Los nudos se han utilizado para fines básicos, como registrar información , sujetar y atar objetos, durante miles de años. El estímulo temprano y significativo en la teoría de los nudos llegaría más tarde con Sir William Thomson (Lord Kelvin) y su teoría del vórtice del átomo .
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Historia
Premoderno
Diferentes nudos son mejores en diferentes tareas, como escalar o navegar . También se consideraba que los nudos tenían un simbolismo espiritual y religioso además de sus cualidades estéticas. El nudo sin fin aparece en el budismo tibetano, mientras que los anillos de Borromeo han hecho apariciones repetidas en diferentes culturas, a menudo simbolizando la unidad. Los monjes celtas que crearon el Libro de Kells prodigaron páginas enteras con intrincados nudos celtas .
Temprano moderno
Los nudos fueron estudiados desde un punto de vista matemático por Carl Friedrich Gauss , quien en 1833 desarrolló la integral de enlace de Gauss para calcular el número de enlace de dos nudos. Su alumno Johann Benedict Listing , que da nombre al nudo de Listing , avanzó en su estudio.
En 1867, después de observar los experimentos del físico escocés Peter Tait con anillos de humo, Thomson llegó a la idea de que los átomos eran nudos de vórtices arremolinados en el éter . Los elementos químicos corresponderían así a nudos y eslabones. Los experimentos de Tait se inspiraron en un artículo de Helmholtz sobre los anillos de vórtice en fluidos incompresibles. Thomson y Tait creían que una comprensión y clasificación de todos los nudos posibles explicaría por qué los átomos absorben y emiten luz solo en las longitudes de onda discretas que lo hacen. Por ejemplo, Thomson pensó que el sodio podría ser el enlace de Hopf debido a sus dos líneas de espectros. [1]
Posteriormente, Tait comenzó a enumerar nudos únicos en la creencia de que estaba creando una tabla de elementos. Formuló lo que ahora se conoce como las conjeturas de Tait sobre nudos alternos . (Las conjeturas se probaron en la década de 1990). Las tablas de nudos de Tait fueron posteriormente mejoradas por CN Little y Thomas Kirkman . [1] : 6
James Clerk Maxwell , un colega y amigo de Thomson y Tait, también desarrolló un gran interés por los nudos. Maxwell estudió el trabajo de Listing sobre nudos. Reinterpretó la integral de vinculación de Gauss en términos de teoría electromagnética. En su formulación, la integral representaba el trabajo realizado por una partícula cargada que se mueve a lo largo de un componente del enlace bajo la influencia del campo magnético generado por una corriente eléctrica junto con el otro componente. Maxwell también continuó el estudio de los anillos de humo al considerar tres anillos que interactúan.
Cuando no se detectó el éter luminífero en el experimento de Michelson-Morley , la teoría del vórtice se volvió completamente obsoleta y la teoría del nudo dejó de ser de gran interés científico. La física moderna demuestra que las longitudes de onda discretas dependen de los niveles de energía cuántica .
Tardío moderno
Siguiendo la topología de desarrollo a principios del siglo XX encabezada por Henri Poincaré , topólogos como Max Dehn , JW Alexander y Kurt Reidemeister , investigaron los nudos. De ahí surgieron los movimientos de Reidemeister y el polinomio de Alexander . [1] : 15–45 Dehn también desarrolló la cirugía de Dehn , que relacionaba los nudos con la teoría general de 3 variedades, y formuló los problemas de Dehn en la teoría de grupos , como el problema verbal . Los primeros pioneros en la primera mitad del siglo XX incluyen a Ralph Fox , quien popularizó el tema. En este período temprano, la teoría de nudos consistió principalmente en el estudio del grupo de nudos y las invariantes homológicas del complemento de nudos .
Contemporáneo
En 1961 Wolfgang Haken descubrió un algoritmo que puede determinar si un nudo no es trivial o no . También esbozó una estrategia para resolver el problema general de reconocimiento de nudos, es decir, determinar si dos nudos dados son equivalentes o no. A principios de la década de 1970, Friedhelm Waldhausen anunció la finalización del programa de Haken basándose en sus resultados y los de Klaus Johannson , William Jaco , Peter Shalen y Geoffrey Hemion . En 2003 Sergei Matveev señaló y llenó un vacío crucial.
Algunos descubrimientos importantes a finales del siglo XX rejuvenecieron en gran medida la teoría del nudo y la llevaron aún más a la corriente principal. A finales de la década de 1970 , el teorema de hiperbolización de William Thurston introdujo la teoría de las variedades 3 hiperbólicas en la teoría de los nudos y la hizo de primordial importancia. En 1982, Thurston recibió una Medalla Fields, el más alto honor en matemáticas, en gran parte debido a este avance. El trabajo de Thurston también condujo, después de mucha expansión por otros, al uso efectivo de herramientas de la teoría de la representación y la geometría algebraica . Siguieron resultados importantes, incluido el teorema de Gordon-Luecke , que mostró que los nudos estaban determinados (hasta la reflexión en espejo) por sus complementos, y la conjetura de Smith .
El interés en la teoría de nudos de la comunidad matemática general creció significativamente después del descubrimiento de Vaughan Jones del polinomio de Jones en 1984. Esto llevó a otros polinomios de nudos como el polinomio de corchetes , el polinomio HOMFLY y el polinomio de Kauffman . Jones recibió la medalla Fields en 1990 por este trabajo. [1] : 71–89 En 1988 Edward Witten propuso un nuevo marco para el polinomio de Jones, utilizando ideas existentes de la física matemática , como las integrales de trayectoria de Feynman , e introduciendo nuevas nociones como la teoría de campos cuánticos topológicos ( Witten 1989 ) . Witten también recibió la medalla Fields, en 1990, en parte por este trabajo. La descripción de Witten del polinomio de Jones implicaba invariantes relacionados para 3 variedades . Los enfoques simultáneos, pero diferentes, de otros matemáticos dieron como resultado los invariantes de Witten-Reshetikhin-Turaev y varios de los llamados " invariantes cuánticos ", que parecen ser la versión matemáticamente rigurosa de los invariantes de Witten ( Turaev 1994 ) . En la década de 1980, John Horton Conway descubrió un procedimiento para desatar nudos conocido gradualmente como notación de Conway .
En 1992, se fundó la Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones , que estableció una revista dedicada exclusivamente a la teoría de nudos.
A principios de la década de 1990, Vassiliev y Goussarov descubrieron invariantes de nudos que abarcan el polinomio de Jones y sus generalizaciones, llamadas invariantes de tipo finito . Maxim Kontsevich, medallista de Fields en 1994, demostró que estas invariantes, inicialmente descritas usando medios topológicos "clásicos", resultan de la integración , utilizando la integral de Kontsevich , de ciertas estructuras algebraicas ( Kontsevich 1993
, Bar-Natan 1995 ).Estos avances fueron seguidos por el descubrimiento de la homología de Khovanov y la homología del nudo Floer , que generalizan en gran medida los polinomios de Jones y Alexander. Estas teorías de homología han contribuido a una mayor integración de la teoría de nudos.
En las últimas décadas del siglo XX, los científicos y matemáticos comenzaron a encontrar aplicaciones de la teoría de nudos a problemas de biología y química . La teoría de los nudos se puede utilizar para determinar si una molécula es quiral (tiene un "sentido de las manos") o no. Los compuestos químicos de diferente manipulación pueden tener propiedades drásticamente diferentes, siendo la talidomida un ejemplo notable de esto. De manera más general, se han utilizado métodos teóricos de nudos para estudiar topoisómeros , disposiciones topológicamente diferentes de la misma fórmula química. La teoría estrechamente relacionada de los ovillos se ha utilizado eficazmente para estudiar la acción de ciertas enzimas sobre el ADN. [2] El campo interdisciplinario de la teoría del nudo físico investiga modelos matemáticos de nudos basados en consideraciones físicas para comprender los fenómenos de anudamiento que surgen en materiales como el ADN o los polímeros.
En física se ha demostrado que ciertas cuasipartículas hipotéticas , como los anones no belianos, exhiben propiedades topológicas útiles, a saber, que sus estados cuánticos no se modifican por la isotopía ambiental de sus líneas de mundo . Se espera que puedan usarse para hacer una computadora cuántica resistente a la decoherencia . Dado que las líneas del mundo forman una trenza matemática , la teoría de la trenza , un campo relacionado con la teoría de los nudos , se utiliza para estudiar las propiedades de dicha computadora, llamada computadora cuántica topológica . [3]
Ver también
- Nudos cuánticos
Notas
- ^ a b c d Alexei Sossinsky (2002) Nudos, Matemáticas con un giro , Harvard University Press ISBN 0-674-00944-4
- ^ Flapan, Erica (2000), "Cuando la topología se encuentra con la química: una mirada topológica a la quiralidad molecular" , Perspectivas , Cambridge University Press, Cambridge; Asociación Matemática de América, Washington, DC, ISBN 0-521-66254-0
- ^ Collins, Graham (abril de 2006). "Computación con nudos cuánticos". Scientific American . págs. 56–63.
Referencias
- Silver, Dan, la física escocesa y los extraños orígenes de la teoría del nudo (versión ampliada de Silver, "Los extraños orígenes de la teoría del nudo", American Scientist, 94, No. 2, 158-165)
- JC Turner y P. van de Griend, editores (1995) Historia y ciencia de los nudos , World Scientific .
enlaces externos
- Thomson, Sir William (Lord Kelvin), On Vortex Atoms , Actas de la Royal Society of Edinburgh, vol. VI, 1867, págs. 94-105.
- Silliman, Robert H., William Thomson: Anillos de humo y atomismo del siglo XIX , Isis, vol. 54, núm. 4. (diciembre de 1963), págs. 461–474. Enlace JSTOR
- Película de una recreación moderna del experimento del anillo de humo de Tait
- La historia de los nudos