En geometría , un apeiroedro sesgado es un poliedro sesgado infinito que consta de caras no planas o figuras de vértice no planas , lo que permite que la figura se extienda indefinidamente sin doblarse para formar una superficie cerrada.
Los apeiroedros sesgados también se han llamado esponjas poliédricas .
Muchos están directamente relacionados con un panal convexo uniforme , que es la superficie poligonal de un panal con algunas de las celdas eliminadas. Característicamente, un poliedro de sesgo infinito divide el espacio tridimensional en dos mitades. Si se piensa que una mitad es sólida, la figura a veces se denomina panal parcial .
Apeiroedros de sesgo regular
Según Coxeter , en 1926 John Flinders Petrie generalizó el concepto de polígonos de sesgo regular (polígonos no planos) a poliedros de sesgo regular (apeiroedros). [1]
Coxeter y Petrie encontraron tres de estos que ocupaban 3 espacios:
Apeiroedros de sesgo regular | ||
---|---|---|
{4,6 | 4} mucube | {6,4 | 4} muoctaedro | {6,6 | 3} mutetraedro |
También existen apeiroedros de sesgo quiral de los tipos {4,6}, {6,4} y {6,6}. Estos son oblicuos apeirohedra vértice-transitivo , edge-transitiva , y cara transitiva , pero no simétrica de espejo ( Schulte 2004 ).
Más allá del espacio tridimensional euclidiano, en 1967 CWL Garner publicó un conjunto de 31 poliedros sesgados regulares en el espacio tridimensional hiperbólico. [2]
Pseudopoliedros regulares de Gott
J. Richard Gott en 1967 publicó un conjunto más grande de siete poliedros de sesgo infinito a los que llamó pseudopoliedros regulares , incluidos los tres de Coxeter como {4,6}, {6,4} y {6,6} y cuatro nuevos: {5,5}, {4,5}, {3,8}, {3,10}. [3] [4]
Gott relajó la definición de regularidad para permitir sus nuevas figuras. Donde Coxeter y Petrie habían requerido que los vértices fueran simétricos, Gott solo requería que fueran congruentes. Por lo tanto, los nuevos ejemplos de Gott no son regulares según la definición de Coxeter y Petrie.
Gott llamó al conjunto completo de poliedros regulares , teselaciones regulares y pseudopoliedros regulares como poliedros generalizados regulares , representables por un símbolo {p, q} de Schläfli , con caras p-gonales, q alrededor de cada vértice. Sin embargo, ni el término "pseudopoliedro" ni la definición de regularidad de Gott han alcanzado un amplio uso.
El cristalógrafo AF Wells en la década de 1960 también publicó una lista de apeiroedros sesgados. Melinda Green publicó muchos más en 1998.
{p, q} | Celdas alrededor de un vértice | Caras de vértice | Patrón más grande | Grupo espacial | Notación orbifold H 2 relacionada | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Grupo de espacio cúbico | Notación Coxeter | Notación fibrifold | |||||
{4,5} | 3 cubos | Estoy 3 m | [[4,3,4]] | 8 °: 2 | * 4222 | ||
{4,5} | 1 octaedro truncado 2 prismas hexagonales | Yo 3 | [[4,3 + , 4]] | 8 °: 2 | 2 * 42 | ||
{3,7} | 1 octaedro 1 icosaedro | Fd 3 | [[3 [4] ]] + | 2 ° - | 3222 | ||
{3,8} | 2 cubos chatos | Fm 3 m | [4, (3,4) + ] | 2 −− | 32 * | ||
{3,9} | 1 tetraedro 3 octaedros | Fd 3 m | [[3 [4] ]] | 2 + : 2 | 2 * 32 | ||
{3,9} | 1 icosaedro 2 octaedros | Yo 3 | [[4,3 + , 4]] | 8 °: 2 | 22 * 2 | ||
{3,12} | 5 octaedros | Estoy 3 m | [[4,3,4]] | 8 °: 2 | 2 * 32 |
Formas prismáticas
Forma prismática: {4,5} |
Hay dos formas prismáticas :
- {4,5}: 5 cuadrados en un vértice (dos mosaicos cuadrados paralelos conectados por agujeros cúbicos ).
- {3,8}: 8 triángulos en un vértice (dos mosaicos de triángulos paralelos conectados por agujeros octaédricos ).
Otras formas
{3,10} también se forma a partir de planos paralelos de mosaicos triangulares , con orificios octaédricos alternados en ambos sentidos.
{5,5} se compone de 3 pentágonos coplanares alrededor de un vértice y dos pentágonos perpendiculares que llenan el espacio.
Gott también reconoció que existen otras formas periódicas de teselaciones planas regulares. Tanto el mosaico cuadrado {4,4} como el mosaico triangular {3,6} se pueden curvar en cilindros infinitos aproximados en 3 espacios.
Teoremas
Escribió algunos teoremas:
- Para cada poliedro regular {p, q}: (p-2) * (q-2) <4. Para cada teselación regular: (p-2) * (q-2) = 4. Para cada pseudopoliedro regular: (p-2) * (q-2)> 4.
- El número de caras que rodean una cara dada es p * (q-2) en cualquier poliedro generalizado regular.
- Cada pseudopoliedro regular se aproxima a una superficie curvada negativamente.
- Los siete pseudopoliedros regulares son estructuras repetidas.
Apeirohedra de sesgo uniforme
Hay muchos otros apeiroedros asimétricos uniformes ( transitivos de vértice ). Wachmann, Burt y Kleinmann (1974) descubrieron muchos ejemplos, pero no se sabe si su lista está completa.
Algunos se ilustran aquí. Se pueden nombrar por su configuración de vértice , aunque no es una designación única para las formas sesgadas.
4.4.6.6 | 6.6.8.8 | |
---|---|---|
Relacionado con panal cúbico cantitruncado , | Relacionado con runcicantic cubic honeycomb , | |
4.4.4.6 | 4.8.4.8 | 3.3.3.3.3.3.3 |
Relacionado con el panal cúbico omnitruncado : | ||
4.4.4.6 | 4.4.4.8 | 3.4.4.4.4 |
Relacionado con el panal cúbico runcitruncado . |
4.4.4.4.4 | 4.4.4.6 |
---|---|
Relacionado con | Relacionado con |
Otros se pueden construir como cadenas aumentadas de poliedros:
Hélice uniforme de Boerdijk-Coxeter | Pilas de cubos |
---|
Ver también
- Polígono de Petrie
- Poliedro oblicuo regular
Referencias
- ^ Coxeter, poliedros oblicuos regulares HSM en tres y cuatro dimensiones. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
- ↑ Garner, CWL Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Lata. J. Math. 19, 1179-1186, 1967. [1]
- ^ JR Gott, Pseudopolyhedrons, American Mathematical Monthly, Vol 74, p. 497-504, 1967.
- ^ Las simetrías de las cosas, poliedros pseudoplatónicos, p.340-344
- Coxeter , Regular Polytopes , Tercera edición, (1973), Edición Dover, ISBN 0-486-61480-8
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Documento 2) HSM Coxeter, "Las esponjas regulares o poliedros sesgados", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas , ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 23, Objetos con simetría prima, poliedros pseudoplatónicos, p340-344)
- Schulte, Egon (2004), "Poliedros quirales en el espacio ordinario. I", Geometría discreta y computacional , 32 (1): 55–99, doi : 10.1007 / s00454-004-0843-x , MR 2060817. [3]
- AF Wells, Redes tridimensionales y poliedros , Wiley, 1977. [4]
- A. Wachmann, M. Burt y M. Kleinmann, Infinite polyhedra , Technion, 1974. 2nd Edn. 2005.
- E. Schulte, JM Wills On Coxeter's regular skew polyhedra , Discrete Mathematics, Volumen 60, junio-julio de 1986, páginas 253–262
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Poliedro de sesgo regular" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Panales y esponjas" . MathWorld .
- Olshevsky, George. "Politopo sesgado" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
- Teselaciones "hiperbólicas"
- Poliedros regulares infinitos [5]
- Poliedros repetidos infinitos: panales parciales en 3 espacios
- 18 SIMETRÍA DE POLITOPOS Y POLYHEDRA, Egon Schulte: 18.3 BISEJA REGULAR POLYHEDRA
- Poliedros infinitos, TE Dorozinski