La función de flujo se define para flujos incompresibles (sin divergencia ) en dos dimensiones, así como en tres dimensiones con axisimetría . Los componentes de la velocidad del flujo se pueden expresar como las derivadas de la función de flujo escalar . La función de flujo se puede utilizar para trazar líneas de flujo, que representan las trayectorias de las partículas en un flujo constante. La función de flujo bidimensional de Lagrange fue introducida por Joseph Louis Lagrange en 1781. [1] La función de flujo de Stokeses para flujo tridimensional simétrico y lleva el nombre de George Gabriel Stokes . [2]
Considerando el caso particular de la dinámica de fluidos , la diferencia entre los valores de la función de la corriente en dos puntos cualesquiera da el caudal volumétrico (o flujo volumétrico ) a través de una línea que conecta los dos puntos.
Dado que las líneas de corriente son tangentes al vector de velocidad de flujo del flujo, el valor de la función de corriente debe ser constante a lo largo de una línea de corriente. La utilidad de las mentiras función de corriente en el hecho de que los componentes de la velocidad de flujo en el x - y Y - direcciones en un punto dado se dan por las derivadas parciales de la función de corriente en ese punto. Se puede definir una función de flujo para cualquier flujo de dimensiones mayores o iguales a dos, sin embargo, el caso bidimensional es generalmente el más fácil de visualizar y derivar.
Para el flujo potencial bidimensional , las líneas de corriente son perpendiculares a las líneas equipotenciales . Tomada junto con el potencial de velocidad , la función de flujo puede usarse para derivar un potencial complejo . En otras palabras, la función de flujo representa la parte solenoidal de una descomposición de Helmholtz bidimensional , mientras que el potencial de velocidad representa la parte irrotacional .
Función de flujo bidimensional
Definiciones
Lamb y Batchelor definen la función de flujopara un campo de velocidad de flujo incompresiblecomo sigue. [3] Dado un punto y un punto ,
es la integral de la producto escalar de la velocidad de flujo vectory lo normal al elemento de la curva En otras palabras, la función de flujo es el flujo de volumen a través de la curva. El puntoes simplemente un punto de referencia que define dónde la función de flujo es idénticamente cero. Un cambio en resulta en agregar una constante a la función de flujo a .
Un cambio infinitesimal de la posición da como resultado un cambio de la función de flujo:
- .
Desde el diferencial exacto
los componentes de la velocidad del flujo en relación con la función de la corriente tiene que ser
en cuyo caso satisfacen efectivamente la condición de divergencia cero resultante de la incompresibilidad del flujo, es decir
Definición mediante el uso de un potencial vectorial
El signo de la función de flujo depende de la definición utilizada.
Una forma es definir la función de flujo para un flujo bidimensional tal que la velocidad del flujo se pueda expresar a través del potencial vectorial
Dónde si el vector de velocidad de flujo .
En el sistema de coordenadas cartesianas esto es equivalente a
Dónde y son los componentes de la velocidad de flujo en el cartesiano y coordinar direcciones, respectivamente.
Definición alternativa (signo opuesto)
Otra definición (utilizada más ampliamente en meteorología y oceanografía que la anterior) es
- ,
dónde es un vector unitario en el dirección y los subíndices indican derivadas parciales.
Tenga en cuenta que esta definición tiene el signo opuesto al dado anteriormente (), entonces tenemos
en coordenadas cartesianas.
Todas las formulaciones de la función de flujo restringen la velocidad para satisfacer exactamente la ecuación de continuidad bidimensional :
Las dos últimas definiciones de función de flujo están relacionadas a través de la identidad de cálculo vectorial.
Tenga en cuenta que en este flujo bidimensional.
Derivación de la función de flujo bidimensional
Considere dos puntos A y B en un flujo plano bidimensional. Si la distancia entre estos dos puntos es muy pequeña: δn, y una corriente de flujo pasa entre estos puntos con una velocidad promedio, q perpendicular a la línea AB, el caudal volumétrico por unidad de espesor, δΨ viene dado por:
Como δn → 0, reordenando esta expresión, obtenemos:
Ahora considere el flujo plano bidimensional con referencia a un sistema de coordenadas. Suponga que un observador mira a lo largo de un eje arbitrario en la dirección de aumento y ve un flujo que cruza el eje de izquierda a derecha . Se adopta una convención de signos tal que la velocidad del flujo es positiva .
Flujo en coordenadas cartesianas
Al observar el flujo hacia un cuadrado elemental en un sistema de coordenadas cartesianas xy , tenemos:
donde u es la velocidad de flujo paralela ay en la dirección del eje x, y v es la velocidad de flujo paralela ay en la dirección del eje y. Así, como δn → 0 y reordenando, tenemos:
Continuidad: la derivación
Considere el flujo plano bidimensional dentro de un sistema de coordenadas cartesiano. La continuidad establece que si consideramos un flujo incompresible hacia un cuadrado elemental, el flujo hacia ese pequeño elemento debe ser igual al flujo hacia afuera de ese elemento.
El flujo total hacia el elemento viene dado por:
El flujo total de salida del elemento viene dado por:
Así tenemos:
y simplificando a:
Sustituyendo las expresiones de la función de flujo en esta ecuación, tenemos:
Vorticidad
La función de flujo se puede encontrar a partir de la vorticidad utilizando la siguiente ecuación de Poisson :
o
donde el vector de vorticidad - definido como el rizo del vector de velocidad de flujo - porque este flujo bidimensional tiene es decir, solo el -componente puede ser distinto de cero.
Prueba de que un valor constante para la función de flujo corresponde a una línea de corriente
Considere el flujo plano bidimensional dentro de un sistema de coordenadas cartesiano. Considere dos puntos infinitesimalmente cercanos y . Del cálculo tenemos que
Decir toma el mismo valor, digamos , en los dos puntos y , luego es tangente a la curva a y
lo que implica que el vector es normal a la curva . Si podemos mostrar eso en todas partes, usando la fórmula para en términos de , entonces habremos probado el resultado. Esto sigue fácilmente,
Propiedades de la función de flujo
- La función de flujo es constante a lo largo de cualquier línea de corriente.
- Para un flujo continuo (sin fuentes ni sumideros), el caudal volumétrico a través de cualquier camino cerrado es igual a cero.
- Para dos patrones de flujo incompresibles, la suma algebraica de las funciones de flujo es igual a otra función de flujo obtenida si los dos patrones de flujo se superponen.
- La tasa de cambio de la función de la corriente con la distancia es directamente proporcional al componente de velocidad perpendicular a la dirección del cambio.
Referencias
Citas
- ^ Lagrange, J.-L. (1868), "Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides (en: Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1781)", Oevres de Lagrange , tomo IV, págs.
- ^ Stokes, GG (1842), "Sobre el movimiento estable de fluidos incompresibles", Transactions of the Cambridge Philosophical Society , 7 : 439–453, Bibcode : 1848TCaPS ... 7..439S
Reimpreso en: Stokes, GG (1880), Mathematical and Physical Papers, Volumen I , Cambridge University Press, págs. 1-16 - ^ Lamb (1932 , págs. 62-63) y Batchelor (1967 , págs. 75-79)
Fuentes
- Batchelor, GK (1967), Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
- Lamb, H. (1932), Hydrodynamics (6a ed.), Cambridge University Press, reeditado por Dover Publications, ISBN 0-486-60256-7
- Massey, BS; Ward-Smith, J. (1998), Mechanics of Fluids (7a ed.), Reino Unido: Nelson Thornes
- White, FM (2003), Mecánica de fluidos (5.a ed.), Nueva York: McGraw-Hill
- Gamelin, TW (2001), Análisis complejo , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-95093-1
- "Streamfunction" , AMS Glossary of Meteorology , American Meteorological Society , consultado el 30 de enero de 2014
enlaces externos
- Aplicación web interactiva Joukowsky Transform