En matemáticas, la descomposición de Jordan-Chevalley , llamada así por Camille Jordan y Claude Chevalley , expresa un operador lineal como la suma de su parte semisimple de conmutación y su parte nilpotente . La descomposición multiplicativa expresa un operador invertible como el producto de sus partes conmutadas semisimple y unipotente. La descomposición es fácil de describir cuando se da la forma normal de Jordan del operador, pero existe bajo hipótesis más débiles que la existencia de una forma normal de Jordan. Existen análogos de la descomposición de Jordan-Chevalley para elementos de grupos algebraicos lineales , álgebras de Lie, y grupos de Lie , y la descomposición es una herramienta importante en el estudio de estos objetos.
Descomposición de un operador lineal
Considere los operadores lineales en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo. Un operador T es semisimple si cada subespacio invariante en T tiene un subespacio invariante en T complementario (si el campo subyacente está algebraicamente cerrado , esto es lo mismo que el requisito de que el operador sea diagonalizable ). Un operador x es nilpotente si alguna potencia x m de él es el operador cero. Un operador x es unipotente si x - 1 es nilpotente.
Ahora, sea x cualquier operador. Una descomposición de Jordan-Chevalley de x es una expresión de la misma como una suma
- x = x s + x n ,
donde x s es semisimple, x n es nilpotente y x s y x n conmutan. Más de un campo perfecto , [1] existe una descomposición tal (cf. #Proof de la unicidad y de la existencia ), la descomposición es única, y los x s y x n polinomios están en x sin términos constantes. [2] [3] En particular, para este tipo de descomposición sobre un campo perfecto, un operador que conmuta con x también conmuta con x s y x n .
Si x es un operador invertible, entonces una descomposición de Jordan-Chevalley multiplicativa expresa x como un producto
- x = x s · x u ,
donde x s es semisimple, x u es unipotente y x s y x u conmutan. Una vez más, sobre un campo perfecto, existe una descomposición tal, la descomposición es única, y x s y x T son polinomios en x . La versión multiplicativa de la descomposición se sigue de la aditiva ya que, como se ve fácilmente como invertible,
y es unipotente. (A la inversa, mediante el mismo tipo de argumento, se puede deducir la versión aditiva de la multiplicativa).
Si x se escribe en forma normal de Jordan (con respecto a alguna base), entonces x s es el endomorfismo cuya matriz contiene solo los términos diagonales de x , y x n es el endomorfismo cuya matriz contiene solo los términos fuera de la diagonal; x u es el endomorfismo cuya matriz se obtiene de la forma normal de Jordan dividiendo todas las entradas de cada bloque de Jordan por su elemento diagonal.
Prueba de singularidad y existencia.
La unicidad se sigue del hecho son polinomios en x : si es otra descomposición tal que y conmutar, entonces , y ambos conmutar con x , por lo tanto con. Ahora, la suma de los endomorfismos semisimple (resp. Nilpotente) de conmutación es nuevamente semisimple (resp. Nilpotente). Dado que el único operador que es a la vez semisimple y nilpotente es el operador cero, se sigue que y .
Mostramos la existencia. Deje V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo perfecto k y un endomorfismo.
Primero suponga que el campo base k es algebraicamente cerrado. Entonces el espacio vectorial V tiene la descomposición de suma directa donde cada es el núcleo de , El generalizado espacio propio y x se estabiliza, significado . Ahora, define para que, en cada , es la multiplicación escalar por . Tenga en cuenta que, en términos de una base que respeta la descomposición de suma directa,es una matriz diagonal; por tanto, es un endomorfismo semisimple. Desde es entonces cuyo -th potencia es cero, también tenemos que es nilpotente, estableciendo la existencia de la descomposición.
(Elegir cuidadosamente una base para cada , entonces se puede poner x en la forma normal de Jordan yson las partes diagonal y fuera de la diagonal de la forma normal. Pero esto no es necesario aquí).
El hecho de que son polinomios en x se sigue del teorema del resto chino . De hecho, dejaser el polinomio característico de x . Entonces es el producto de los polinomios característicos de; es decir, También, (porque, en general, una matriz nilpotente muere cuando se eleva al tamaño de la matriz). Ahora, el teorema del resto chino aplicado al anillo polinomial da un polinomio satisfaciendo las condiciones
- (para todo i).
(Hay una redundancia en las condiciones si alguna es cero pero eso no es un problema; simplemente quítelo de las condiciones).
La condición , cuando se deletrea, significa que para algún polinomio . Desde es el mapa cero en , y de acuerdo en cada uno ; es decir,. Tambien entonces con . La condición asegura que y no tienen términos constantes. Esto completa la prueba del caso de campo algebraicamente cerrado.
Si k es un campo perfecto arbitrario, seaser el grupo de Galois absoluto de k . Por la primera parte, podemos elegir polinomios encima tal que es la descomposición en la parte semisimple y nilpotente. Para cada en ,
Ahora, es un polinomio en ; Asi es. Por lo tanto, y viajar diariamente. Además, la aplicación deevidentemente conserva semisimplicidad y nula potencia. Así, por la singularidad de la descomposición (más), y . Por eso, están -invariante; es decir, son endomorfismos (representados por matrices) sobre k . Finalmente, desde contiene una -base que abarca el espacio que contiene , por el mismo argumento, también vemos que tienen coeficientes en k . Esto completa la prueba.
Prueba corta usando álgebra abstracta
( Jacobson 1979 ) demuestra la existencia de una descomposición como consecuencia del teorema principal de Wedderburn . (Este enfoque no solo es breve, sino que también aclara el papel de la suposición de que el campo base es perfecto).
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo perfecto k , un endomorfismo y la subálgebra generada por x . Tenga en cuenta que A es un anillo artiniano conmutativo . El teorema principal de Wedderburn establece: para un álgebra A de dimensión finita con el radical J de Jacobson , si es separable, entonces la sobreyección natural divisiones es decir,contiene una subálgebra semisimple tal que es un isomorfismo. [4] En la configuración aquí,es separable desde el campo base es perfecto (lo que el teorema es aplicable) y J también es la nilradical de A . Luego está la descomposición del espacio vectorial. En particular, el endomorfismo x se puede escribir como dónde es en y en . Ahora, la imagen de x genera; por lo tantoes semisimple y es un polinomio de x . También, es nilpotente ya que es nilpotente y es un polinomio de x ya que es.
Criterio de nilpotencia
La descomposición de Jordan se puede utilizar para caracterizar la nilpotencia de un endomorfismo. Sea k un campo algebraicamente cerrado de característica cero,el anillo de endomorfismo de k sobre números racionales y V un espacio vectorial de dimensión finita sobre k . Dado un endomorfismo, dejar sea la descomposición de Jordan. Luegoes diagonalizable; es decir, donde cada es el espacio propio para el valor propio con multiplicidad . Entonces para cualquier dejar ser el endomorfismo tal que es la multiplicación por . Chevalley llamala réplica de dada por . (Por ejemplo, si, entonces el conjugado complejo de un endomorfismo es un ejemplo de una réplica.) Ahora,
Criterio de nulidad - [5] es nilpotente (es decir, ) si y solo si para cada . También si, entonces es suficiente que la condición se mantenga para conjugación compleja.
Prueba: Primero, desde es nilpotente,
- .
Si es la conjugación compleja, esto implica por cada i . De lo contrario, toma ser una -funcional lineal seguido por . Aplicando eso a la ecuación anterior, se obtiene:
y desde son todos números reales, por cada i . Variar los funcionales lineales implica entoncespor cada i .
Una aplicación típica del criterio anterior es la prueba del criterio de Cartan para la resolubilidad de un álgebra de Lie. Dice: sies una subálgebra de Lie sobre un campo k de característica cero tal que para cada , luego es solucionable.
Demostración: [6] Sin pérdida de generalidad, suponga que k es algebraicamente cerrado. Por el teorema de Lie y el teorema de Engel , es suficiente para mostrar para cada uno, es un endomorfismo nilpotente de V . Escribir. Entonces necesitamos mostrar:
es cero. Dejar. Tenga en cuenta que tenemos: y desde es la parte semisimple de la descomposición de Jordan de , resulta que es un polinomio sin término constante en ; por eso, y lo mismo es cierto con en lugar de . Es decir,, lo que implica el reclamo dado el supuesto.
Contraejemplo a la existencia sobre un campo imperfecto
Si el campo terrestre no es perfecto , es posible que no exista una descomposición de Jordan-Chevalley. Ejemplo: Sea p un número primo, sea ser imperfecto de característica , y elige en eso no es un th poder. Dejar, dejar y deja ser el -operador lineal dado por multiplicación por en . Esto tiene como invariante-subespacios lineales precisamente los ideales de vistos como un anillo, que corresponden a los ideales de conteniendo . Desde es irreductible en , los ideales de V son, y . Suponer para desplazarse -operadores lineales y que son respectivamente semisimple (un poco más , que es más débil que la semisimplicidad sobre un cierre algebraico de ) y nilpotente. Desde y conmutar, cada uno de ellos se desplaza con y por eso cada uno actúa -linealmente en . Por lo tanto y se dan cada uno por multiplicación por miembros respectivos de y , con . Desde es nilpotente, es nilpotente en , por lo tanto en , por es un campo. Por eso,, por lo tanto para algún polinomio . Además, vemos que. Desde es característico , tenemos . Además, desde en , tenemos , por lo tanto en . Desde, tenemos . Combinando estos resultados obtenemos. Esto muestra que genera como un -álgebra y por lo tanto el -estable -subespacios lineales de son ideales de , es decir, son , y . Vemos eso es un -subespacio invariante de que no tiene complemento -subespacio invariante, contrario a la suposición de que es semisimple. Por lo tanto, no hay descomposición de como una suma de desplazamientos -Operadores lineales que son respectivamente semisimple y nilpotent. Tenga en cuenta que el polinomio mínimo de es inseparable sobre y es un cuadrado en . Se puede demostrar que si el polinomio mínimo de operador lineal es separable entonces tiene descomposición de Jordan-Chevalley y que si este polinomio es producto de distintos polinomios irreducibles en , luego es semisimplemente terminado .
Descomposiciones análogas
La versión multiplicativa de la descomposición de Jordan-Chevalley se generaliza a una descomposición en un grupo algebraico lineal, y la versión aditiva de la descomposición se generaliza a una descomposición en un álgebra de Lie.
Álgebras de mentira
Dejar denotar el álgebra de Lie de los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un campo perfecto. Si es la descomposición de Jordan, entonces es la descomposición de Jordan de en el espacio vectorial . De hecho, primero, y viajar desde . En segundo lugar, en general, para cada endomorfismo, tenemos:
- Si , luego , desde es la diferencia de las multiplicaciones izquierda y derecha por y .
- Si es semisimple, entonces es semisimple. [7]
Por tanto, por unicidad, y .
Si es una representación de dimensión finita de un álgebra de Lie compleja semisimple de dimensión finita, entonces conserva la descomposición de Jordan en el sentido: si , luego y . [8]
Álgebras de Lie semisimples reales
En la formulación de Chevalley y Mostow , la descomposición aditiva establece que un elemento X en un álgebra de Lie semisimple real g con descomposición de Iwasawa g = k ⊕ a ⊕ n se puede escribir como la suma de tres elementos de conmutación del álgebra de Lie X = S + D + N , con S , D y N conjugado a elementos en k , a y n respectivamente. En general, los términos en la descomposición de Iwasawa no conmutan.
Grupos algebraicos lineales
Dejar ser un grupo algebraico lineal sobre un campo perfecto. Entonces, esencialmente por definición, hay una incrustación cerrada. Ahora, a cada elemento, por la descomposición de Jordan multiplicativa, hay un par de un elemento semisimple y un elemento unipotente a priori en tal que . Pero, resulta que [9] los elementos se puede demostrar que está en (es decir, satisfacen las ecuaciones definitorias de G ) y que son independientes de la incrustación en; es decir, la descomposición es intrínseca.
Cuando G es abeliano,es entonces el producto directo del subgrupo cerrado de los elementos semisimple en G y el de los elementos unipotentes. [10]
Grupos de Real semisimple Lie
La descomposición multiplicativa establece que si g es un elemento del grupo de Lie semisimple conectado correspondiente G con la correspondiente descomposición de Iwasawa G = KAN , entonces g puede escribirse como el producto de tres elementos conmutados g = sdu con s , d y u conjugado a elementos de K , A y N respectivamente. En general, los términos de la descomposición de Iwasawa g = kan no conmutan.
Referencias
- ^ De hecho, la prueba pasa si el cocientees un álgebra separable; ver #Demostración corta usando álgebra abstracta .
- ^ Humphreys 1972 , Prop. 4.2, p. 17 para el caso de campo algebraicamente cerrado.
- ^ Waterhouse , cap. 9, ejercicio 1.
- ^ Teoría del anillo . 18 de abril de 1972. ISBN 9780080873572.
- ↑ Serre , LA 5.17. Lema 6.7. El endomorfismo
- ↑ Serre , LA 5.19. Teorema 7.1.
- ^ Esto no es fácil de ver, pero se muestra en la demostración de ( Jacobson , Cap. III, § 7, Teorema 11.) . Nota editorial: necesitamos agregar una discusión sobre este asunto al " operador semisimple ".
- ^ Fulton y Harris , Teorema 9.20.
- ^ Waterhouse , teorema 9.2.
- ^ Waterhouse , teorema 9.3.
- Chevalley, Claude (1951), Théorie des groupes de Lie. Tomo II. Groupes algébriques , Hermann, OCLC 277477632
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- Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, Grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7
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- Jacobson, Nathan (1979) [1962], álgebras de Lie , Dover, ISBN 0-486-63832-4
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