El campo matemático de la combinatoria se estudió en diversos grados en numerosas sociedades antiguas. Su estudio en Europa se remonta a la obra de Leonardo Fibonacci en el siglo XIII d.C., que introdujo las ideas árabes e indias en el continente. Se ha seguido estudiando en la era moderna.
Registros más tempranos
El primer uso registrado de técnicas combinatorias proviene del problema 79 del papiro de Rhind , que data del siglo XVI a. C. El problema se refiere a una determinada serie geométrica y tiene similitudes con el problema de Fibonacci de contar el número de composiciones de 1 y 2 que suman un total dado. [1]
En Grecia, Plutarco escribió que Jenócrates de Calcedonia (396-314 a. C.) descubrió el número de sílabas diferentes posibles en el idioma griego. Este habría sido el primer intento registrado para resolver un problema difícil de permutaciones y combinaciones . [2] La afirmación, sin embargo, es inverosímil: esta es una de las pocas menciones de combinatoria en Grecia, y el número que encontraron, 1,002 × 10 12 , parece demasiado redondo para ser más que una suposición. [3] [4]
Más tarde, se menciona una discusión entre Crisipo (siglo III a. C.) e Hiparco (siglo II a. C.) de un problema enumerativo bastante delicado, que más tarde se demostró que estaba relacionado con los números de Schröder-Hiparco . [5] [6] También hay evidencia de que en el Ostomachion , Arquímedes (siglo III a. C.) consideró las configuraciones de un rompecabezas de mosaico , [7] mientras que algunos intereses combinatorios pueden haber estado presentes en las obras perdidas de Apolonio . [8] [9]
En la India, el Bhagavati Sutra tuvo la primera mención de un problema de combinatoria; el problema preguntaba cuántas combinaciones posibles de sabores eran posibles seleccionando sabores en uno, dos, tres, etc. de una selección de seis sabores diferentes (dulce, picante, astringente, ácido, salado y amargo). El Bhagavati es también el primer texto que menciona la función de elección . [10] En el siglo II a. C., Pingala incluyó un problema de enumeración en el Chanda Sutra (también Chandahsutra) que preguntaba de cuántas formas se podía hacer una métrica de seis sílabas a partir de notas cortas y largas. [11] [12] Pingala encontró el número de metros que había notas largas y notas cortas; esto equivale a encontrar los coeficientes binomiales .
Las ideas del Bhagavati fueron generalizadas por el matemático indio Mahavira en 850 d. C., y el trabajo de Pingala sobre prosodia fue ampliado por Bhāskara II [10] [13] y Hemacandra en 1100 d. C. Bhaskara fue la primera persona conocida en encontrar la función de elección generalizada, aunque Brahmagupta pudo haberlo conocido antes. [1] Hemacandra preguntó cuántos metros existían de cierta longitud si una nota larga se consideraba dos veces más larga que una nota corta, lo que equivale a encontrar los números de Fibonacci . [11]
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/75/Iching-hexagram-37.svg/70px-Iching-hexagram-37.svg.png)
El antiguo libro chino de adivinación I Ching describe un hexagrama como una permutación con repeticiones de seis líneas donde cada línea puede ser uno de dos estados: sólido o discontinuo. Al describir los hexagramas de esta manera, determinan que hayposibles hexagramas. Un monje chino también puede haber contado el número de configuraciones de un juego similar a Go alrededor del 700 d.C. [3] Aunque China tuvo relativamente pocos avances en combinatoria enumerativa, alrededor del año 100 d.C. resolvieron el cuadrado de Lo Shu, que es el problema de diseño combinatorio del cuadrado mágico normal de orden tres. [1] [14] Los cuadrados mágicos siguieron siendo un interés de China, y comenzaron a generalizar su originalcuadrado entre 900 y 1300 d.C. China mantuvo correspondencia con Oriente Medio sobre este problema en el siglo XIII. [1] El Medio Oriente también aprendió sobre los coeficientes binomiales del trabajo indio y encontró la conexión con la expansión polinomial. [15] El trabajo de los hindúes influyó en los árabes como se ve en el trabajo de al-Khalil ibn Ahmad, quien consideró los posibles arreglos de las letras para formar sílabas. Sus cálculos muestran una comprensión de las permutaciones y combinaciones. En un pasaje de la obra del matemático árabe Umar al-Khayyami que data alrededor del 1100, se corrobora que los hindúes tenían conocimiento de los coeficientes binomiales, pero también que sus métodos llegaban a Oriente Medio.
Abū Bakr ibn Muḥammad ibn al Ḥusayn Al-Karaji (c.953-1029) escribió sobre el teorema del binomio y el triángulo de Pascal. En un trabajo ahora perdido conocido solo por la cita posterior de al-Samaw'al , Al-Karaji introdujo la idea de argumento por inducción matemática.
El filósofo y astrónomo rabino Abraham ibn Ezra (c. 1140) contó las permutaciones con repeticiones en la vocalización del Nombre Divino. [16] También estableció la simetría de los coeficientes binomiales , mientras que el talmudista y matemático Levi ben Gerson (mejor conocido como Gersonides), en 1321, obtuvo una fórmula cerrada , en 1321. [17] El triángulo aritmético: un diagrama gráfico que muestra las relaciones entre los coeficientes binomiales - fue presentado por los matemáticos en tratados que datan del siglo X, y eventualmente se conocería como el triángulo de Pascal . Más tarde, en la Inglaterra medieval , la campanología proporcionó ejemplos de lo que ahora se conoce como ciclos hamiltonianos en ciertos gráficos de Cayley sobre permutaciones. [18]
Combinatoria en Occidente
La combinatoria llegó a Europa en el siglo XIII a través de los matemáticos Leonardo Fibonacci y Jordanus de Nemore . El Liber Abaci de Fibonacci introdujo muchas de las ideas árabes e indias en Europa, incluida la de los números de Fibonacci. [19] [20] Jordanus fue la primera persona en organizar los coeficientes binomiales en un triángulo, como lo hizo en la proposición 70 de De Arithmetica . Esto también se hizo en Oriente Medio en 1265 y en China alrededor de 1300. [1] Hoy en día, este triángulo se conoce como el triángulo de Pascal .
La contribución de Pascal al triángulo que lleva su nombre proviene de su trabajo en demostraciones formales al respecto, y las conexiones que hizo entre el triángulo de Pascal y la probabilidad. [1] De una carta que Leibniz envió a Daniel Bernoulli nos enteramos de que Leibniz estaba estudiando formalmente la teoría matemática de las particiones en el siglo XVII, aunque no se publicó ningún trabajo formal. Junto con Leibniz, Pascal publicó De Arte Combinatoria en 1666 que se reimprimió más tarde. [21] Pascal y Leibniz son considerados los fundadores de la combinatoria moderna. [22]
Tanto Pascal como Leibniz entendieron que la expansión binomial era equivalente a la función de elección . La noción de que el álgebra y la combinatoria se correspondían fue ampliada por De Moivre, quien encontró la expansión de un multinomio. [23] De Moivre también encontró la fórmula para los trastornos utilizando el principio del principio de inclusión-exclusión , un método diferente al de Nikolaus Bernoulli, que lo había encontrado anteriormente. [1] De Moivre también logró aproximar los coeficientes binomiales y factorial , y encontró una forma cerrada para los números de Fibonacci inventando funciones generadoras . [24] [25]
En el siglo XVIII, Euler trabajó en problemas de combinatoria y varios problemas de probabilidad relacionados con la combinatoria. Los problemas en los que trabajó Euler incluyen la gira de los Caballeros , el cuadrado grecolatino , los números eulerianos y otros. Para resolver el problema de los Siete Puentes de Königsberg , inventó la teoría de grafos, que también condujo a la formación de la topología . Finalmente, comenzó con las particiones mediante el uso de funciones generadoras . [26]
Combinatoria contemporánea
En el siglo XIX, el tema de los conjuntos parcialmente ordenados y la teoría de celosía se originó en el trabajo de Dedekind , Peirce y Schröder . Sin embargo, fue el trabajo fundamental de Garrett Birkhoff en su libro Lattice Theory publicado en 1967, [27] y el trabajo de John von Neumann lo que realmente estableció los temas. [28] En la década de 1930, Hall (1936) y Weisner (1935) establecieron independientemente la fórmula general de inversión de Möbius. [29] En 1964, Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria I de Gian-Carlo Rota . La teoría de las funciones de Möbius introdujo la teoría de poset y lattice como teorías en la combinatoria. [28] Richard P. Stanley ha tenido un gran impacto en la combinatoria contemporánea por su trabajo en la teoría matroide , [30] por introducir polinomios Zeta, [31] por definir explícitamente posets eulerianos, [32] desarrollar la teoría de posets binomiales junto con Rota y Peter Doubilet, [33] y más.
Notas
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