Triacontaedro de Disdyakis | |
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( modelo giratorio y 3D ) | |
Tipo | catalán |
Notación de Conway | mD o dbD |
Diagrama de Coxeter | |
Polígono de caras | triángulo escaleno |
Caras | 120 |
Bordes | 180 |
Vértices | 62 = 12 + 20 + 30 |
Configuración de la cara | V4.6.10 |
Grupo de simetría | Yo h , H 3 , [5,3], (* 532) |
Grupo de rotacion | Yo, [5,3] + , (532) |
Ángulo diedro | 164 ° 53 '17 arccos-179-24 √ 5/241) |
Poliedro doble | icosidodecaedro truncado |
Propiedades | convexo, cara transitiva |
neto |
En geometría , un triacontaedro disdyakis , icosaedro hexakis , dodecaedro decakis o triacontaedro kisrhombic [1] es un sólido catalán con 120 caras y el dual al icosidodecaedro truncado de Arquímedes . Como tal, tiene caras uniformes pero con polígonos de caras irregulares. Se parece levemente a un triacontaedro rómbico inflado, si se reemplaza cada cara del triacontaedro rómbico con un solo vértice y cuatro triángulos de manera regular, uno termina con un triacontaedro disdyakis. Es decir, el triacontaedro disdyakis es el Kleetopedel triacontaedro rómbico. También tiene la mayor cantidad de caras entre los sólidos de Arquímedes y Cataluña, con el dodecaedro chato , con 92 caras, en segundo lugar.
Si se excluyen las bipirámides , las bipirámides giroelongadas y el trapezoedro , el triacontaedro disdyakis tiene la mayor cantidad de caras de cualquier otro poliedro estrictamente convexo donde todas las caras del poliedro tienen la misma forma .
Proyectados en una esfera, los bordes de un triacontaedro disdyakis definen 15 grandes círculos . Buckminster Fuller usó estos 15 grandes círculos, junto con 10 y otros 6 en otros dos poliedros para definir sus 31 grandes círculos del icosaedro esférico .
Caras
Las caras de un triacontaedro disdyakis son triángulos escalenos. Sies la proporción áurea, entonces sus ángulos son iguales a, y .
Simetría
Los bordes del poliedro proyectan en una forma de la esfera 15 grandes círculos , y representan los 15 planos de simetría de reflexión I h simetría icosaédrica . La combinación de pares de triángulos claros y oscuros define los dominios fundamentales de la simetría icosaédrica no reflectante ( I ). Los bordes de un compuesto de cinco octaedros también representan los 10 planos de espejo de simetría icosaédrica.
Disdyakis triacontaedro | Hexcontaedro deltoidal | Triacontaedro rómbico | Dodecaedro | Icosaedro | Piritoedro |
Poliedro esférico | |||
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(ver modelo giratorio ) | Proyecciones ortográficas de 2, 3 y 5 ejes |
Proyecciones estereográficas | |||
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Doble | Triple | 5 veces | |
Coloreado como compuesto de cinco octaedros , con 3 grandes círculos para cada octaedro. El área en los círculos negros de abajo corresponde al hemisferio frontal del poliedro esférico. |
Proyecciones ortogonales
El triacontaedro disdyakis tiene tres tipos de vértices que se pueden centrar en proyección ortogonal:
Simetría proyectiva | [2] | [6] | [10] |
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Imagen | |||
Imagen dual |
Usos
El triacontaedro disdyakis , como un dodecaedro regular con pentágonos divididos en 10 triángulos cada uno, se considera el "santo grial" para rompecabezas de combinación como el cubo de Rubik . Este problema no resuelto, a menudo llamado el problema del "gran corte", actualmente no tiene un mecanismo satisfactorio. Es el problema sin resolver más importante de los rompecabezas mecánicos. [2]
Esta forma se utilizó para crear dados d120 mediante impresión 3D. [3] Desde 2016, Dice Lab ha utilizado el triacontaedro disdyakis para comercializar en masa un troquel de 120 lados moldeado por inyección . [4] Se afirma que el d120 es el mayor número de caras posibles en un dado justo, aparte de familias infinitas (como prismas regulares rectos , bipirámides y trapezoedros ) que serían imprácticos en realidad debido a la tendencia a rodar por mucho tiempo. [5]
Un tricontaedro disdyakis proyectado sobre una esfera se utiliza como logotipo de Brilliant , un sitio web que contiene una serie de lecciones sobre temas relacionados con STEM . [6]
Poliedros y teselados relacionados
Los poliedros similares al triacontaedro disdyakis son duales del icosaedro Bowtie y el dodecaedro, que contienen pares adicionales de caras triangulares. [7] |
Familia de poliedros icosaédricos uniformes | |||||||
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Simetría : [5,3] , (* 532) | [5,3] + , (532) | ||||||
{5,3} | t {5,3} | r {5,3} | t {3,5} | {3,5} | rr {5,3} | tr {5,3} | sr {5,3} |
Poliedros duales a uniformes | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Está relacionado topológicamente con una secuencia de poliedros definida por la configuración de caras V4.6.2n . Este grupo es especial por tener todos los números pares de aristas por vértice y formar planos bisectantes a través de los poliedros y líneas infinitas en el plano, y continuar hacia el plano hiperbólico para cualquier n ≥ 7.
Con un número par de caras en cada vértice, estos poliedros y teselados se pueden mostrar alternando dos colores para que todas las caras adyacentes tengan colores diferentes.
Cada cara en estos dominios también corresponde al dominio fundamental de un grupo de simetría con orden 2,3, n espejos en cada vértice de la cara del triángulo. Esto es * n 32 en notación orbifold y [ n , 3] en notación Coxeter .
* n 32 mutaciones de simetría de teselaciones omnitruncadas: 4.6.2n | ||||||||||||
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Sym. * n 32 [ n , 3] | Esférico | Euclides. | Hyperb compacto. | Paraco. | Hiperbólico no compacto | |||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | [3i, 3] | |
Cifras | ||||||||||||
Config. | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
Duales | ||||||||||||
Config. | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
Referencias
- ^ Conway, Simetrías de las cosas, p.284
- ^ Chuleta grande
- ^ Sitio web de Kevin Cook's Dice Collector: d120 impreso en 3D del artista de Shapeways, SirisC
- ^ El laboratorio de dados
- ^ http://nerdist.com/this-d120-is-the-largest-mathematically-fair-die-possible/
- ^ "Brillante | Aprende a pensar" . shiny.org . Consultado el 1 de febrero de 2020 .
- ^ Symmetrohedra: poliedros de la colocación simétrica de polígonos regulares Craig S. Kaplan
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9)
- Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales, página 25, Disdyakistriacontahedron)
- Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Capítulo 21, Denominación de los poliedros y teselaciones de Arquímedes y Catalán, página 285, triacontaedro kisRómbico)
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , Triacontaedro Disdyakis ( sólido catalán ) en MathWorld .
- Triacontaedro Disdyakis (Hexakis Icosahedron) - Modelo de poliedro interactivo