En matemáticas , un módulo de Galois es un módulo G , siendo G el grupo de Galois de alguna extensión de campos . El término representación de Galois se usa con frecuencia cuando el módulo G es un espacio vectorial sobre un campo o un módulo libre sobre un anillo en la teoría de la representación , pero también se puede usar como sinónimo de módulo G. El estudio de los módulos de Galois para extensiones de campos locales o globales y su cohomología de grupoes una herramienta importante en la teoría de números .
Sea K un campo valorado (con la valoración denotada v ) y sea L / K una extensión de Galois finita con el grupo de Galois G . Para una extensión w de v a L , sea I w su grupo de inercia . Se dice que un módulo de Galois ρ : G → Aut( V ) no está ramificado si ρ( I w ) = {1}.
En la teoría algebraica clásica de números , sea L una extensión de Galois de un campo K , y sea G el grupo de Galois correspondiente. Entonces el anillo O L de enteros algebraicos de L puede considerarse como un módulo O K [ G ], y uno puede preguntarse cuál es su estructura. Esta es una pregunta aritmética, en la que por el teorema de la base normal se sabe que L es un módulo K [ G ] libre de rango 1. Si lo mismo es cierto para los números enteros, eso es equivalente a la existencia de una base integral normal, es decir, de α en O L tal que sus elementos conjugados bajo G dan una base libre para O L sobre O K . Esta es una pregunta interesante incluso (quizás especialmente) cuando K es el cuerpo de números racionales Q.
Por ejemplo, si L = Q ( √ −3 ), ¿hay una base integral normal? La respuesta es sí, como se ve al identificarlo con Q ( ζ ) donde
De hecho, todos los subcampos de los campos ciclotómicos para raíces p -ésimas de la unidad para p un número primo tienen bases integrales normales (sobre Z ), como se puede deducir de la teoría de los períodos de Gauss (el teorema de Hilbert-Speiser ). Por otro lado, el campo gaussiano no lo hace. Este es un ejemplo de una condición necesaria encontrada por Emmy Noether ( ¿quizás conocida antes? ). Lo que importa aquí es la ramificación domesticada . En términos del discriminante D de L , y tomando aún K = Q , ningún primo p debe dividir a D elevado a p . Entonces el teorema de Noether establece que la ramificación domesticada es necesaria y suficiente para que O L sea un módulo proyectivo sobre Z [ G ]. Sin duda, por lo tanto, es necesario que sea un módulo gratuito . Deja la cuestión de la brecha entre libre y proyectivo, para la cual ahora se ha construido una gran teoría.
Un resultado clásico, basado en un resultado de David Hilbert , es que un cuerpo numérico abeliano mansamente ramificado tiene una base integral normal. Esto se puede ver utilizando el teorema de Kronecker-Weber para incrustar el campo abeliano en un campo ciclotómico. [1]