En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Higman-Sims HS es un grupo simple esporádico de orden
- 2 9 ⋅3 2 ⋅5 3 ⋅7⋅11 = 44352000
- ≈ 4 × 10 7 .
El multiplicador de Schur tiene orden 2, el grupo de automorfismo externo tiene orden 2 y el grupo 2.HS.2 aparece como un centralizador de involución en el grupo Harada-Norton .
Historia
HS es uno de los 26 grupos esporádicos y fue encontrado por Donald G. Higman y Charles C. Sims ( 1968 ). Asistían a una presentación de Marshall Hall sobre el grupo J 2 de Hall-Janko . Sucede que J 2 actúa como un grupo de permutación en el gráfico de Hall-Janko de 100 puntos, siendo el estabilizador de un punto un subgrupo con otras dos órbitas de longitudes 36 y 63. Inspirados por esto, decidieron buscar otra permutación de rango 3 grupos en 100 puntos. Pronto se centraron en uno posible que contenga el grupo de Mathieu M 22 , que tiene representaciones de permutación en 22 y 77 puntos. (La última representación surge porque el sistema Steiner M 22 tiene 77 bloques). Al juntar estas dos representaciones, encontraron HS, con un estabilizador de un punto isomorfo a M 22 .
HS es el subgrupo simple del índice dos en el grupo de automorfismos del gráfico de Higman-Sims . El gráfico Higman-Sims tiene 100 nodos, por lo que el grupo Higman-Sims HS es un grupo transitivo de permutaciones de un conjunto de 100 elementos.
Graham Higman ( 1969 ) descubrió de forma independiente al grupo como un grupo de permutación doblemente transitivo que actúa sobre una cierta "geometría" en 176 puntos.
Construcción
El código GAP para construir el grupo Higman-Sims se presenta como un ejemplo en la propia documentación GAP. [1]
El grupo Higman-Sims se puede construir con los siguientes dos generadores : [1]
y
Relación con los grupos de Conway
Conway (1968) identificó al grupo Higman-Sims como un subgrupo del grupo Co 0 de Conway . En Co 0 HS surge como un estabilizador puntual de un triángulo 2-3-3 , uno cuyas aristas (diferencias de vértices) son vectores de tipo 2 y 3. Por tanto, HS es un subgrupo de cada uno de los grupos de Conway Co 0 , Co 2 y Co 3 .
Wilson (2009) (p. 208) muestra que el grupo HS está bien definido. En la celosía Leech , suponga que un punto v de tipo 3 está fijado por una instancia de Co 3 . Cuente los puntos de tipo 2 w de manera que el producto interno v · w = 2 (y por lo tanto v - w sea de tipo 3). Muestra que su número es 11,178 = 2⋅3 5 ⋅23 y que este Co 3 es transitivo en estos w .
| HS | = | Co 3 | / 11,178 = 44,352,000.
De hecho, | HS | = 100 | M 22 | y hay casos de HS que incluyen una representación de matriz de permutación del grupo Mathieu M 22 .
Si una instancia de HS en Co 0 fija un punto particular de tipo 3, este punto se encuentra en 276 triángulos de tipo 2-2-3 que esta copia de HS permuta en órbitas de 176 y 100. Este hecho lleva a la construcción de Graham Higman así como al gráfico Higman-Sims. HS es doblemente transitivo en 176 y rango 3 en 100.
Un triángulo 2-3-3 define un subespacio bidimensional fijo puntualmente por HS. Por tanto, la representación estándar de HS se puede reducir a 22 dimensiones.
Un gráfico de Higman-Sims
Wilson (2009) (p. 210) da un ejemplo de una gráfica de Higman-Sims dentro de la red Leech , permutada por la representación de M 22 en las últimas 22 coordenadas:
- 22 puntos de forma (1, 1, −3, 1 21 )
- 77 puntos de forma (2, 2, 2 6 , 0 16 )
- Un punto 100 (4, 4, 0 22 )
Las diferencias de puntos adyacentes son de tipo 3; los de los no adyacentes son de tipo 2.
Aquí, HS corrige un triángulo 2-3-3 con vértices x = (5, 1 23 ) , Y = (1, 5, 1 22 ) , y z el origen. x y y son de tipo 3, mientras que x - Y = (4, -4, 0 22 ) es de tipo 2. Cualquier vértice de los difiere gráfico a partir de x , y , y z por vectores de tipo 2.
Dos clases de involuciones
Una involución en el subgrupo M 22 transpone 8 pares de coordenadas. Como matriz de permutación en Co 0 tiene la traza 8. Puede mostrar que mueve 80 de los 100 vértices del gráfico de Higman-Sims. Ningún par de vértices transpuestos es una arista en el gráfico.
Hay otra clase de involuciones, de traza 0, que mueven los 100 vértices. [2] Como permutaciones en el grupo alterno A 100 , siendo productos de un número impar (25) de dobles transposiciones, estas involuciones se elevan a elementos de orden 4 en la doble cubierta 2.A 100 . Por tanto, SA tiene una cubierta doble 2.HS .
Subgrupos máximos
Magliveras (1971) encontró las 12 clases de conjugación de subgrupos máximos de HS de la siguiente manera:
Subgrupo | Pedido | Índice | Órbitas en el gráfico Higman-Sims | |
---|---|---|---|---|
M 22 | 443520 | 100 | 1, 22, 77 | estabilizador de un punto en el gráfico Higman-Sims |
U 3 (5): 2 | 252000 | 176 | imprimitivo en un par de gráficos Hoffman-Singleton de 50 vértices cada uno | estabilizador de un punto en representación doblemente transitiva de grado 176 |
U 3 (5): 2 | 252000 | 176 | como el tipo de arriba | fusionado en HS: 2 a la clase anterior |
PSL (3,4) 0,2 | 40320 | 1100 | 2, 42, 56 | estabilizador de borde |
S 8 | 40320 | 1100 | 30, 70 | |
2 4 .S 6 | 11520 | 3850 | 2, 6, 32, 60 | estabilizador de no borde |
4 3 : PSL (3,2) | 10752 | 4125 | 8, 28, 64 | |
M 11 | 7920 | 5600 | 12, 22, 66 | clases fusionadas en HS: 2 |
M 11 | 7920 | 5600 | 12, 22, 66 | |
4.2 4 .S 5 | 7680 | 5775 | 20, 80 | centralizador de involución clase 2A moviendo 80 vértices del gráfico Higman-Sims |
2 × A 6 .2 2 | 2880 | 15400 | 40, 60 | centralizador de involución clase 2B moviendo los 100 vértices |
5: 4 × A 5 | 1200 | 36960 | imprimitivo en 5 bloques de 20 | normalizador del subgrupo 5 generado por el elemento de clase 5B |
Clases conjugadas
Se muestran las trazas de matrices en una representación estándar de 24 dimensiones de HS. [3] Se enumeran 2 representaciones de permutación: en los 100 vértices del gráfico de Higman-Sims y en los 176 puntos de la geometría de Graham Higman. [4]
Clase | Orden de centralizador | No elementos | Rastro | En 100 | El 176 | |
---|---|---|---|---|---|---|
1A | 44,352,000 | 1 = 1 | 24 | |||
2A | 7,680 | 5775 = 3 · 5 2 · 7 · 11 | 8 | 1 20 , 2 40 | 1 16 , 2 80 | |
2B | 2.880 | 15400 = 2 3 · 5 2 · 5 · 7 · 11 | 0 | 2 50 | 1 12 , 2 82 | |
3A | 360 | 123200 = 2 6 · 5 2 · 7 · 11 | 6 | 1 10 , 3 30 | 1 5 , 3 57 | |
4A | 3.840 | 11550 = 2 · 3 · 5 2 · 7 · 11 | -4 | 2 10 4 20 | 1 16 , 4 40 | |
4B | 256 | 173250 = 2 · 3 2 · 5 3 · 7 · 11 | 4 | 1 8 , 2 6 , 4 20 | 2 8 , 4 40 | |
4C | 64 | 693000 = 2 3 · 3 2 · 5 3 · 7 · 11 | 4 | 1 4 , 2 8 , 4 20 | 1 4 , 2 6 , 4 40 | |
5A | 500 | 88704 = 2 7 · 3 2 · 7 · 11 | -1 | 5 20 | 1,5 35 | |
5B | 300 | 147840 = 2 7 · 3 · 5 · 7 · 11 | 4 | 5 20 | 1 6 , 5 34 | |
5C | 25 | 1774080 = 2 9 · 3 2 · 5 · 7 | 4 | 1 5 , 5 19 | 1,5 35 | |
6A | 36 | 1232000 = 2 7 · 5 3 · 7 · 11 | 0 | 2 5 , 6 15 | 1 3 , 2,3 3 , 6 27 | |
6B | 24 | 1848000 = 2 6 · 3 · 5 3 · 7 · 11 | 2 | 1 2 , 2 4 , 3 6 , 6 12 | 1, 2 2 , 3 5 , 6 26 | |
7A | 7 | 6336000 = 2 9 · 3 2 · 5 3 · 11 | 3 | 1 2 , 7 14 | 1,7 25 | |
8A | dieciséis | 2772000 = 2 5 · 3 2 · 5 3 · 7 · 11 | 2 | 1 2 , 2 3 , 4 3 , 8 10 | 4 4 , 8 20 | |
8B | dieciséis | 2772000 = 2 5 · 3 2 · 5 3 · 7 · 11 | 2 | 2 2 , 4 4 , 8 10 | 1 2 , 2,4 3 , 8 20 | |
8C | dieciséis | 2772000 = 2 5 · 3 2 · 5 3 · 7 · 11 | 2 | 2 2 , 4 4 , 8 10 | 1 2 2, 4 3 , 8 20 | |
10 A | 20 | 2217600 = 2 7 · 3 2 · 5 2 · 7 · 11 | 3 | 5 4 , 10 8 | 1,5 3 , 10 16 | |
10B | 20 | 2217600 = 2 7 · 3 2 · 5 2 · 7 · 11 | 0 | 10 10 | 1 2 , 2 2 , 5 2 , 10 16 | |
11A | 11 | 4032000 = 2 9 · 3 2 · 5 3 · 7 | 2 | 1 1 11 9 | 11 16 | Equivalente de potencia |
11B | 11 | 4032000 = 2 9 · 3 2 · 5 3 · 7 | 2 | 1 1 11 9 | 11 16 | |
12A | 12 | 3696000 = 2 7 · 3 · 5 3 · 7 · 11 | 2 | 2 1 , 4 2 , 6 3 , 12 6 | 1,3 5 , 4,12 13 | |
15A | 15 | 2956800 = 2 9 · 3 · 5 2 · 7 · 11 | 1 | 5 2 , 15 6 | 3 2 , 5,15 11 | |
20A | 20 | 2217600 = 2 7 · 3 2 · 5 2 · 7 · 11 | 1 | 10 2 , 20 4 | 1,5 3 , 20 8 | Equivalente de potencia |
20B | 20 | 2217600 = 2 7 · 3 2 · 5 2 · 7 · 11 | 1 | 10 2 , 20 4 | 1,5 3 , 20 8 |
Moonshine monstruoso generalizado
Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que la luz de la luna monstruosa no se limita al grupo de los monstruos , sino que se pueden encontrar fenómenos similares para otros grupos. Larissa Queen y otros descubrieron posteriormente que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para HS, la serie McKay-Thompson esdonde se puede establecer a (0) = 4 ( OEIS : A058097 ),
Referencias
- ^ a b https://www.gap-system.org/Doc/Examples/co3.html
- ^ Wilson (2009), p. 213
- ^ Conway y col. (1985)
- ^ http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/spor/HS/#reps
- Conway, John Horton (1968), "Un grupo perfecto de orden 8,315,553,613,086,720,000 y los grupos simples esporádicos", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 61 (2): 398-400, doi : 10.1073 / pnas .61.2.398 , ISSN 0027-8424 , MR 0237634 , PMC 225171 , PMID 16591697
- JS Frame (1972) 'Cálculos de caracteres del Grupo Higman-Sims y su Grupo de Automorfismo' Journal of Algebra, 20, 320-349
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enlaces externos
- MathWorld: Higman – Sims
- Atlas de representaciones de grupos finitos: grupo Higman-Sims