La historia de la notación matemática [1] incluye el comienzo, el progreso y la difusión cultural de los símbolos matemáticos y el conflicto de los métodos de notación enfrentados en el movimiento de una notación hacia la popularidad o la discreción. La notación matemática [2] comprende los símbolos utilizados para escribir ecuaciones y fórmulas matemáticas . La notación generalmente implica un conjunto de representaciones bien definidas de operadores de cantidades y símbolos. [3] La historia incluye números arábigos hindúes , letras del romano , griegoAlfabetos , hebreo y alemán , y una gran cantidad de símbolos inventados por los matemáticos durante los últimos siglos.
El desarrollo de la notación matemática se puede dividir en etapas. [4] [5] La etapa " retórica " es donde los cálculos se realizan con palabras y no se utilizan símbolos. [6] La etapa " sincopada " es donde las operaciones y cantidades de uso frecuente se representan mediante abreviaturas sintácticas simbólicas . Desde la antigüedad hasta la era posclásica, [nota 1] los estallidos de creatividad matemática fueron seguidos a menudo por siglos de estancamiento. Cuando se abrió la era moderna y comenzó la difusión mundial del conocimiento, salieron a la luz ejemplos escritos de desarrollos matemáticos. La etapa " simbólica " es donde los sistemas integrales de notación reemplazan a la retórica. A partir de Italia en el siglo XVI, se realizaron nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con nuevos descubrimientos científicos, a un ritmo cada vez mayor que continúa hasta la actualidad. Este sistema simbólico fue utilizado por los matemáticos indios medievales y en Europa desde mediados del siglo XVII, [7] y ha seguido desarrollándose en la era contemporánea .
El área de estudio conocida como la historia de las matemáticas es principalmente una investigación sobre el origen de los descubrimientos en las matemáticas y, aquí el foco, la investigación de los métodos matemáticos y la notación del pasado.
Etapa retórica
Aunque la historia comienza con la de las escuelas jónicas , no hay duda de que los antiguos griegos que le prestaron atención estaban en gran parte en deuda con las investigaciones anteriores de los antiguos egipcios y los antiguos fenicios . El rasgo distintivo de la notación numérica, es decir, los símbolos que tienen valores tanto locales como intrínsecos ( aritmética ), implica un estado de civilización en el período de su invención. Nuestro conocimiento de los logros matemáticos de estos pueblos primitivos, a los que está dedicada esta sección, es imperfecto y las siguientes breves notas deben considerarse como un resumen de las conclusiones que parecen más probables, y la historia de las matemáticas comienza con las secciones simbólicas.
Muchas áreas de las matemáticas comenzaron con el estudio de problemas del mundo real , antes de que las reglas y conceptos subyacentes fueran identificados y definidos como estructuras abstractas . Por ejemplo, la geometría tiene su origen en el cálculo de distancias y áreas en el mundo real; El álgebra comenzó con métodos para resolver problemas en aritmética .
No cabe duda de que la mayoría de los pueblos primitivos que han dejado registros sabían algo de numeración y mecánica , y que unos pocos también estaban familiarizados con los elementos de la agrimensura . En particular, los egipcios prestaron atención a la geometría y los números, y los fenicios a la aritmética práctica, la contabilidad , la navegación y la agrimensura. Los resultados obtenidos por estas personas parecen haber sido accesibles , en determinadas condiciones, a los viajeros. Es probable que el conocimiento de los egipcios y fenicios fuera en gran parte el resultado de la observación y la medición , y representara la experiencia acumulada de muchas edades.
Principio de notación
Las matemáticas escritas comenzaron con números expresados como marcas de conteo , y cada conteo representaba una sola unidad. Los símbolos numéricos probablemente consistían en trazos o muescas tallados en madera o piedra, y eran igualmente inteligibles para todas las naciones. [nota 2] Por ejemplo, una muesca en un hueso representaba un animal, una persona o cualquier otra cosa. Los pueblos con los que los griegos de Asia Menor (entre los que comienza la notación en la historia occidental) probablemente entraron en contacto frecuente fueron los que habitaban el litoral oriental del Mediterráneo: y la tradición griega asignó uniformemente el desarrollo especial de la geometría a los egipcios, y el de la ciencia de los números [nota 3] ya sea para los egipcios o para los fenicios.
Los antiguos egipcios tenían una notación simbólica que era la numeración de los jeroglíficos . [8] [9] Las matemáticas egipcias tenían un símbolo para uno, diez, cien, mil, diez mil, cien mil y un millón. Los dígitos más pequeños se colocaron a la izquierda del número, ya que están en números arábigos hindúes. Más tarde, los egipcios usaron escritura hierática en lugar de jeroglífica para mostrar números. El hierático se parecía más a una cursiva y reemplazaba varios grupos de símbolos por otros individuales. Por ejemplo, las cuatro líneas verticales utilizadas para representar cuatro fueron reemplazadas por una sola línea horizontal. Esto se encuentra en el Papiro Matemático Rhind (c. 2000–1800 AC) y el Papiro Matemático de Moscú (c. 1890 AC). El sistema que utilizaron los egipcios fue descubierto y modificado por muchas otras civilizaciones del Mediterráneo. Los egipcios también tenían símbolos para operaciones básicas: las piernas avanzando representaban la suma y las piernas caminando hacia atrás para representar la resta.
Los mesopotámicos tenían símbolos para cada potencia de diez. [10] Más tarde, escribieron sus números casi exactamente de la misma manera que se hace en los tiempos modernos. En lugar de tener símbolos para cada potencia de diez, simplemente pondrían el coeficiente de ese número. Cada dígito estaba separado por solo un espacio, pero en la época de Alejandro Magno , habían creado un símbolo que representaba el cero y era un marcador de posición. Los mesopotámicos también usaban un sistema sexagesimal , que es base sesenta. Es este sistema el que se utiliza en los tiempos modernos para medir el tiempo y los ángulos. Las matemáticas babilónicas se derivan de más de 400 tablillas de arcilla desenterradas desde la década de 1850. [11] Escritas en escritura cuneiforme , las tablillas se inscribían mientras la arcilla estaba húmeda y se horneaban en un horno o al calor del sol. Algunas de estas parecen ser tareas calificadas. La evidencia más temprana de las matemáticas escritas se remonta a los antiguos sumerios y al sistema de metrología del 3000 a. C. Desde alrededor del 2500 a. C. en adelante, los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y se ocuparon de ejercicios geométricos y problemas de división . Los primeros vestigios de los números babilónicos también se remontan a este período. [12]
La mayoría de las tablillas de arcilla de Mesopotamia datan de 1800 a 1600 aC y cubren temas que incluyen fracciones, álgebra, ecuaciones cuadráticas y cúbicas, y el cálculo de pares , recíprocos y regulares . [13] Las tabletas también incluyen tablas de multiplicar y métodos para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas . La tablilla babilónica YBC 7289 da una aproximación de √ 2 con cinco decimales. Las matemáticas babilónicas se escribieron utilizando un sistema numérico sexagesimal (base 60) . De esto se deriva el uso actual de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora y 360 (60 × 6) grados en un círculo, así como el uso de minutos y segundos de arco para denotar fracciones de grado. . Los avances babilónicos en matemáticas se vieron facilitados por el hecho de que 60 tiene muchos divisores: el recíproco de cualquier entero que sea un múltiplo de divisores de 60 tiene una expansión finita en base 60 (en aritmética decimal, solo los recíprocos de múltiplos de 2 y 5 tienen expansiones decimales finitas.) Además, a diferencia de los egipcios, griegos y romanos, los babilonios tenían un verdadero sistema de valor posicional, donde los dígitos escritos en la columna de la izquierda representaban valores más grandes, como en el sistema decimal . Sin embargo, carecían de un equivalente del punto decimal, por lo que el valor posicional de un símbolo a menudo tenía que inferirse del contexto.
Estadio sincopado
La historia de las matemáticas no puede remontarse con certeza a ninguna escuela o período anterior al de los griegos jónicos, pero la historia posterior puede dividirse en períodos, cuyas distinciones están bastante bien marcadas. Las matemáticas griegas, que se originaron con el estudio de la geometría, tendieron desde sus inicios a ser deductivas y científicas. Desde el siglo IV d.C., a Pitágoras se le ha atribuido el mérito de haber descubierto el teorema de Pitágoras , un teorema en geometría que establece que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado en la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los otros dos lados. [nota 5] Los textos matemáticos antiguos están disponibles con la notación de los antiguos egipcios antes mencionada y con Plimpton 322 (matemáticas babilónicas c. 1900 aC). El estudio de las matemáticas como asignatura por derecho propio comienza en el siglo VI a. C. con los pitagóricos , que acuñaron el término "matemáticas" del griego antiguo μάθημα ( mathema ), que significa "sujeto de instrucción". [14]
La influencia de Platón ha sido especialmente fuerte en las matemáticas y las ciencias. Ayudó a distinguir entre matemáticas puras y aplicadas ampliando la brecha entre "aritmética", ahora llamada teoría de números y "logística", ahora llamada aritmética . Las matemáticas griegas refinaron en gran medida los métodos (especialmente a través de la introducción del razonamiento deductivo y el rigor matemático en las demostraciones ) y ampliaron el tema de las matemáticas. [15] A Aristóteles se le atribuye lo que más tarde se llamaría la ley del medio excluido .
Matemática abstracta [16] es lo que trata de magnitud [nota 6] o cantidad , absoluta y generalmente conferida, sin tener en cuenta ninguna especie de magnitud particular, como la aritmética y la geometría . En este sentido, la matemática abstracta se opone a la matemática mixta , donde Las propiedades simples y abstractas, y las relaciones de cantidades consideradas primitivamente en matemáticas, se aplican a los objetos sensibles y, por ese medio, se entremezclan con consideraciones físicas, como la hidrostática , la óptica y la navegación . [dieciséis]
En general, se considera a Arquímedes como el mayor matemático de la antigüedad y uno de los más grandes de todos los tiempos. [17] [18] Usó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita , y dio una aproximación notablemente precisa de pi . [19] También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy grandes.
En el desarrollo histórico de la geometría, los antiguos griegos dieron los pasos en la abstracción de la geometría. Los Elementos de Euclides son la documentación existente más antigua de los axiomas de la geometría plana, aunque Proclo habla de una axiomatización anterior de Hipócrates de Quíos . [20] Elementos de Euclides (c. 300 a. C.) es uno de los tratados matemáticos griegos más antiguos [nota 7] y constaba de 13 libros escritos en Alejandría; recogiendo teoremas probados por otros matemáticos, complementados con algún trabajo original. [nota 8] El documento es una colección exitosa de definiciones, postulados (axiomas), proposiciones (teoremas y construcciones) y pruebas matemáticas de las proposiciones. El primer teorema de Euclides es un lema que posee propiedades de números primos . Los influyentes trece libros cubren la geometría euclidiana, el álgebra geométrica y la versión griega antigua de los sistemas algebraicos y la teoría de números elementales. Era omnipresente en el Quadrivium y es fundamental en el desarrollo de la lógica, las matemáticas y la ciencia.
Diofanto de Alejandría fue autor de una serie de libros llamados Arithmetica , muchos de los cuales ahora se han perdido. Estos textos tratan sobre la resolución de ecuaciones algebraicas . Boecio proporcionó un lugar para las matemáticas en el plan de estudios en el siglo VI cuando acuñó el término quadrivium para describir el estudio de la aritmética, la geometría, la astronomía y la música. Escribió De Institutione arithmetica , una traducción libre del griego de la Introducción a la aritmética de Nicomachus ; De Institutione musica , también derivado de fuentes griegas; y una serie de extractos de Elementos de Euclides . Sus trabajos eran más teóricos que prácticos, y fueron la base del estudio matemático hasta la recuperación de los trabajos matemáticos griegos y árabes. [21] [22]
Numeración acrofónica y milesiana
Los griegos emplearon la numeración ática , [23] que se basó en el sistema de los egipcios y más tarde fue adaptada y utilizada por los romanos . Los números griegos del uno al cuatro eran líneas verticales, como en los jeroglíficos. El símbolo para cinco era la letra griega Π (pi), que es la letra de la palabra griega para cinco, pente . Los números del seis al nueve eran pente con líneas verticales al lado. Diez estaba representado por la letra (Δ) de la palabra diez, deka , cien por la letra de la palabra cien, etc.
La numeración jónica utilizó todo su alfabeto, incluidas tres letras arcaicas. La notación numérica de los griegos, aunque mucho menos conveniente que la que se usa ahora, se formó sobre un plan perfectamente regular y científico, [24] y podría usarse con un efecto tolerable como un instrumento de cálculo, para cuyo propósito se utilizó el sistema romano. totalmente inaplicable. Los griegos dividieron las veinticuatro letras de su alfabeto en tres clases y, al agregar otro símbolo a cada clase, tenían caracteres para representar las unidades, las decenas y las centenas. ( Astronomie Ancienne de Jean Baptiste Joseph Delambre , t. Ii.)
Α (α) | Β (β) | Г (γ) | Δ (δ) | Ε (ε) | Ϝ (ϝ) | Ζ (ζ) | Η (η) | θ (θ) | Ι (ι) | Κ (κ) | Λ (λ) | Μ (μ) | Ν (ν) | Ξ (ξ) | Ο (ο) | Π (π) | Ϟ ( ϟ ) | Ρ (ρ) | Σ (σ) | Τ (τ) | Υ (υ) | Φ (φ) | Χ (χ) | Ψ (ψ) | Ω (ω) | Ϡ ( ϡ ) |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 |
Este sistema apareció en el siglo III a. C., antes de que las letras digamma (Ϝ), koppa (Ϟ) y sampi (Ϡ) se volvieran obsoletas. Cuando las letras minúsculas se diferenciaron de las mayúsculas, las letras minúsculas se utilizaron como símbolos para la notación. Los múltiplos de mil se escribieron como los nueve números con un trazo delante de ellos: así, mil era ", α", dos mil era ", β", etc. M (para μὐριοι, como en "miríada") era utilizado para multiplicar números por diez mil. Por ejemplo, el número 88,888,888 se escribiría como M, ηωπη * ηωπη [25]
El razonamiento matemático griego era casi completamente geométrico (aunque a menudo se usaba para razonar sobre temas no geométricos como la teoría de números ) y, por lo tanto, los griegos no tenían interés en los símbolos algebraicos . La gran excepción fue Diofanto de Alejandría , el gran algebrista. [26] Su Arithmetica fue uno de los textos para usar símbolos en ecuaciones. No era completamente simbólico, pero lo era mucho más que los libros anteriores. Un número desconocido se llamó s. [27] El cuadrado de s era; el cubo era; el cuarto poder fue; y el quinto poder fue. [28] [nota 9]
Notación matemática china
Los chinos usaban números que se parecen mucho al sistema de conteo. [29] Los números del uno al cuatro eran líneas horizontales. Cinco era una X entre dos líneas horizontales; se veía casi exactamente igual que el número romano de diez. Hoy en día, el sistema huāmǎ solo se utiliza para mostrar precios en los mercados chinos o en facturas manuscritas tradicionales.
En la historia de los chinos, hubo quienes estaban familiarizados con las ciencias de la aritmética, geometría, mecánica, óptica, navegación y astronomía. Las matemáticas en China surgieron de forma independiente en el siglo XI a. C. [30] Es casi seguro que los chinos estaban familiarizados con varios implementos geométricos o más bien arquitectónicos; [nota 10] con máquinas mecánicas; [nota 11] que conocían la propiedad característica de la aguja magnética; y eran conscientes de que los eventos astronómicos ocurrían en ciclos. Los chinos de esa época habían intentado clasificar o ampliar las reglas de la aritmética o la geometría que conocían y explicar las causas de los fenómenos que conocían de antemano. Los chinos desarrollaron de forma independiente números muy grandes y negativos , decimales , un sistema decimal de valor posicional, un sistema binario , álgebra , geometría y trigonometría .
Las matemáticas chinas hicieron contribuciones tempranas, incluido un sistema de valor posicional . [31] [32] El teorema geométrico conocido por los antiguos chinos era aplicable en ciertos casos (a saber, la relación de lados). [nota 12] Es que también conocían los teoremas geométricos que pueden demostrarse en la forma cuasi-experimental de superposición. En aritmética, su conocimiento parece haberse limitado al arte del cálculo por medio del cisne y al poder de expresar los resultados por escrito. Nuestro conocimiento de los primeros logros de los chinos, aunque sea leve, es más completo que en el caso de la mayoría de sus contemporáneos. Por lo tanto, es instructivo y sirve para ilustrar el hecho de que se puede saber que una nación puede poseer una habilidad considerable en las artes aplicadas, pero nuestro conocimiento de las matemáticas posteriores en las que se basan esas artes puede ser escaso. El conocimiento de las matemáticas chinas antes del 254 a. C. es algo fragmentario, e incluso después de esta fecha las tradiciones de los manuscritos son oscuras. Los eruditos chinos generalmente consideran conjeturas fechas siglos antes del período clásico a menos que estén acompañadas de evidencia arqueológica verificada.
Como en otras sociedades primitivas, la atención se centró en la astronomía para perfeccionar el calendario agrícola y otras tareas prácticas, y no en el establecimiento de sistemas formales . Los deberes de la Junta China de Matemáticas se limitaban a la preparación anual de un almanaque, las fechas y predicciones en las que regulaba. Los antiguos matemáticos chinos no desarrollaron un enfoque axiomático, pero hicieron avances en el desarrollo de algoritmos y álgebra. El logro del álgebra china alcanzó su cenit en el siglo XIII, cuando Zhu Shijie inventó el método de las cuatro incógnitas.
Como resultado de obvias barreras lingüísticas y geográficas, así como de contenido, se presume que las matemáticas chinas y las matemáticas del antiguo mundo mediterráneo se desarrollaron de manera más o menos independiente hasta el momento en que Los nueve capítulos sobre el arte matemático alcanzaron su punto máximo. forma final, mientras que Writings on Reckoning y Huainanzi son más o menos contemporáneos de la matemática griega clásica. Es probable que se produzca algún intercambio de ideas en Asia a través de intercambios culturales conocidos desde, al menos, la época romana. Con frecuencia, elementos de las matemáticas de las sociedades primitivas corresponden a resultados rudimentarios encontrados más tarde en ramas de las matemáticas modernas como la geometría o la teoría de números . El teorema de Pitágoras, por ejemplo, se ha atestiguado en la época del duque de Zhou . También se ha demostrado que el conocimiento del triángulo de Pascal existió en China siglos antes de Pascal , [33] como lo hizo Shen Kuo .
El estado de la trigonometría en China comenzó a cambiar y avanzar lentamente durante la dinastía Song (960-1279), donde los matemáticos chinos comenzaron a expresar un mayor énfasis en la necesidad de la trigonometría esférica en la ciencia del calendario y los cálculos astronómicos. [34] El erudito científico, matemático y oficial chino Shen Kuo (1031-1095) utilizó funciones trigonométricas para resolver problemas matemáticos de cuerdas y arcos. [34] Sal Restivo escribe que el trabajo de Shen en las longitudes de arcos de círculos proporcionó la base para la trigonometría esférica desarrollada en el siglo XIII por el matemático y astrónomo Guo Shoujing (1231-1316). [35] Como afirman los historiadores L. Gauchet y Joseph Needham, Guo Shoujing utilizó la trigonometría esférica en sus cálculos para mejorar el sistema de calendario y la astronomía china . [36] [37] La ciencia matemática de los chinos incorporaría el trabajo y la enseñanza de misioneros árabes con conocimientos de trigonometría esférica que habían llegado a China en el transcurso del siglo XIII.
Números y notación indios y arábigos
Aunque el origen de nuestro actual sistema de notación numérica es antiguo, no hay duda de que estaba en uso entre los hindúes hace más de dos mil años. La notación algebraica del matemático indio , Brahmagupta , se sincopado . La suma se indicó colocando los números uno al lado del otro, la resta colocando un punto sobre el sustraendo (el número a restar) y la división colocando el divisor debajo del dividendo, similar a nuestra notación pero sin la barra. La multiplicación, la evolución y las cantidades desconocidas se representaron mediante abreviaturas de términos apropiados. [38] El sistema numérico hindú-árabe y las reglas para el uso de sus operaciones, en uso en todo el mundo hoy, probablemente evolucionaron durante el transcurso del primer milenio d.C. en la India y se transmitieron a Occidente a través de las matemáticas islámicas. [39] [40]
A pesar de su nombre, los números arábigos tienen sus raíces en la India. La razón de este nombre inapropiado es que los europeos vieron los números usados en un libro árabe, Sobre el arte hindú del ajuste de cuentas , por Mohommed ibn-Musa al-Khwarizmi . Al-Khwārizmī escribió varios libros importantes sobre los números arábigos hindúes y sobre métodos para resolver ecuaciones. Su libro Sobre el cálculo con números hindúes , escrito alrededor de 825, junto con el trabajo de Al-Kindi , [nota 13] fueron fundamentales en la difusión de las matemáticas y los números indios en Occidente. Al-Khwarizmi no reclamó los números como arábigos, pero en varias traducciones latinas, se perdió el hecho de que los números eran de origen indio. La palabra algoritmo se deriva de la latinización del nombre de Al-Khwārizmī, Algoritmi, y la palabra álgebra del título de una de sus obras, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala ( The Compendious Book on Cálculo por terminación y balance ).
Las matemáticas islámicas desarrollaron y expandieron las matemáticas conocidas por las civilizaciones de Asia Central . [41] Al-Khwārizmī dio una explicación exhaustiva de la solución algebraica de ecuaciones cuadráticas con raíces positivas, [42] y Al-Khwārizmī iba a enseñar álgebra en una forma elemental y por sí misma. [43] Al-Khwārizmī también discutió el método fundamental de " reducción " y "equilibrio", refiriéndose a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos de la ecuación. Ésta es la operación que al-Khwārizmī describió originalmente como al-jabr . [44] Su álgebra tampoco se preocupaba más "por una serie de problemas por resolver, sino por una exposición que comienza con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de ecuaciones, que de ahora en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio. " Al-Khwārizmī también estudió una ecuación por sí misma y "de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que se le pide específicamente que defina una clase infinita de problemas". [45]
Al-Karaji , en su tratado al-Fakhri , amplía la metodología para incorporar poderes enteros y raíces enteras de cantidades desconocidas. [nota 14] [46] El historiador de las matemáticas, F. Woepcke, [47] elogió a Al-Karaji por ser "el primero que introdujo la teoría del cálculo algebraico ". También en el siglo X, Abul Wafa tradujo las obras de Diofanto al árabe. Ibn al-Haytham desarrollaría la geometría analítica . Al-Haytham derivó la fórmula para la suma de las cuartas potencias, usando un método que es fácilmente generalizable para determinar la fórmula general para la suma de cualesquiera potencias integrales. Al-Haytham realizó una integración para encontrar el volumen de un paraboloide y pudo generalizar su resultado para las integrales de polinomios hasta el cuarto grado . [nota 15] [48] A finales del siglo XI, Omar Khayyam desarrollaría geometría algebraica , escribió Discusiones de las dificultades en Euclides , [nota 16] y escribió sobre la solución geométrica general de ecuaciones cúbicas . Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) hizo avances en trigonometría esférica . Los matemáticos musulmanes durante este período incluyen la adición de la notación del punto decimal a los números arábigos .
Los símbolos numéricos arábigos modernos utilizados en todo el mundo aparecieron por primera vez en el norte de África islámico en el siglo X. Una variante árabe occidental distintiva de los números arábigos orientales comenzó a surgir alrededor del siglo X en el Magreb y Al-Andalus (a veces llamados números ghubar , aunque el término no siempre se acepta), que son el antepasado directo de los números arábigos modernos utilizados. alrededor del mundo. [49]
Muchos textos griegos y árabes sobre matemáticas se tradujeron luego al latín , lo que condujo a un mayor desarrollo de las matemáticas en la Europa medieval. En el siglo XII, los eruditos viajaron a España y Sicilia en busca de textos científicos árabes, incluido el de al-Khwārizmī [nota 17] y el texto completo de los Elementos de Euclides . [nota 18] [50] [51] Uno de los libros europeos que defendió el uso de los números fue Liber Abaci , de Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci . Liber Abaci es más conocido por el problema matemático que Fibonacci escribió sobre una población de conejos. El crecimiento de la población terminó siendo una secuencia de Fibonacci , donde un término es la suma de los dos términos precedentes.
Etapa simbólica
- Símbolos por fecha de presentación popular
Aritmética y multiplicación tempranas
La transición al álgebra simbólica, donde solo se usan símbolos, se puede ver por primera vez en la obra de Ibn al-Banna 'al-Marrakushi (1256-1321) y Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412-1482). [52] [53] Al-Qalasādī fue el último gran algebrista árabe medieval , que mejoró la notación algebraica utilizada anteriormente en el Magreb por Ibn al-Banna. [54] En contraste con las notaciones sincopadas de sus predecesores, Diofanto y Brahmagupta , que carecían de símbolos para operaciones matemáticas , [55] la notación algebraica de al-Qalasadi fue la primera en tener símbolos para estas funciones y fue así "los primeros pasos hacia la introducción del simbolismo algebraico ". Representó símbolos matemáticos utilizando caracteres del alfabeto árabe . [54]
El siglo XIV vio el desarrollo de nuevos conceptos matemáticos para investigar una amplia gama de problemas. [56] Los dos símbolos aritméticos más utilizados son la suma y la resta, + y -. El signo más fue utilizado en 1360 por Nicole Oresme [57] [nota 19] en su obra Algorismus providenum . [58] Se cree que es una abreviatura de "et", que significa "y" en latín, de la misma manera que el signo ampersand también comenzó como "et". Oresme de la Universidad de París y el italiano Giovanni di Casali proporcionaron de forma independiente demostraciones gráficas de la distancia recorrida por un cuerpo que experimenta un movimiento uniformemente acelerado, afirmando que el área debajo de la línea representa la aceleración constante y representa la distancia total recorrida. [59] El signo menos se usó en 1489 por Johannes Widmann en Mercantil aritmética o Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft, . [60] Widmann usó el símbolo menos con el símbolo más, para indicar déficit y superávit, respectivamente. [61] En Summa de arithmetica, geometria, providencial e proporcionalità , [nota 20] [62] Luca Pacioli usó símbolos para los símbolos más y menos y contenía álgebra . [nota 21]
En el siglo XV, Ghiyath al-Kashi calculó el valor de π al decimosexto lugar decimal. Kashi también tenía un algoritmo para calcular n th raíces. [nota 22] En 1533, se publicó la tabla de senos y cosenos de Regiomontanus . [63] Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia descubrieron soluciones para ecuaciones cúbicas . Gerolamo Cardano las publicó en su libro de 1545 Ars Magna , junto con una solución para las ecuaciones cuárticas , descubierta por su alumno Lodovico Ferrari . El símbolo radical [nota 23] para la raíz cuadrada fue introducido por Christoph Rudolff . [nota 24] El importante trabajo de Michael Stifel Arithmetica integra [64] contenía importantes innovaciones en notación matemática. En 1556, Niccolò Tartaglia utilizó paréntesis para agrupar por precedencia. En 1557, Robert Recorde publicó The Whetstone of Witte, que introdujo el signo igual (=), así como los signos más y menos para el lector inglés. En 1564, Gerolamo Cardano analizó los juegos de azar comenzando las primeras etapas de la teoría de la probabilidad . En 1572 Rafael Bombelli publicó L'Algebra en la que mostraba cómo lidiar con las cantidades imaginarias que podían aparecer en la fórmula de Cardano para resolver ecuaciones cúbicas. El libro De Thiende ("el arte de las décimas") de Simon Stevin , publicado en holandés en 1585, contenía un tratamiento sistemático de la notación decimal , que influyó en todos los trabajos posteriores sobre el sistema de números reales . El nuevo álgebra (1591) de François Viète introdujo la manipulación notación moderna de expresiones algebraicas. Para la navegación y mapas precisos de grandes áreas, la trigonometría se convirtió en una rama importante de las matemáticas. Bartholomaeus Pitiscus acuñó la palabra "trigonometría", publicando su Trigonometria en 1595.
John Napier es mejor conocido como el inventor de los logaritmos [nota 25] [65] e hizo común el uso del punto decimal en aritmética y matemáticas. [66] [67] Después de Napier, Edmund Gunter creó las escalas logarítmicas (líneas o reglas) en las que se basan las reglas de cálculo , fue William Oughtred quien usó dos de tales escalas deslizándose entre sí para realizar la multiplicación y división directa ; y se le acredita como el inventor de la regla de cálculo en 1622. En 1631 Oughtred introdujo el signo de multiplicación (×) su signo de proporcionalidad, [nota 26] y las abreviaturas sin y cos para las funciones seno y coseno . [68] Albert Girard también usó las abreviaturas 'sin', 'cos' y 'tan' para las funciones trigonométricas en su tratado.
Johannes Kepler fue uno de los pioneros de las aplicaciones matemáticas de infinitesimales . [nota 27] René Descartes es reconocido como el padre de la geometría analítica , el puente entre el álgebra y la geometría, [nota 28] crucial para el descubrimiento del cálculo y análisis infinitesimal . En el siglo XVII, Descartes introdujo coordenadas cartesianas que permitieron el desarrollo de la geometría analítica. [nota 29] Blaise Pascal influyó en las matemáticas a lo largo de su vida. Su Traité du triangle arithmétique ("Tratado sobre el triángulo aritmético") de 1653 describió una presentación tabular conveniente para los coeficientes binomiales . [nota 30] Pierre de Fermat y Blaise Pascal investigarían la probabilidad . [nota 31] John Wallis introdujo el símbolo del infinito . [nota 32] De manera similar usó esta notación para infinitesimales. [nota 33] En 1657, Christiaan Huygens publicó el tratado sobre probabilidad, Sobre el razonamiento en los juegos de azar . [nota 34] [69]
Johann Rahn introdujo el signo de división (÷, una variante de obelus reutilizada) y el signo por lo tanto en 1659. William Jones usó π en Sinopsis palmariorum mathesios [70] en 1706 porque es la letra inicial de la palabra griega perimetrón (περιμετρον), que significa perímetro en griego. Este uso fue popularizado en 1737 por Euler. En 1734, Pierre Bouguer utilizó una barra horizontal doble debajo del signo de desigualdad . [71]
Notación de derivadas: Leibniz y Newton
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El estudio del álgebra lineal surgió del estudio de los determinantes , que se utilizaron para resolver sistemas de ecuaciones lineales . El cálculo tenía dos sistemas principales de notación, cada uno creado por uno de los creadores: el desarrollado por Isaac Newton y la notación desarrollada por Gottfried Leibniz . La de Leibniz es la notación más utilizada en la actualidad. Newton era simplemente un punto o un guión colocado encima de la función. [nota 35] En el uso moderno, esta notación generalmente denota derivadas de cantidades físicas con respecto al tiempo, y se usa con frecuencia en la ciencia de la mecánica . Leibniz, por otro lado, usó la letra d como prefijo para indicar diferenciación, e introdujo la notación que representa derivadas como si fueran un tipo especial de fracción. [nota 36] Esta notación hace explícita la variable con respecto a la cual se toma la derivada de la función. Leibniz también creó el símbolo integral. [nota 37] El símbolo es una S alargada , que representa la palabra latina Summa , que significa "suma". Al encontrar áreas bajo curvas, la integración a menudo se ilustra dividiendo el área en infinitos rectángulos altos y delgados, cuyas áreas se suman. Por lo tanto, el símbolo integral es una s alargada, para suma.
Operadores y funciones de alta división
Las letras del alfabeto en esta época debían usarse como símbolos de cantidad ; y aunque existía mucha diversidad con respecto a la elección de letras, habría varias reglas universalmente reconocidas en la siguiente historia. [24] Así, aquí en la historia de las ecuaciones, las primeras letras del alfabeto se conocían indicativamente como coeficientes , las últimas letras como términos desconocidos (an incerti ordinis ). En geometría algebraica , nuevamente, se debía observar una regla similar, las últimas letras del alfabeto allí denotaban la variable o las coordenadas actuales . Ciertas letras, como, , etc. , fueron apropiados por consentimiento universal como símbolos de los números 3.14159 ... y 2.7182818 .... , [nota 38] etc., que aparecen con frecuencia , y su uso en cualquier otra aceptación debía evitarse en la medida de lo posible. . [24] También se utilizarían letras como símbolos de operación, y con ellas otros caracteres de operación arbitrarios mencionados anteriormente. Las cartas D {\ Displaystyle d} , alargado S {\ Displaystyle S} iban a ser apropiados como símbolos operativos en el cálculo diferencial y cálculo integral , Δ {\ Displaystyle \ Delta} y ∑ en el cálculo de diferencias . [24] En notación funcional , una letra, como símbolo de operación, se combina con otra que se considera como símbolo de cantidad . [24] [nota 39]
A partir de 1718, Thomas Twinin usó la barra de división ( solidus ), derivándola de la barra de fracción horizontal árabe anterior . Pierre-Simon, marqués de Laplace, desarrolló el operador diferencial laplaciano ampliamente utilizado . [nota 40] En 1750, Gabriel Cramer desarrolló la " Regla de Cramer " para resolver sistemas lineales .
Notaciones euler y prima
Leonhard Euler fue uno de los matemáticos más prolíficos de la historia y también un prolífico inventor de la notación canónica. Sus contribuciones incluyen el uso de e para representar la base de los logaritmos naturales . No se sabe exactamente por quése eligió, pero probablemente se debió a que las cuatro letras del alfabeto ya se usaban comúnmente para representar variables y otras constantes. Euler utilizópara representar pi de manera consistente. El uso defue sugerido por William Jones , quien lo utilizó como abreviatura de perímetro . Euler utilizópara representar la raíz cuadrada del uno negativo, [nota 41] aunque antes lo usó como un número infinito. [nota 42] [nota 43] Para resumir , Euler usó sigma , Σ . [nota 44] Para las funciones , Euler usó la notación para representar una función de . En 1730, Euler escribió la función gamma . [nota 45] En 1736, Euler produce su artículo sobre los Siete Puentes de Königsberg [72] iniciando el estudio de la teoría de grafos .
El matemático William Emerson [73] desarrollaría el signo de proporcionalidad . [nota 46] [nota 47] [74] [75] Mucho más tarde en las expresiones abstractas del valor de varios fenómenos proporcionales, las partes por notación se volverían útiles como un conjunto de pseudounidades para describir pequeños valores de diversas cantidades adimensionales . El marqués de Condorcet , en 1768, adelantó el signo diferencial parcial . [nota 48] En 1771, Alexandre-Théophile Vandermonde dedujo la importancia de las características topológicas al discutir las propiedades de los nudos relacionados con la geometría de la posición. Entre 1772 y 1788, Joseph-Louis Lagrange reformuló las fórmulas y cálculos de la mecánica clásica "newtoniana", llamada mecánica lagrangiana . El símbolo principal de los derivados también fue creado por Lagrange.
Pero en nuestra opinión, las verdades de este tipo deberían extraerse de nociones más que de notaciones.
- Carl Friedrich Gauss [nota 49]
Notaciones de Gauss, Hamilton y Matrix
A principios del siglo XIX, Carl Friedrich Gauss desarrolló el signo de identidad para la relación de congruencia y, en reciprocidad cuadrática , la parte integral . Gauss contribuyó con funciones de variables complejas , en geometría y en la convergencia de series . Dio las demostraciones satisfactorias del teorema fundamental del álgebra y de la ley de reciprocidad cuadrática . Gauss desarrolló la teoría de la resolución de sistemas lineales utilizando la eliminación gaussiana , que inicialmente se consideró un avance en geodesia . [76] También desarrollaría la señal del producto . También en este tiempo, Niels Henrik Abel y Évariste Galois [nota 50] llevaron a cabo su trabajo sobre la solubilidad de ecuaciones , vinculando la teoría de grupos y la teoría de campos .
Después del siglo XIX, Christian Kramp promovería la notación factorial durante su investigación sobre la función factorial generalizada que se aplicaba a los no enteros. [77] Joseph Diaz Gergonne introdujo los letreros de inclusión del set . [nota 51] Peter Gustav Lejeune Dirichlet desarrolló Dirichlet L -Funciones para dar la prueba de Teorema de Dirichlet y comenzó la teoría analítica de números . [nota 52] En 1828, Gauss demostró su Theorema Egregium ( teorema notable en latín), estableciendo la propiedad de las superficies. En la década de 1830, George Green desarrolló la función de Green . En 1829. Carl Gustav Jacob Jacobi publica Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum con sus funciones theta elípticas . En 1841, Karl Weierstrass , el "padre del análisis moderno ", elaboró el concepto de valor absoluto y el determinante de una matriz .
La notación matricial sería desarrollada más completamente por Arthur Cayley en sus tres artículos, sobre temas que habían sido sugeridos por la lectura de Mécanique analytique [78] de Lagrange y algunas de las obras de Laplace. Cayley definió la multiplicación de matrices y las inversas de matrices . Cayley usó una sola letra para denotar una matriz, [79] tratando así una matriz como un objeto agregado. También se dio cuenta de la conexión entre matrices y determinantes, [80] y escribió " Habría muchas cosas que decir acerca de esta teoría de matrices que, me parece, debería preceder a la teoría de determinantes ". [81]
[... El cuaternión matemático] tiene, o al menos implica una referencia a, cuatro dimensiones.
- William Rowan Hamilton [nota 53]
William Rowan Hamilton introduciría el símbolo nabla [nota 54] para diferenciales vectoriales . [82] [83] Esto fue utilizado previamente por Hamilton como un signo de operador de propósito general . [84] Hamilton reformuló la mecánica newtoniana , ahora llamada mecánica hamiltoniana . Este trabajo ha demostrado ser fundamental para el estudio moderno de las teorías de campo clásicas como el electromagnetismo . Esto también fue importante para el desarrollo de la mecánica cuántica . [nota 55] En matemáticas, es quizás mejor conocido como el inventor de la notación de cuaterniones [nota 56] y biquaternions . Hamilton también introdujo la palabra " tensor " en 1846. [85] [nota 57] James Cockle desarrollaría los tessarines [nota 58] y, en 1849, los coquaternions . En 1848, James Joseph Sylvester introdujo en el álgebra de matrices el término matriz . [nota 59]
Notaciones de Maxwell, Clifford y Ricci
En 1864, James Clerk Maxwell redujo todo el conocimiento actual del electromagnetismo en un conjunto vinculado de ecuaciones diferenciales con 20 ecuaciones en 20 variables, contenidas en A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field . [87] (Véanse las ecuaciones de Maxwell .) El método de cálculo que es necesario emplear fue dado por Lagrange, y posteriormente desarrollado, con algunas modificaciones, por las ecuaciones de Hamilton . Generalmente se lo conoce como el principio de Hamilton ; cuando se utilizan las ecuaciones en la forma original, se las conoce como ecuaciones de Lagrange . En 1871 Richard Dedekind llama un conjunto de números reales o complejos, que está cerrada bajo las cuatro operaciones aritméticas un campo . En 1873, Maxwell presentó Un tratado sobre electricidad y magnetismo .
En 1878, William Kingdon Clifford publicó sus Elementos de dinámica . [88] Clifford desarrolló biquaternions divididos , [nota 60] que llamó motores algebraicos . Clifford obvió el estudio de cuaterniones al separar el producto escalar y el producto cruzado de dos vectores de la notación completa de cuaterniones. [nota 61] Este enfoque hizo que el cálculo vectorial estuviera disponible para ingenieros y otros que trabajaban en tres dimensiones y se mostraron escépticos sobre el efecto adelanto-retraso [nota 62] en la cuarta dimensión . [nota 63] Las notaciones vectoriales comunes se utilizan cuando se trabaja con vectores que son miembros espaciales o más abstractos de espacios vectoriales , mientras que la notación angular (o notación fasorial ) es una notación utilizada en electrónica .
En 1881, Leopold Kronecker definió lo que llamó un "dominio de la racionalidad", que es una extensión de campo del campo de los números racionales en términos modernos. [89] En 1882, Hüseyin Tevfik Paşa
escribió el libro titulado "Álgebra lineal". [90] [91] La teoría del átomo etérico de Lord Kelvin (década de 1860) llevó a Peter Guthrie Tait , en 1885, a publicar una tabla topológica de nudos con hasta diez cruces conocidos como las conjeturas de Tait . En 1893, Heinrich M. Weber dio una clara definición de campo abstracto . [nota 64] El cálculo tensorial fue desarrollado por Gregorio Ricci-Curbastro entre 1887 y 1896, presentado en 1892 bajo el título cálculo diferencial absoluto , [92] y el uso contemporáneo de "tensor" fue declarado por Woldemar Voigt en 1898. [93] En 1895, Henri Poincaré publicó Analysis Situs . [94] En 1897, Charles Proteus Steinmetz publicaría Teoría y cálculo de fenómenos de corriente alterna , con la ayuda de Ernst J. Berg. [95]De la fórmula matemática a los tensores
La proposición anterior es ocasionalmente útil.
- Bertrand Russell [nota 65]
En 1895 Giuseppe Peano publicó su Formulario matemático , [96] un esfuerzo por digerir las matemáticas en un texto conciso basado en símbolos especiales. Proporcionaría una definición de un espacio vectorial y un mapa lineal . También introduciría el signo de intersección , el signo de unión , el signo de pertenencia (es un elemento de) y el cuantificador existencial [nota 66] (existe). Peano pasaría a Bertrand Russell su trabajo en 1900 en una conferencia de París; impresionó tanto a Russell que Russell también se sintió atraído por el impulso de presentar las matemáticas de manera más concisa. El resultado fue Principia Mathematica escrito con Alfred North Whitehead . Este tratado marca un hito en la literatura moderna donde el símbolo se convirtió en dominante. [nota 67] Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita popularizaron la notación del índice tensorial alrededor de 1900. [97]
Lógica matemática y abstracción
Abstracción | |
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Al comienzo de este período, el " programa Erlangen " de Felix Klein identificó el tema subyacente de varias geometrías, definiendo cada una de ellas como el estudio de propiedades invariantes bajo un grupo dado de simetrías . Este nivel de abstracción reveló conexiones entre la geometría y el álgebra abstracta . Georg Cantor [nota 68] introduciría el símbolo aleph para los números cardinales de conjuntos transfinitos. [nota 69] Su notación para los números cardinales era la letra hebrea( aleph ) con un subíndice de número natural; para los ordinales empleó la letra griega ω ( omega ). Esta notación todavía se utiliza hoy en día en la notación ordinal de una secuencia finita de símbolos de un alfabeto finito que nombra un número ordinal de acuerdo con algún esquema que da significado al lenguaje. Su teoría generó mucha controversia . Cantor, en su estudio de las series de Fourier , consideraría conjuntos de puntos en el espacio euclidiano .
Después del cambio de siglo XX, Josiah Willard Gibbs , en química física, introduciría el punto medio para el producto escalar y el signo de multiplicación para los productos cruzados . También proporcionaría notación para los productos escalares y vectoriales, que se introdujo en Análisis vectorial . En 1904, Ernst Zermelo promueve el axioma de elección y su demostración del teorema del buen orden . [98] Bertrand Russell introduciría poco después la disyunción lógica ( OR ) en 1906. También en 1906, Poincaré publicaría On the Dynamics of the Electron [99] y Maurice Fréchet introdujo el espacio métrico . [100] Posteriormente, Gerhard Kowalewski y Cuthbert Edmund Cullis [101] [102] [103] introducirían sucesivamente la notación de matrices, la notación de matriz entre paréntesis y la notación de matriz de caja, respectivamente. Después de 1907, los matemáticos [nota 70] estudiaron los nudos desde el punto de vista del grupo de nudos y los invariantes de la teoría de la homología . [nota 71] En 1908, los teoremas de estructura de Joseph Wedderburn fueron formulados para álgebras de dimensión finita sobre un campo . También en 1908, Ernst Zermelo propuso la propiedad "definida" y la primera teoría axiomática de conjuntos , la teoría de conjuntos de Zermelo . En 1910 Ernst Steinitz publicó el influyente artículo Algebraic Theory of Fields . [nota 72] [nota 73] En 1911, Steinmetz publicaría Teoría y cálculo de oscilaciones y fenómenos eléctricos transitorios .
Albert Einstein , en 1916, introdujo la notación de Einstein [nota 74] que sumaba un conjunto de términos indexados en una fórmula, ejerciendo así una notación breve. Arnold Sommerfeld crearía el signo integral de contorno en 1917. También en 1917, Dimitry Mirimanoff propone el axioma de regularidad . En 1919, Theodor Kaluza resolvería ecuaciones de relatividad general usando cinco dimensiones , los resultados harían surgir ecuaciones electromagnéticas. [104] Esto se publicaría en 1921 en "Zum Unitätsproblem der Physik". [105] En 1922, Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem propusieron independientemente reemplazar el esquema de axioma de especificación con el esquema de axioma de reemplazo . También en 1922, se desarrolló la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . En 1923, Steinmetz publicaría Cuatro conferencias sobre relatividad y espacio . Alrededor de 1924, Jan Arnoldus Schouten desarrollaría la notación y el formalismo modernos para el marco de cálculo de Ricci durante las aplicaciones del cálculo diferencial absoluto a la relatividad general y la geometría diferencial a principios del siglo XX. [nota 75] [106] [107] [108] En 1925, Enrico Fermi describiría un sistema compuesto por muchas partículas idénticas que obedecen al principio de exclusión de Pauli , desarrollando luego una ecuación de difusión ( ecuación de edad de Fermi ). En 1926, Oskar Klein desarrollaría la teoría de Kaluza-Klein . En 1928, Emil Artin abstrajo la teoría de los anillos con los anillos de Artinian . En 1933, Andrey Kolmogorov introduce los axiomas de Kolmogorov . En 1937, Bruno de Finetti dedujo el concepto de " subjetivo operacional " .
Simbolismo matemático
La abstracción matemática comenzó como un proceso de extracción de la esencia subyacente de un concepto matemático, [109] [110] eliminando cualquier dependencia de los objetos del mundo real con los que originalmente podría haber estado conectado, [111] y generalizándolo para que tenga aplicaciones más amplias. o emparejamiento entre otras descripciones abstractas de fenómenos equivalentes . Dos áreas abstractas de las matemáticas modernas son la teoría de categorías y la teoría de modelos . Bertrand Russell, [112] dijo: " El lenguaje ordinario es totalmente inadecuado para expresar lo que la física realmente afirma, ya que las palabras de la vida cotidiana no son lo suficientemente abstractas. Sólo las matemáticas y la lógica matemática pueden decir tan poco como el físico quiere decir ". Sin embargo, uno puede sustituir las matemáticas por objetos del mundo real, y deambular por ecuación tras ecuación, y puede construir una estructura de concepto que no tenga relación con la realidad. [113]
La lógica simbólica estudia las propiedades puramente formales de las cadenas de símbolos. El interés en esta área surge de dos fuentes. En primer lugar, la notación utilizada en la lógica simbólica puede verse como la representación de las palabras utilizadas en la lógica filosófica . En segundo lugar, las reglas para manipular símbolos que se encuentran en la lógica simbólica se pueden implementar en una máquina de computación . La lógica simbólica generalmente se divide en dos subcampos, lógica proposicional y lógica de predicados . Otras lógicas de interés incluyen la lógica temporal , la lógica modal y la lógica difusa . El área de la lógica simbólica llamada lógica proposicional , también llamada cálculo proposicional , estudia las propiedades de las oraciones formadas a partir de constantes [nota 76] y operadores lógicos . Las operaciones lógicas correspondientes se conocen, respectivamente, como conjunción , disyunción , material condicional , bicondicional y negación . Estos operadores se indican como palabras clave [nota 77] y mediante notación simbólica.
Parte de la notación lógica matemática introducida durante este tiempo incluyó el conjunto de símbolos utilizados en el álgebra de Boole . Este fue creado por George Boole en 1854. El propio Boole no veía la lógica como una rama de las matemáticas, pero ha llegado a abarcarla de todos modos. Los símbolos que se encuentran en el álgebra de Boole incluyen (Y), (O y ( no ). Con estos símbolos y letras para representar diferentes valores de verdad , uno puede hacer declaraciones lógicas como, es decir "( a es verdadero O a no es verdadero) es verdadero", lo que significa que es cierto que a es verdadero o no es verdadero (es decir, falso). El álgebra de Boole tiene muchos usos prácticos, pero también fue el comienzo de lo que sería un gran conjunto de símbolos para ser usados en lógica. [nota 78] La lógica de predicados, originalmente llamada cálculo de predicados , amplía la lógica proposicional mediante la introducción de variables [nota 79] y oraciones que contienen variables, llamadas predicados . [nota 80] Además, la lógica de predicados permite cuantificadores . [nota 81] Con estos símbolos lógicos y cuantificadores adicionales de la lógica de predicados, [nota 82] se pueden hacer demostraciones válidas que son irracionalmente artificiales , [nota 83] pero sintácticas. [nota 84]
Notación de incompletitud de Gödel
A cada clase κ recursiva consistente en ω de fórmulas corresponden los signos de clase recursiva r , de modo que ni v Gen r ni Neg ( v Gen r ) pertenecen a Flg (κ) (donde v es la variable libre de r ).
- Kurt Gödel [114]
Mientras probaba sus teoremas de incompletitud , [nota 85] Kurt Gödel creó una alternativa a los símbolos que se usan normalmente en lógica. Usó números de Gödel , que eran números que representaban operaciones con números establecidos, y variables con números primos mayores que 10. Con los números de Gödel, las declaraciones lógicas se pueden dividir en una secuencia numérica. Gödel luego dio un paso más allá, tomando los n números primos y poniéndolos a la potencia de los números en la secuencia. Luego, estos números se multiplicaron para obtener el producto final, dando a cada enunciado lógico su propio número. [115] [nota 86]
Notación y temas contemporáneos
Notación de principios del siglo XX
La abstracción de la notación es un proceso continuo y el desarrollo histórico de muchos temas matemáticos exhibe una progresión de lo concreto a lo abstracto. Se desarrollarían varias notaciones de conjuntos para conjuntos de objetos fundamentales . Alrededor de 1924, David Hilbert y Richard Courant publicaron " Métodos de física matemática. Ecuaciones diferenciales parciales ". [116] En 1926, Oskar Klein y Walter Gordon propusieron la ecuación de Klein-Gordon para describir partículas relativistas. [nota 87] La primera formulación de una teoría cuántica que describe la interacción entre la radiación y la materia se debe a Paul Adrien Maurice Dirac , quien, durante 1920, fue capaz de calcular por primera vez el coeficiente de emisión espontánea de un átomo . [117] En 1928, Dirac formuló la ecuación relativista de Dirac para explicar el comportamiento del electrón en movimiento relativista . [nota 88] Dirac describió la cuantificación del campo electromagnético como un conjunto de osciladores armónicos con la introducción del concepto de operadores de creación y aniquilación de partículas. En los años siguientes, con las contribuciones de Wolfgang Pauli , Eugene Wigner , Pascual Jordan y Werner Heisenberg , y una elegante formulación de la electrodinámica cuántica debida a Enrico Fermi , [118] los físicos llegaron a creer que, en principio, sería posible realizar cualquier cálculo para cualquier proceso físico que involucre fotones y partículas cargadas.
En 1931, Alexandru Proca desarrolló la ecuación de Proca ( ecuación de Euler-Lagrange ) [nota 89] para la teoría del mesón vectorial de las fuerzas nucleares y las ecuaciones de campo cuántico relativistas . John Archibald Wheeler en 1937 desarrolla S-matrix . Los estudios de Felix Bloch con Arnold Nordsieck , [119] y Victor Weisskopf , [120] en 1937 y 1939, revelaron que tales cálculos eran confiables solo en un primer orden de la teoría de la perturbación , un problema ya señalado por Robert Oppenheimer . [121] En los órdenes superiores de la serie surgieron infinitos, lo que hizo que tales cálculos no tuvieran sentido y arrojaran serias dudas sobre la consistencia interna de la teoría misma. Sin una solución para este problema conocida en ese momento, parecía que existía una incompatibilidad fundamental entre la relatividad especial y la mecánica cuántica .
En la década de 1930, Edmund Landau creó la Z mayúscula de doble golpe para los conjuntos de números enteros . Nicolas Bourbaki creó la Q mayúscula de doble golpe para conjuntos de números racionales. En 1935, Gerhard Gentzen fabricó cuantificadores universales . En 1936, Alfred Tarski establece y demuestra el teorema de indefinibilidad de Tarski . [nota 90] En 1938, Gödel propone el universo constructible en el artículo " La consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado ". André Weil y Nicolas Bourbaki desarrollarían el signo de conjunto vacío en 1939. Ese mismo año, Nathan Jacobson acuñaría la C mayúscula de dos golpes para conjuntos de números complejos .
Alrededor de la década de 1930, la notación de Voigt [nota 91] se desarrollaría para el álgebra multilineal como una forma de representar un tensor simétrico reduciendo su orden. La notación Schönflies [nota 92] se convirtió en una de las dos convenciones utilizadas para describir grupos de puntos (la otra es la notación Hermann-Mauguin ). También en este tiempo, la notación de van der Waerden [122] [123] se hizo popular por el uso de espinores de dos componentes ( espinores de Weyl ) en cuatro dimensiones espaciotemporales. Arend Heyting introduciría el álgebra de Heyting y la aritmética de Heyting .
La flecha, por ejemplo, →, fue desarrollada para la notación de funciones en 1936 por Øystein Ore para denotar imágenes de elementos específicos. [nota 93] [nota 94] Más tarde, en 1940, tomó su forma actual, por ejemplo, f: X → Y , a través del trabajo de Witold Hurewicz . Werner Heisenberg , en 1941, propuso la teoría de la matriz S de interacciones de partículas.
La notación entre corchetes ( notación de Dirac ) es una notación estándar para describir estados cuánticos , compuesta por corchetes angulares y barras verticales . También se puede utilizar para denotar vectores abstractos y funcionales lineales . Se llama así debido a que el producto interno (o dot producto en un espacio de vector complejo) de dos estados se denota por un ⟨bra | ket⟩ [nota 95] que consta de una parte izquierda, ⟨ varphi |, y una parte derecha, | Psi ⟩. La notación fue introducida en 1939 por Paul Dirac , [124] aunque la notación tiene precursores en el uso de Grassmann de la notación [ φ | ψ ] por sus productos internos casi 100 años antes. [125]
La notación bra-ket está muy extendida en la mecánica cuántica : casi todos los fenómenos que se explican mediante la mecánica cuántica, incluida una gran parte de la física moderna, generalmente se explica con la ayuda de la notación bra-ket. La notación establece una representación-independencia abstracta codificada, produciendo una representación específica versátil (por ejemplo, x , op , o base de función propia ) sin mucho preámbulo o dependencia excesiva de la naturaleza de los espacios lineales involucrados. La expresión se superponen ⟨ phi | ψ ⟩ típicamente se interpreta como la amplitud de probabilidad para el estado ψ de colapso en el estado φ . La notación de barra de Feynman ( notación de barra de Dirac [126] ) fue desarrollada por Richard Feynman para el estudio de los campos de Dirac en la teoría cuántica de campos .
En 1948, Valentine Bargmann y Eugene Wigner propusieron las ecuaciones relativistas de Bargmann-Wigner para describir partículas libres y las ecuaciones están en forma de funciones de onda de campo espinor de múltiples componentes . En 1950, William Vallance Douglas Hodge presentó " Los invariantes topológicos de las variedades algebraicas " en las Actas del Congreso Internacional de Matemáticos. Entre 1954 y 1957, Eugenio Calabi trabajó en la conjetura de Calabi para las métricas de Kähler y el desarrollo de las variedades Calabi-Yau . En 1957, Tullio Regge formuló la propiedad matemática de la dispersión potencial en la ecuación de Schrödinger . [nota 96] Stanley Mandelstam , junto con Regge, hicieron el desarrollo inicial de la teoría de Regge de la fenomenología de interacción fuerte. En 1958, Murray Gell-Mann y Richard Feynman , junto con George Sudarshan y Robert Marshak , dedujeron las estructuras quirales de la interacción débil en física. Geoffrey Chew , junto con otros, promovería la notación matricial para la interacción fuerte y el principio de arranque asociado , en 1960. En la década de 1960, se desarrolló la notación creadora de conjuntos para describir un conjunto indicando las propiedades que sus miembros deben satisfacer. También en la década de 1960, los tensores se abstraen dentro de la teoría de categorías mediante el concepto de categoría monoidal . Más tarde, la notación de múltiples índices elimina las nociones convencionales utilizadas en el cálculo multivariable , las ecuaciones diferenciales parciales y la teoría de distribuciones , al abstraer el concepto de un índice entero a una tupla ordenada de índices.
Notación matemática moderna
En las matemáticas modernas de la relatividad especial , el electromagnetismo y la teoría de las ondas , el operador de d'Alembert [nota 97] [nota 98] es el operador de Laplace del espacio de Minkowski . El símbolo de Levi-Civita [nota 99] se usa en el cálculo de tensores .
Después de las formulaciones completas de covarianza de Lorentz que eran finitas en cualquier orden en una serie de perturbaciones de la electrodinámica cuántica, Sin-Itiro Tomonaga , Julian Schwinger y Richard Feynman fueron galardonados conjuntamente con un premio Nobel de física en 1965. [127] Sus contribuciones, y esas de Freeman Dyson , trataban sobre formulaciones covariantes e invariantes de calibre de electrodinámica cuántica que permiten cálculos de observables en cualquier orden de teoría de perturbación . La técnica matemática de Feynman, basada en sus diagramas , inicialmente parecía muy diferente del enfoque teórico de campo, basado en operadores de Schwinger y Tomonaga, pero Freeman Dyson demostró más tarde que los dos enfoques eran equivalentes. La renormalización , la necesidad de atribuir un significado físico a determinadas divergencias que aparecen en la teoría a través de integrales , se ha convertido posteriormente en uno de los aspectos fundamentales de la teoría cuántica de campos y se ha convertido en un criterio de aceptabilidad general de una teoría. La electrodinámica cuántica ha servido como modelo y plantilla para las teorías de campos cuánticos posteriores. Peter Higgs , Jeffrey Goldstone y otros, Sheldon Glashow , Steven Weinberg y Abdus Salam mostraron de forma independiente cómo la fuerza nuclear débil y la electrodinámica cuántica podían fusionarse en una sola fuerza electrodinámica . A finales de la década de 1960, el zoológico de partículas estaba compuesto por las entonces conocidas partículas elementales antes del descubrimiento de los quarks .
Un paso hacia el Modelo Estándar fue el descubrimiento de Sheldon Glashow , en 1960, de una forma de combinar las interacciones electromagnéticas y débiles . [128] En 1967, Steven Weinberg [129] y Abdus Salam [130] incorporaron el mecanismo de Higgs [131] [132] [133] en la teoría electrodébil de Glashow , dándole su forma moderna. Se cree que el mecanismo de Higgs da lugar a las masas de todas las partículas elementales en el Modelo Estándar. Esto incluye las masas de los bosones W y Z , y las masas de los fermiones , es decir, los quarks y leptones . También en 1967, Bryce DeWitt publicó su ecuación con el nombre de " Ecuación de Einstein-Schrödinger " (más tarde rebautizada como " Ecuación de Wheeler- DeWitt "). [134] En 1969, Yoichiro Nambu , Holger Bech Nielsen y Leonard Susskind describieron el espacio y el tiempo en términos de cuerdas . En 1970, Pierre Ramond desarrolló supersimetrías bidimensionales. Michio Kaku y Keiji Kikkawa luego formularían variaciones de cuerdas. En 1972, Michael Artin , Alexandre Grothendieck , Jean-Louis Verdier proponen el universo Grothendieck . [135]
Después de las corrientes débiles neutrales causadas por
Z
El intercambio de bosones se descubrió en el CERN en 1973, [136] [137] [138] [139] la teoría electrodébil fue ampliamente aceptada y Glashow, Salam y Weinberg compartieron el Premio Nobel de Física de 1979 por descubrirla. La teoría de la interacción fuerte , a la que muchos contribuyeron, adquirió su forma moderna alrededor de 1973-1974. Con el establecimiento de la cromodinámica cuántica , finalizó un conjunto de partículas fundamentales y de intercambio, lo que permitió el establecimiento de un " modelo estándar " basado en las matemáticas de la invariancia de gauge , que describió con éxito todas las fuerzas excepto la gravedad, y que sigue siendo generalmente aceptado. dentro del dominio al que está diseñado para ser aplicado. A finales de la década de 1970, William Thurston introdujo la geometría hiperbólica en el estudio de los nudos con el teorema de la hiperbolización . El sistema de notación orbifold , inventado por Thurston, ha sido desarrollado para representar tipos de grupos de simetría en espacios bidimensionales de curvatura constante. En 1978, Shing-Tung Yau dedujo que la conjetura de Calabi tiene métricas planas de Ricci . En 1979, Daniel Friedan demostró que las ecuaciones de movimientos de la teoría de cuerdas son abstracciones de las ecuaciones de Einstein de la relatividad general .
La primera revolución de supercuerdas se compone de ecuaciones matemáticas desarrolladas entre 1984 y 1986. En 1984, Vaughan Jones dedujo el polinomio de Jones y las contribuciones posteriores de Edward Witten , Maxim Kontsevich y otros revelaron conexiones profundas entre la teoría de nudos y los métodos matemáticos en mecánica estadística y teoría cuántica de campos. Según la teoría de cuerdas , todas las partículas del "zoológico de partículas" tienen un antepasado común, a saber, una cuerda vibrante . En 1985, Philip Candelas , Gary Horowitz , [140] Andrew Strominger y Edward Witten publicarían "Configuraciones de vacío para supercuerdas" [141] Más tarde, el formalismo de la tétrada ( notación del índice de la tétrada ) se introduciría como un enfoque de la relatividad general que reemplaza la elección de una base de coordenadas por la elección menos restrictiva de una base local para el paquete tangente. [nota 102] [142]
En la década de 1990, Roger Penrose proponía la notación gráfica de Penrose ( notación de diagrama tensorial ) como una representación visual, generalmente escrita a mano, de funciones multilineales o tensores . [143] Penrose también introduciría la notación de índice abstracto . [nota 103] En 1995, Edward Witten sugirió la teoría M y posteriormente la usó para explicar algunas dualidades observadas , iniciando la segunda revolución de supercuerdas . [nota 104]
John Conway promovería varias notaciones, incluida la notación de flecha encadenada de Conway , la notación de Conway de la teoría de nudos y la notación de poliedro de Conway . El sistema de notación de Coxeter clasifica los grupos de simetría, describiendo los ángulos entre con reflexiones fundamentales de un grupo de Coxeter . Utiliza una notación entre corchetes, con modificadores para indicar ciertos subgrupos. La notación lleva el nombre de HSM Coxeter y Norman Johnson la definió de manera más completa.
La notación combinatoria LCF [nota 105] se ha desarrollado para la representación de gráficos cúbicos que son hamiltonianos . [144] [145] La notación de ciclo es la convención para escribir una permutación en términos de sus ciclos constituyentes . [146] Esto también se llama notación circular y la permutación se llama permutación cíclica o circular . [147]
Computadoras y notación de marcado
En 1931, IBM produce IBM 601 Multiplying Punch ; es una máquina electromecánica que puede leer dos números, de hasta 8 dígitos, de una tarjeta y perforar su producto en la misma tarjeta. [148] En 1934, Wallace Eckert utilizó un IBM 601 Multiplying Punch manipulado para automatizar la integración de ecuaciones diferenciales. [149] En 1936, Alan Turing publica " Sobre números computables, con una aplicación al Entscheidungsproblem ". [150] [nota 106] John von Neumann , pionero de la computadora digital y de la informática, [nota 107] en 1945, escribe el Primer Borrador incompleto de un Informe sobre el EDVAC . En 1962, Kenneth E. Iverson desarrolló una notación de parte integral, que se convirtió en APL , para manipular matrices que enseñó a sus estudiantes y describió en su libro A Programming Language . En 1970, Edgar F. Codd propuso el álgebra relacional como modelo relacional de datos para lenguajes de consulta de bases de datos . En 1971, Stephen Cook publica " La complejidad de los procedimientos de demostración de teoremas " [151] En la década de 1970, dentro de la arquitectura informática , la notación de comillas se desarrolló para un sistema numérico representativo de números racionales . También en esta década, la notación Z (al igual que el lenguaje APL , mucho antes) usa muchos símbolos que no son ASCII , la especificación incluye sugerencias para representar los símbolos de notación Z en ASCII y en LaTeX . Actualmente existen varias funciones matemáticas en C (Math.h) y bibliotecas numéricas . Son bibliotecas que se utilizan en el desarrollo de software para realizar cálculos numéricos . Estos cálculos pueden manejarse mediante ejecuciones simbólicas ; analizar un programa para determinar qué entradas hacen que se ejecute cada parte de un programa. Mathematica y SymPy son ejemplos de programas de software computacionales basados en matemáticas simbólicas .
Futuro de la notación matemática
En la historia de la notación matemática, la notación de símbolos ideográficos ha completado el círculo con el surgimiento de los sistemas de visualización por computadora. Las notaciones se pueden aplicar a las visualizaciones abstractas, como para la prestación de algunas proyecciones de un Calabi-Yau colector . En los gráficos por computadora se pueden encontrar ejemplos de visualización abstracta que pertenecen propiamente a la imaginación matemática . La necesidad de tales modelos abunda, por ejemplo, cuando las medidas para el tema de estudio son en realidad variables aleatorias y no funciones matemáticas realmente ordinarias .
Ver también
- Relevancia principal
- Abuso de notación , fórmula formada Bueno , Big O notación ( L-notación ), la notación Dowker , la notación húngara , notación infija , posicional notación , notación polaca ( notación polaca inversa ), la notación de sesión de valor , historia de la escritura números
- Números y cantidades
- Lista de números , Números irracionales y sospechosos de irracionalidad , γ , ζ (3) , √ 2 , √ 3 , √ 5 , φ , ρ , δ S , α , e , π , δ , Constantes físicas , c , ε 0 , h , G , letras griegas utilizadas en matemáticas, ciencias e ingeniería
- Relevancia general
- Orden de operaciones , notación científica ( notación de ingeniería ), notación actuarial
- Notación de puntos
- Notación química ( Puntos de Lewis notación ( Electrón dot notación )), Dot-notación decimal
- Notación de flecha
- Notación de flecha hacia arriba de Knuth , combinatoria infinita (notación de flecha (teoría de Ramsey))
- Geometrías
- Geometría proyectiva , geometría afín , geometría finita
- Listas y esquemas
- Esquema de las matemáticas ( temas de la historia Matemáticas y temas Matemáticas ( Categorías Matemáticas )), Las teorías matemáticas ( teorías de primer orden , Teoremas y refutó las ideas matemáticas ), pruebas matemáticas ( PRUEBAS incompletas ), identidades matemáticas , series matemáticas , tablas de referencia de Matemáticas , Lógica matemática temas , métodos basados en matemáticas , funciones matemáticas , transformaciones y operadores , puntos en matemáticas , formas matemáticas , nudos ( nudos primos y nudos y enlaces matemáticos ), desigualdades , conceptos matemáticos con nombres de lugares, temas matemáticos en mecánica clásica , temas matemáticos en cuántica teoría , temas matemáticos de la relatividad , temas de la teoría de cuerdas , problemas sin resolver en las matemáticas , matemático jerga , ejemplos matemáticos , abreviaturas matemáticas , Lista de símbolos matemáticos
- Misc.
- Los problemas de Hilbert , matemático coincidencia , la notación de ajedrez , notación lineal , la notación musical ( punteada nota ), la notación Whyte , dados de rol , recursiva categórica sintaxis
- Personas
- Matemáticos ( matemáticos aficionados y matemáticos femeninos ), Thomas Bradwardine , Thomas Harriot , Felix Hausdorff , Gaston Julia , Helge von Koch , Paul Lévy , Aleksandr Lyapunov , Benoit Mandelbrot , Lewis Fry Richardson , Wacław Sierpiński , Saunders Mac Lane , Paul Cohenge , Gottlob , GS Carr , Robert Recorde , Bartel Leendert van der Waerden , GH Hardy , EM Wright , James R. Newman , Carl Gustav Jacob Jacobi , Roger Joseph Boscovich , Eric W. Weisstein , probabilistas matemáticos , estadísticos
Notas
- ^ O la Edad Media.
- ↑ Tales caracteres, de hecho, se conservan con poca alteración en la notación romana , una descripción de la cual se puede encontrar enPhilosophy of Arithmetic de John Leslie .
- ^ La teoría de números es una rama de las matemáticas puras dedicada principalmente al estudio de los números enteros . Los teóricos numéricos estudian los números primos así como las propiedades de los objetos hechos de números enteros (por ejemplo, números racionales ) o definidos como generalizaciones de los números enteros (por ejemplo, enteros algebraicos ).
- ^ Griego : μή μου τοὺς κύκλους τάραττε
- ^ Es decir,.
- ^ Magnitud (matemáticas) , el tamaño relativo de un objeto; Magnitud (vector) , término para el tamaño o la longitud de un vector; Escalar (matemáticas) , una cantidad definida solo por su magnitud; Vector euclidiano , una cantidad definida tanto por su magnitud como por su dirección; Orden de magnitud , la clase de escala que tiene una relación de valor fijo con la clase anterior.
- ↑ Autolycus ' On the Moving Sphere es otro antiguo manuscrito matemático de la época.
- ↑ Proclo , un matemático griego que vivió varios siglos después de Euclides, escribió en su comentario de los Elementos: "Euclides, quien reunió los Elementos, recopiló muchos delos teoremasde Eudoxo , perfeccionó muchos de los de Theaetetus y también llevó a una demostración irrefutable de los cosas que sus predecesores sólo demostraron de forma un tanto vaga ".
- ^ La expresión:
se escribiría como:
SS2 C3 x5 M S4 u6
. [ cita requerida ] - ^ como la regla , escuadra , brújulas , nivel de agua ( nivel de lengüeta ) y plomada .
- ^ como la rueda y el eje
- ^ El área del cuadrado descrito en la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados descritos en los lados
- ^ Al-Kindi también introdujo el criptoanálisis y el análisis de frecuencia .
- ↑ Algo parecido a una prueba por inducción matemática aparece en un libro escrito por Al-Karaji alrededor del año 1000 d.C., quien lo usó para probar el teorema del binomio , el triángulo de Pascal y la suma de cubos integrales .
- ↑ Estuvo cerca de encontrar una fórmula general para las integrales de polinomios, pero no le preocupaban polinomios superiores al cuarto grado.
- ^ un libro sobre lo que él percibió como fallas en los Elementos de Euclides , especialmente el postulado paralelo
- ^ traducido al latín por Robert de Chester
- ↑ traducido en varias versiones por Adelard of Bath , Herman of Carinthia y Gerard of Cremona
- ^ Su propio uso personal comenzó alrededor de 1351.
- ↑ Summa de Arithmetica: Geometria Proportioni et Proportionalita. Tr . Suma de aritmética: geometría en proporciones y proporcionalidad.
- ↑ Gran parte del trabajo se originó en Piero della Francesca, de quien se apropió y robó .
- ↑ Este fue un caso especial de los métodos dados muchos siglos después por Ruffini y Horner .
- ^ Es decir,.
- ^ Porque, se cree, se parecía a una "r" minúscula (para " radix ").
- ^ Publicado en Descripción del maravilloso canon de logaritmos
- ^ Es decir, ∷
- ^ ver Ley de Continuidad .
- ^ Usando coordenadas cartesianas en el plano, la distancia entre dos puntos ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) se define mediante la fórmula:
que puede verse como una versión del teorema de Pitágoras . - ↑ Lobachevsky , Bolyai , Riemann y Gauss dieron más pasos en la abstracción,quienes generalizaron los conceptos de geometría para desarrollar geometrías no euclidianas .
- ^ Ahora llamado triángulo de Pascal .
- ^ Por ejemplo, el " problema de los puntos ".
- ^ Es decir,.
- ^ Por ejemplo,
- ^ Título original, " De ratiociniis in ludo aleae "
- ^ Por ejemplo, la derivada de la función x se escribiría como. La segunda derivada de x se escribiría comoetc.
- ^ Por ejemplo, la derivada de la función x con respecto a la variable t en la notación de Leibniz se escribiría como.
- ^ Es decir,.
- ^ Véase también: Lista de representaciones de e
- ^ Asídenota el resultado matemático de la realización de la operaciónsobre el tema . Si sobre este resultado se repitiera la misma operación, el nuevo resultado sería expresado por, o más concisamente por , y así. La cantidad en sí mismo considerado como el resultado de la misma operación sobre alguna otra función; el símbolo apropiado para el cual es, por analogía,. Por lo tanto y son símbolos de operaciones inversas , anulando el primero el efecto del segundo sobre el sujeto. y de manera similar se denominan funciones inversas .
- ^ Es decir,
- ^ Es decir,
- ↑ Hoy, el símbolo creado por John Wallis ,, se utiliza para infinito.
- ^ Como en,
- ^ La notación de mayúsculas y sigma usa un símbolo que representa de manera compacta la suma de muchos términos similares: el símbolo de suma , ∑ , una forma ampliada de la letra griega en mayúscula vertical Sigma . Esto se define como:
Donde, i representa el índice de suma ; a i es una variable indexada que representa cada término sucesivo de la serie; m es el límite inferior de la suma y n es el límite superior de la suma . El "i = m" debajo del símbolo de suma significa que el índice i comienza igual am . El índice, i , se incrementa en 1 para cada término sucesivo, deteniéndose cuando i = n .
- ^ Es decir,.
válido para n> 0. - ^ Es decir, ∝
- ^ La proporcionalidad es la relación entre una cantidad y otra, especialmente la relación entre una parte y un todo. En un contexto matemático, una proporción es el enunciado de igualdad entre dos razones; Consulte Proporcionalidad (matemáticas) , la relación de dos variables cuya razón es constante. Consulte también relación de aspecto , proporciones geométricas.
- ^ La do rizada o delta de Jacobi .
- ^ Sobre la prueba del teorema de Wilson . Disquisitiones Arithmeticae (1801) Artículo 76
- ↑ La teoría de Galois y la geometría de Galois llevan su nombre.
- ^ Es decir, "subconjunto de" y "superconjunto de"; Posteriormente, Ernst Schröder lo reconstruiría.
- ^ Una ciencia de los números que utiliza métodos de análisis matemático para resolver problemas sobre números enteros.
- ^ Citado en Robert Perceval Graves ' Life of Sir William Rowan Hamilton (3 volúmenes, 1882, 1885, 1889)
- ^ Es decir,(o, posteriormente llamado del , ∇)
- ^ Ver hamiltoniano (mecánica cuántica) .
- ^ Es decir, I 2 = j 2 = k 2 = I j k = - 1 {\ Displaystyle i ^ {2} = j ^ {2} = k ^ {2} = ijk = -1}
- ↑ Aunque su uso describe algo diferente de lo que ahora se entiende por tensor. Es decir, la operación normal en cierto tipo de sistema algebraico (ahora conocido como álgebra de Clifford ).
- ^ Es decir,
dónde
- ^ Esto es latín para "útero".
- ^ Es decir, q = w + X I + y j + z k {\ Displaystyle q = w + xi + yj + zk}
- ^ Clifford cruzó el álgebra con los cuaterniones de Hamilton reemplazandola regla de Hermann Grassmann e p e p = 0 por la regla e p e p = 1. Para más detalles, vea álgebra exterior .
- ^ Ver: fasor , grupo (matemáticas) , velocidad de la señal , sistema polifásico , oscilador armónico y circuito en serie RLC
- ^ O el concepto de una cuarta dimensión espacial. Ver también: Espacio - tiempo , la unificación del tiempo y el espacio como un continuo de cuatro dimensiones; y el espacio de Minkowski , el escenario matemático de la relatividad especial.
- ^ Ver también: Campos matemáticos y extensión de campo
- ^ Comente después de la prueba de que 1 + 1 = 2, completada en Principia mathica, por Alfred North Whitehead ... y Bertrand Russell. Volumen II, 1a edición (1912)
- ^ Esto plantea preguntas sobre los teoremas de la existencia pura .
- ↑ El Formulario Mathematico de Peano, aunque menos popular que el trabajo de Russell, continuó a lo largo de cinco ediciones. El quinto apareció en 1908 e incluía 4200 fórmulas y teoremas.
- ^ Inventor de la teoría de conjuntos
- ^ Aritmética Transfinite es la generalización de la aritmética elemental a infinitas cantidades como los conjuntos infinitos ; Consulte Números transfinitos , inducción transfinita e interpolación transfinita . Véase también aritmética ordinal .
- ^ Como Max Dehn , JW Alexander y otros.
- ^ Como el polinomio de Alexander .
- ^ (Alemán: Algebraische Theorie der Körper)
- ↑ En este artículo, Steinitz estudió axiomáticamente las propiedades de los campos y definió muchos conceptos teóricos de campos importantes como el campo principal , el campo perfecto y el grado de trascendencia de una extensión de campo .
- ^ Los índices superan el conjunto {1, 2, 3} ,
se reduce por la convención a:
Los índices superiores no son exponentes sino índices de coordenadas, coeficientes o vectores base .
Ver también: cálculo de Ricci - ↑ El cálculo de Ricci constituye las reglas de notación y manipulación de índices para tensores y campos tensoriales . Consulte también: Synge JL; Schild A. (1949). Cálculo de tensor . Primera edición de Dover Publications 1978. págs. 6-108.
- ^ Aquí, una constante lógica es un símbolo en lógica simbólica que tiene el mismo significado en todos los modelos, como el símbolo "=" para "igual".
Una constante , en un contexto matemático, es un número que surge naturalmente en matemáticas , como π o e; Estevalor constante matemático no cambia. Puede significar el término constante polinomial(el término de grado 0) o la constante de integración , un parámetro libre que surge en la integración.
Relacionado, las constantes físicas son una cantidad física que generalmente se cree que es universal e invariable. Las constantes de programación son valores que, a diferencia de una variable, no pueden reasociarse con un valor diferente. - ^ Aunque no es un término de índice , las palabras clave son términos que representan información. Una palabra clave es una palabra con un significado especial (esta es una definición semántica), mientras que sintácticamente estos son símbolos terminales en la gramática de la frase. Consulte la palabra reservada para el concepto relacionado.
- ^ La mayoría de estos símbolos se pueden encontrar en el cálculo proposicional , un sistema formal descrito como. es el conjunto de elementos, como el a en el ejemplo con álgebra booleana anterior. es el conjunto que contiene los subconjuntos que contienen operaciones, como o . contiene las reglas de inferencia , que son las reglas que dictan cómo se pueden hacer inferencias lógicamente, ycontiene los axiomas . Consulte también: Formas de argumentos básicos y derivados .
- ^ Usualmente denotado por x , y , z , u otras letras minúsculas.
Aquí un símbolo que representa una cantidad en una expresión matemática, una variable matemática como se usa en muchas ciencias.
Las variables pueden ser un nombre simbólico asociado a un valor y cuyo valor asociado puede ser modificado, conocido en informática como variable de referencia . Una variable también puede ser laforma operativa en la que se representa el atributo para el procesamiento posterior de datos (por ejemplo, un conjunto lógico de atributos). Consulte también: Variables dependientes e independientes en estadística. - ^ Generalmente se denota con una letra mayúscula seguida de una lista de variables, como P ( x ) o Q ( y , z ).
Aquí un predicado de lógica matemática , un concepto fundamental en la lógica de primer orden. Los predicados gramaticales son componentes gramaticales de una oración.
Relacionado está el predicado sintáctico en la tecnología del analizador que son pautas para el proceso del analizador. En la programación de computadoras, una predicación de rama permite la opción de ejecutar o no ejecutar una instrucción dada en función del contenido de un registro de máquina. - ^ Representando TODO y EXISTE
- ^ p. ej., "para" existe "y ∀ para" para todos "
- ↑ Ver también: Dialeísmo , contradicción y paradoja.
- ↑ Las tonterías abstractas y graciosas relacionadasdescriben ciertos tipos de argumentos y métodos relacionados con la teoría de categorías que se asemejan a los recursos literarios cómicos de non-sequitur (no a non-sequiturs ilógicos ).
- ^ Los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que el programa de Hilbert para encontrar un conjunto completo y consistente de axiomas para todas las matemáticas es imposible, dando una respuesta negativa controvertida al segundo problema de Hilbert
- ^ Por ejemplo, tome la afirmación "Existe un número x tal que no es y ". Usando los símbolos del cálculo proposicional, esto se convertiría en:.
Si los números de Gödel reemplazan a los símbolos, se convierte en:.
Hay diez números, por lo que se encuentran los diez números primos y estos son:.
Luego, los números de Gödel se hacen las potencias de los respectivos primos y se multiplican, dando:.
El número resultante es aproximadamente. - ^ La ecuación de Klein-Gordon es:
- ^ La ecuación de Dirac en la forma propuesta originalmente por Dirac es:
donde, ψ = ψ ( x , t ) es la función de onda del electrón , x y t son las coordenadas espaciales y temporales, m es la masa en reposo del electrón, p es el momento , entendido como el operador del momento en el Teoría de Schrödinger , c es la velocidad de la luz y ħ = h / 2 π es la constante de Planck reducida . - ^ Es decir,
- ^ El teorema se aplica de manera más general a cualquier sistema formal suficientemente fuerte, mostrando que la verdad en el modelo estándar del sistema no se puede definir dentro del sistema.
- ^ Nombrado en honor al trabajo de 1898 de Voigt.
- ^ Nombrado en honor a Arthur Moritz Schoenflies
- ^ Consulte las conexiones de Galois .
- ^ Oystein Ore también escribiría " Teoría de números y su historia ".
- ^
- ^ Que se puede pensar en la amplitud de dispersión como una función analítica del momento angular, y que la posición de los polos determina las tasas de crecimiento de la amplitud según la ley de potencias en la región puramente matemática de valores grandes del coseno del ángulo de dispersión.
- ^ Es decir,
- ^ También conocido como operador de ondas o d'Alembertian .
- ^ También conocido como " símbolo de permutación " (ver: permutación ), " símbolo antisimétrico " (ver: antisimétrico ) o " símbolo alterno "
- ^ Tenga en cuenta que las " masas " (por ejemplo, la forma corporal coherente no definida) de partículas son reevaluadas periódicamentepor la comunidad científica . Es posible que los valores se hayan ajustado; ajuste por operaciones realizadas en instrumentos para que proporcione indicaciones dadas correspondientes a valores dados del mensurando . En ingeniería, matemáticas y geodesia, el parámetro óptimoes la estimación de un modelo matemático para que se ajuste mejor a un conjunto de datos .
- ^ Para el consenso , consulte Particle Data Group .
- ^ Un conjunto definido localmente de cuatro campos vectoriales linealmente independientesllamados tétrada
- ↑ Su uso de la suma de Einstein fue para compensar los inconvenientes de describir las contracciones y la diferenciación covariante en la notación tensorial abstracta moderna, mientras se mantiene la covarianza explícitade las expresiones involucradas.
- ^ Ver también: paisaje de la teoría de cuerdas y Swampland
- ^ Diseñado por Joshua Lederberg y ampliado por Coxeter y Frucht
- ^ Y, en 1938, Turing, AM (1938). "Sobre números computables, con una aplicación al Entscheidungsproblem. Una corrección". Actas de la London Mathematical Society . s2-43: 544–546. doi : 10.1112 / plms / s2-43.6.544 ..
- ↑ Entre las otras contribuciones de von Neumann se incluyen la aplicación de la teoría del operador a la mecánica cuántica , en el desarrollo del análisis funcional y en varias formas de teoría del operador .
Referencias y citas
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- ↑ Marcel Gauchet , 151.
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- ^ Robert Kaplan, "La nada que es: una historia natural de cero", Allen Lane / The Penguin Press, Londres, 1999
- ^ " " El ingenioso método de expresar todos los números posibles utilizando un conjunto de diez símbolos (cada símbolo tiene un valor posicional y un valor absoluto) surgió en la India. La idea parece tan simple hoy en día que ya no se aprecia su significado y profunda importancia. Su simplicidad radica en la forma en que facilitó el cálculo y colocó la aritmética en primer lugar entre las invenciones útiles. la importancia de esta invención se aprecia más fácilmente cuando se considera que estaba más allá de los dos hombres más grandes de la Antigüedad, Arquímedes y Apolonio. "- Pierre-Simon Laplace" . History.mcs.st-and.ac.uk . Consultado el 24 de junio de 2014 .
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- ↑ Gandz y Saloman (1936), The sources of Khwarizmi's álgebra , Osiris i, pp. 263–77: "En cierto sentido, Khwarizmi tiene más derecho a ser llamado" el padre del álgebra "que Diofanto porque Khwarizmi es el primero en enseñar álgebra en una forma elemental y por sí misma, Diofanto se ocupa principalmente de la teoría de los números ".
- ^ Boyer, CB Una historia de las matemáticas, 2ª ed. Rvdo. por Uta C. Merzbach. Nueva York: Wiley, 1989 ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7 ). "La hegemonía árabe" p. 229. (cf., "No es seguro qué significan los términos al-jabr y muqabalah , pero la interpretación habitual es similar a la implícita en la traducción anterior. La palabra al-jabr supuestamente significaba algo como" restauración "o" terminación "y parece referirse a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación; se dice que la palabra muqabalah se refiere a" reducción "o" equilibrio ", es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos de la ecuación . ")
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Otras lecturas
- General
- Una breve reseña de la historia de las matemáticas . Por Walter William Rouse Ball .
- Una cartilla de la historia de las matemáticas . Por Walter William Rouse Ball.
- Una historia de las matemáticas elementales : con sugerencias sobre métodos de enseñanza. Por Florian Cajori.
- Una historia de las matemáticas elementales . Por Florian Cajori.
- Una historia de las matemáticas . Por Florian Cajori.
- Una breve historia de las matemáticas griegas . Por James Gow .
- Sobre el desarrollo del pensamiento matemático durante el siglo XIX . Por John Theodore Merz .
- Un nuevo diccionario matemático y filosófico . Por Peter Barlow.
- Introducción histórica a la literatura matemática . Por George Abram Miller
- Una breve historia de las matemáticas . Por Karl Fink , Wooster Woodruff Beman y David Eugene Smith
- Historia de la Matemática Moderna . Por David Eugene Smith.
- Historia de las matemáticas modernas . Por David Eugene Smith, Mansfield Merriman .
- Otro
- Principia Mathematica, Volumen 1 y Volumen 2 . Por Alfred North Whitehead, Bertrand Russell.
- Los principios matemáticos de la filosofía natural , volumen 1, número 1. Por Sir Isaac Newton, Andrew Motte, William Davis, John Machin, William Emerson.
- Investigaciones generales de superficies curvas de 1827 y 1825 . Por Carl Friedrich Gaus.
enlaces externos
- Notación matemática: pasado y futuro
- Historia de la notación matemática
- Usos más antiguos de la notación matemática
- Contando con los dedos . files.chem.vt.edu.
- Algunos símbolos matemáticos comunes y abreviaturas (con historia) . Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele, Anne Schilling.