimos quees analíticamente integral ( G-integral ) si para cada t en tal que tenemos . La razón para hacer esta definición es que si una representación desurge de una representación de G , entonces los pesos de la representación serán G -integral. [4] Para G semisimple, el conjunto de todos los pesos integrales G es una subred P ( G ) ⊂ P (). Si G está simplemente conectado , entonces P ( G ) = P (). Si G no está simplemente conectado, entonces la red P ( G ) es más pequeña que P () Y su cociente es isomorfo al grupo fundamental de G . [5]
Ordenamiento parcial en el espacio de pesos
Introducimos ahora un ordenamiento parcial en el conjunto de pesos, que se utilizará para formular el teorema del mayor peso que describe las representaciones de g . Recuerde que R es el conjunto de raíces; ahora arreglamos un conjuntode raíces positivas .
Considere dos elementos y de . Estamos interesados principalmente en el caso en el que y son integrales, pero esta suposición no es necesaria para la definición que estamos a punto de introducir. Entonces decimos quees mayor que, que escribimos como , Si se puede expresar como una combinación lineal de raíces positivas con coeficientes reales no negativos. [6] Esto significa, aproximadamente, que "superior" significa en las direcciones de las raíces positivas. Equivalentemente decimos que es mas bajo que , que escribimos como .
Este es solo un pedido parcial ; puede suceder fácilmente que no es ni mayor ni menor que .
Peso dominante
Un elemento integral λ es dominante sipara cada raíz positiva γ . De manera equivalente, λ es dominante si es una combinación de números enteros no negativos de los pesos fundamentales. En elEn este caso, los elementos integrales dominantes viven en un sector de 60 grados. La noción de ser dominante no es lo mismo que ser superior a cero.
El conjunto de todo λ (no necesariamente integral) tal que se conoce como la cámara de Weyl fundamental asociada al conjunto dado de raíces positivas.
Teorema del mayor peso
Un peso de una representación de se llama un peso más alto si cada dos pesos de es mas bajo que .
La teoría que clasifica las representaciones irreductibles de dimensión finita dees por medio de un "teorema de mayor peso". El teorema dice que [7]
- (1) toda representación irreducible (de dimensión finita) tiene un peso más alto,
- (2) el peso más alto es siempre un elemento dominante, algebraicamente integral,
- (3) dos representaciones irreductibles con el mismo peso más alto son isomorfas, y
- (4) cada elemento dominante algebraicamente integral es el peso más alto de una representación irreductible.
El último punto es el más difícil; las representaciones se pueden construir usando módulos Verma .
Módulo de mayor peso
Una representación (no necesariamente de dimensión finita) V dese llama módulo de mayor peso si es generado por un vector de peso v ∈ V que es aniquilado por la acción de todos los espacios de raíz positivos en. Cada irreductible-módulo con un peso más alto es necesariamente un módulo de peso más alto, pero en el caso de dimensión infinita, un módulo de peso más alto no necesita ser irreducible. Para cada—No necesariamente dominante o integral— existe un único (hasta isomorfismo) simple de mayor peso-módulo con mayor peso λ, que se denota L (λ), pero este módulo es de dimensión infinita a menos que λ sea integral dominante. Se puede demostrar que cada módulo de mayor peso con mayor peso λ es un cociente del módulo Verma M (λ). Esto es solo una reafirmación de la propiedad de universalidad en la definición de un módulo Verma.
Cada módulo de mayor peso de dimensión finita es irreducible. [8]
Ver también
- Clasificación de representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie
- Teoría de representación de un grupo de Lie compacto conectado
- Categoría de mayor peso
- Sistema raíz
Notas
- ^ De hecho, dado un conjunto de matrices de conmutación sobre un campo algebraicamente cerrado, son simultáneamente triangularizables , sin necesidad de asumir que son diagonalizables.
Referencias
- ^ Teorema 7.19 de Hall 2015 y Eq. (7,9)
- ^ Salón 2015 Proposición 9.2
- ^ Salón 2015 Proposición 8.36
- ^ Salón 2015 Proposición 12.5
- ↑ Hall 2015 Corolario 13.8 y Corolario 13.20
- ↑ Hall 2015 Definición 8.39
- ^ Teoremas 9.4 y 9.5 de Hall 2015
- ^ Esto se sigue de (la prueba de) la Proposición 6.13 en el Salón de 2015 junto con el resultado general sobre la reducibilidad completa de representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie semisimple
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 ..
- Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Representaciones e invariantes de los grupos clásicos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9.
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Humphreys, James E. (1972a), Introducción a las álgebras de mentiras y la teoría de la representación , Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7.
- Humphreys, James E. (1972b), Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas, 21 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773
- Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción (2a ed.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4.