Triakis icosaedro | |
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Tipo | Sólido catalán |
Diagrama de Coxeter | |
Notación de Conway | kI |
Tipo de cara | V3.10.10 triángulo isósceles |
Caras | 60 |
Bordes | 90 |
Vértices | 32 |
Vértices por tipo | 20 {3} +12 {10} |
Grupo de simetría | Yo h , H 3 , [5,3], (* 532) |
Grupo de rotacion | Yo, [5,3] + , (532) |
Ángulo diedro | Arco de 160 ° 36′45 ″ (-24 + 15 √ 5/61) |
Propiedades | convexo, cara transitiva |
Dodecaedro truncado ( poliedro dual ) | Neto |
En geometría , el triakis icosaedro (o kisicosaedro [1] ) es un sólido dual de Arquímedes o un sólido catalán . Su dual es el dodecaedro truncado .
Coordenadas cartesianas
Dejar sea la proporción áurea . Los 12 puntos dados pory las permutaciones cíclicas de estas coordenadas son los vértices de un icosaedro regular . Su doble dodecaedro regular , cuyos bordes se cruzan con los del icosaedro en ángulo recto, tiene como vértices los puntos junto con los puntos y permutaciones cíclicas de estas coordenadas. Multiplicando todas las coordenadas de este dodecaedro por un factor deda un dodecaedro ligeramente más pequeño. Los 20 vértices de este dodecaedro, junto con los vértices del icosaedro, son los vértices de un icosaedro triakis centrado en el origen. La longitud de sus bordes largos es igual a. Sus caras son triángulos isósceles con un ángulo obtuso de y dos agudos de . La relación de longitud entre los bordes largo y corto de estos triángulos es igual a.
Proyecciones ortogonales
El icosaedro triakis tiene tres posiciones de simetría, dos en los vértices y una en la mitad: el icosaedro Triakis tiene cinco proyecciones ortogonales especiales , centradas en un vértice, en dos tipos de aristas y dos tipos de caras: hexagonal y pentagonal. Los dos últimos corresponden a los planos Coxeter A 2 y H 2 .
Simetría proyectiva | [2] | [6] | [10] |
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Imagen | |||
Imagen dual |
Kleetope
Puede verse como un icosaedro con pirámides triangulares aumentadas en cada cara; es decir, es el Kleetope del icosaedro. Esta interpretación se expresa en el nombre, triakis .
Si el icosaedro se aumenta con un tetraédrico sin eliminar el icosaedro central, se obtiene la red de una pirámide icosaédrica .
Otros triakis icosahedra
Esta interpretación también se puede aplicar a otros poliedros no convexos similares con pirámides de diferentes alturas:
- Primera estelación del icosaedro , o icosaedro triámbico pequeño , o a veces llamado icosaedro Triakis (entre otros)
- Gran dodecaedro estrellado (con pirámides muy altas)
- Gran dodecaedro (con pirámides invertidas)
Stellations
El triakis icosaedro tiene numerosas estelaciones , incluida esta .
Poliedros relacionados
Familia de poliedros icosaédricos uniformes | |||||||
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Simetría : [5,3] , (* 532) | [5,3] + , (532) | ||||||
{5,3} | t {5,3} | r {5,3} | t {3,5} | {3,5} | rr {5,3} | tr {5,3} | sr {5,3} |
Poliedros duales a uniformes | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
El triakis icosaedro es parte de una secuencia de poliedros y teselaciones que se extienden hacia el plano hiperbólico. Estas figuras transitivas de caras tienen (* n32) simetría de reflexión .
* n 32 mutación de simetría de teselaciones truncadas: t { n , 3} | |||||||||||
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Simetría * n 32 [n, 3] | Esférico | Euclides. | Hyperb compacto. | Paraco. | Hiperbólico no compacto | ||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | |
Figuras truncadas | |||||||||||
Símbolo | t {2,3} | t {3,3} | t {4,3} | t {5,3} | t {6,3} | t {7,3} | t {8,3} | t {∞, 3} | t {12i, 3} | t {9i, 3} | t {6i, 3} |
Figuras de triakis | |||||||||||
Config. | V3.4.4 | V3.6.6 | V3.8.8 | V3.10.10 | V3.12.12 | V3.14.14 | V3.16.16 | V3.∞.∞ |
Ver también
- El teorema de Kotzig , para el cual el triakis icosaedro da un caso extremo
- Alicatado triangular Triakis para otras formas poliédricas "triakis".
- Gran triakis icosaedro
Referencias
- ^ Conway, Simetrías de las cosas, p.284
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9)
- Wenninger, Magnus (1974). Modelos de poliedro . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09859-9.
- Wenninger, Magnus (1983). Modelos duales . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-54325-5. Señor 0730208 . (Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales, página 19, Triakisicosaedro)
- Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Capítulo 21, Denominación de los poliedros y teselaciones de Arquímedes y Catalán, página 284, Triakis icosaedro)
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , Triakis icosahedron ( sólido catalán ) en MathWorld .
- Triakis Icosaedro - Modelo de poliedro interactivo