En matemáticas , un espacio LF , también escrito ( LF ) -espacio , es un espacio vectorial topológico (TVS) X que es un límite inductivo localmente convexo de un sistema inductivo contablede los espacios Fréchet . [1] Esto significa que X es un límite directo de un sistema directo.en la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos y cada es un espacio de Fréchet.
Si cada uno de los mapas de vinculación es una incrustación de TVSS entonces el LF -espacio se llama una estricta LF -espacio . Esto significa que la topología subespacial inducida en X n por X n +1 es idéntica a la topología original en X n . [1] [2] Algunos autores (por ejemplo, Schaefer) definen el término " espacio LF " como " espacio LF estricto ", por lo que al leer literatura matemática, se recomienda comprobar siempre cómo se define el espacio LF .
Definición
Topología inductiva / final / límite directo
En todo momento, se supone que
- es la categoría de espacios topológicos o alguna subcategoría de la categoría de espacios vectoriales topológicos (TVS);
- Si todos los objetos de la categoría tienen una estructura algebraica, entonces se supone que todos los morfismos son homomorfismos para esa estructura algebraica.
- I es un conjunto dirigido no vacío ;
- X • = ( X i ) i ∈ I es una familia de objetos endonde ( X i , τ X i ) es un espacio topológico para cada índice i ;
- Para evitar la confusión potencial, τ X i debería no ser llamados X i 's 'topología inicial', ya que el término ' topología inicial ' ya tiene una definición bien conocida. La topología τ X i es llamar al original de topología en X i o X i 's topología dada .
- X es un conjunto (y si los objetos entambién tienen estructuras algebraicas, entonces se asume automáticamente que X tiene cualquier estructura algebraica que sea necesaria);
- f • = ( f i ) i ∈ I es una familia de mapas donde para cada índice i , el mapa tiene prototipo f i : ( X i , τ X i ) → X . Si todos los objetos de la categoría tienen una estructura algebraica, entonces también se supone que estos mapas son homomorfismos para esa estructura algebraica.
Si existe, entonces la topología final en X en, también llamada topología colimit o inductiva en, y denotado por τ f • o τ f , es la topología más fina en X tal que
- ( X , τ f ) es un objeto en, y
- para cada índice i , el mapa f i : ( X i , τ X i ) → ( X , τ f ) es un morfismo continuo en.
En la categoría de espacios topológicos, la topología final siempre existe y, además, un subconjunto U ⊆ X está abierto (resp. Cerrado) en ( X , τ f ) si y solo si f i - 1 ( U ) está abierto (resp. cerrado) en ( X i , τ X i ) para cada índice i .
Sin embargo, la topología final puede no existir en la categoría de espacios topológicos de Hausdorff debido al requisito de que ( X , τ X f ) pertenezcan a la categoría original (es decir, pertenezcan a la categoría de espacios topológicos de Hausdorff). [3]
Sistemas directos
Suponga que ( I , ≤) es un conjunto dirigido y que para todos los índices i ≤ j hay morfismos (continuos) en
tal que si i = j entonces f i j es el mapa de identidad en X i y si i ≤ j ≤ k entonces se cumple la siguiente condición de compatibilidad :
donde esto significa que la composición
Si se cumplen las condiciones anteriores, entonces el triple formado por las colecciones de estos objetos, morfismos y el conjunto de indexación
se conoce como un sistema directo en la categoríaque se dirige (o indexados ) por I . Dado que el conjunto de indexación I es un conjunto dirigido , se dice que el sistema directo está dirigido . [4] Los mapas f i j se denominan mapas de enlace , conexión o enlace del sistema.
Si se entiende el conjunto de indexación I, a menudo se omite I de la tupla anterior (es decir, no se escribe); lo mismo es cierto para los mapas de enlace si se entienden. En consecuencia, a menudo se ve escrito " X • es un sistema directo" donde " X • " en realidad representa un triple con los mapas de enlace y el conjunto de indexación definidos en otro lugar (por ejemplo, mapas de enlace canónicos, como inclusiones naturales) o bien los mapas de enlace son simplemente se supone que existe, pero no hay necesidad de asignarles símbolos (por ejemplo, los mapas de enlace no son necesarios para enunciar un teorema).
Límite directo de un sistema directo
Para la construcción de un límite directo de un sistema inductivo general, consulte el artículo: límite directo .
Límites directos de los sistemas inyectables
Si cada uno de los mapas de vinculación es inyectivo, entonces el sistema se llama inyectivo . [4]
yo : X i → X j
(es decir, definido por x ↦ x ) de modo que la topología subespacial en X i inducida por X j es más débil (es decir, más tosca) que la topología original (es decir, dada) en X i .
En este caso, tome también
Si las X i tienen una estructura algebraica, digamos suma, por ejemplo, entonces para cualquier x , y ∈ X , elegimos cualquier índice i tal que x , y ∈ X i y luego definimos su suma usando el operador de suma de X i . Es decir,
donde + i es el operador de suma de X i . Esta suma es independiente del índice i elegido.
En la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos, la topología en el límite directo X de un límite inductivo dirigido por inyección de espacios localmente convexos puede describirse especificando que un subconjunto absolutamente convexo U de X es una vecindad de 0 si y solo si U ∩ X i es una vecindad absolutamente convexa de 0 en X i para cada índice i . [4]
Límites directos en Top
Los límites directos de los sistemas directos dirigidos siempre existen en las categorías de conjuntos, espacios topológicos, grupos y TVS localmente convexos . En la categoría de los espacios topológicos, si cada mapa unión f i j es / es una inyectiva (resp. Sobreyectiva , biyectiva , homeomorfismo , inmersión topológica , mapa cociente ) entonces también lo es cada f i : X i → X . [3]
Problema con los límites directos
Los límites directos en las categorías de espacios topológicos, espacios vectoriales topológicos (TVS) y TVS localmente convexos de Hausdorff se "comportan mal". [4] Por ejemplo, el límite directo de una secuencia (es decir, indexada por los números naturales) de espacios de Fréchet nucleares localmente convexos puede no ser Hausdorff (en cuyo caso el límite directo no existe en la categoría de TVS de Hausdorff). Por esta razón, en el análisis funcional sólo se estudian generalmente ciertos sistemas directos "que se comportan bien" . Dichos sistemas incluyen espacios LF . [4] Sin embargo, los límites inductivos localmente convexos que no son de Hausdorff ocurren en cuestiones naturales de análisis. [4]
Límite inductivo estricto
Si cada uno de los mapas de vinculación es una incrustación de TVS en subespacios vectoriales adecuados y si el sistema está dirigido por ℕ con su ordenamiento natural, entonces el límite resultante se denomina límite directo estricto ( contable ) . En tal situación podemos asumir sin pérdida de generalidad que cada X i es un subespacio vectorial de X i +1 y que la topología del subespacio inducida en X i por X i +1 es idéntica a la topología original en X i . [1]
En la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos, la topología en un límite inductivo estricto de los espacios de Fréchet X se puede describir especificando que un subconjunto absolutamente convexo U es una vecindad de 0 si y solo si U ∩ X n es una vecindad absolutamente convexa de 0 en X n para cada n .
Propiedades
Una carrera inductivo en la categoría de TVSS localmente convexa de una familia de bornological (resp. De cañón , cuasi-cañón ) espacios tiene esta misma propiedad. [5]
Espacios LF
Cada espacio LF es un pequeño subconjunto de sí mismo. [6] El límite inductivo estricto de una secuencia de espacios localmente convexos completos (como los espacios de Fréchet) es necesariamente completo. En particular, cada espacio LF está completo. [7] Cada espacio LF es barril y bornológico , lo que junto con la completitud implica que cada espacio LF es ultrabornológico . Un espacio LF que es el límite inductivo de una secuencia numerable de espacios separables es separable. [8] espacios LF se distinguen y sus fuertes duales son bornological y cañón (resultado debido a Alexander Grothendieck ).
Si X es el límite inductivo estricto de una secuencia creciente del espacio de Fréchet X n, entonces un subconjunto B de X está acotado en X si y solo si existe algún n tal que B es un subconjunto acotado de X n . [7]
Un mapa lineal desde un espacio LF a otro TVS es continuo si y solo si es secuencialmente continuo . [9] Un mapa lineal de un LF-espacio X en un espacio de Fréchet Y es continua si y sólo si su gráfica está cerrado en X × Y . [10] Cada operador lineal acotado desde un espacio LF a otro TVS es continuo. [11]
Si X es un espacio LF definido por una secuencia luego el fuerte espacio dual de X es un espacio de Fréchet si y sólo si todos los X i son normativos . [12] Por lo tanto la fuerte espacio dual de un LF-espacio es un espacio de Fréchet si y sólo si es un LB-espacio .
Ejemplos de
Espacio de funciones suaves con soporte compacto
Un ejemplo típico de un espacio LF es,, el espacio de todas las funciones infinitamente diferenciables en con soporte compacto. La estructura del espacio LF se obtiene considerando una secuencia de conjuntos compactos con y por todo yo, es un subconjunto del interior de . Tal secuencia podría ser las bolas de radio i centradas en el origen. El espacio de funciones infinitamente diferenciables en con soporte compacto contenido en tiene una estructura de espacio natural de Fréchet yhereda su estructura de espacio LF como se describe anteriormente. La topología del espacio LF no depende de la secuencia particular de conjuntos compactos.
Con esta estructura de espacio LF ,se conoce como el espacio de funciones de prueba, de fundamental importancia en la teoría de distribuciones .
Límite directo de espacios de dimensión finita
Suponga que para cada entero positivo n , X n : = ℝ n y para m < n , considere X m como un subespacio vectorial de X n a través de la incrustación canónica X m → X n definida por x : = ( x 1 , .. ., x m ) ↦ ( x 1 , ..., x m , 0, ..., 0) . Denotan el LF-espacio resultante por X . El espacio dual continuode X es igual al espacio dual algebraico de X y la topología débil enes igual a la topología fuerte en (es decir ). [13] Además, el mapa canónico de X en el espacio dual continuo dees sobreyectiva. [13]
Ver también
- DF-espacio
- Límite directo
- Topología final
- Espacio F
- LB-espacio
Citas
- ↑ a b c Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 55-61.
- ^ Helgason, Sigurdur (2000). Grupos y análisis geométrico: geometría integral, operadores diferenciales invariantes y funciones esféricas (Reimpreso con ed. Corr.). Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 398. ISBN 0-8218-2673-5.
- ↑ a b Dugundji , 1966 , págs. 420-435.
- ↑ a b c d e f Bierstedt , 1988 , págs. 41-56.
- ^ Grothendieck 1973 , págs. 130-142.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 435.
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 59-61.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 436.
- ^ Trèves , 2006 , p. 141.
- ^ Trèves , 2006 , p. 173.
- ^ Trèves , 2006 , p. 142.
- ^ Trèves , 2006 , p. 201.
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , p. 201.
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