En teoría Lie y teoría de la representación , la descomposición Levi , conjeturó por Wilhelm Killing [1] y Élie Cartan [2] y demostró por Eugenio Elia Levi ( 1905 ), los estados que cualquier dimensión finita verdadero [ aclaración necesaria ] álgebra de Lie g es la producto semidirecto de un ideal solucionable y una subálgebra semisimple . Uno es su radical , un ideal resoluble máximo, y el otro es una subálgebra semisimple, llamada subálgebra de Levi.. La descomposición de Levi implica que cualquier álgebra de Lie de dimensión finita es un producto semidirecto de un álgebra de Lie resoluble y un álgebra de Lie semisimple.
Campo | Teoría de la representación |
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Conjeturado por | Wilhelm matando a Élie Cartan |
Conjeturado en | 1888 |
Primera prueba por | Eugenio Elia Levi |
Primera prueba en | 1905 |
Cuando se ve como un factor-álgebra de g , este álgebra de Lie semisimple también se llama factor de Levi de g . Hasta cierto punto, la descomposición se puede utilizar para reducir problemas sobre álgebras de Lie de dimensión finita y grupos de Lie para separar problemas sobre álgebras de Lie en estas dos clases especiales, solubles y semisimples.
Además, Malcev (1942) mostró que dos subálgebras de Levi cualesquiera están conjugadas por un automorfismo (interno) de la forma
donde z está en el nilradical ( teorema de Levi-Malcev ).
Un resultado análogo es válido para álgebras asociativas y se denomina teorema principal de Wedderburn .
Extensiones de los resultados
En la teoría de la representación, la descomposición de Levi de subgrupos parabólicos de un grupo reductor es necesaria para construir una gran familia de las denominadas representaciones inducidas parabólicamente . La descomposición de Langlands es un ligero refinamiento de la descomposición de Levi para los subgrupos parabólicos utilizados en este contexto.
Declaraciones análogas son válidas para grupos de Lie simplemente conectados y, como lo muestra George Mostow , para álgebras de Lie algebraicas y grupos algebraicos simplemente conectados sobre un campo de característica cero.
No existe un análogo de la descomposición de Levi para la mayoría de las álgebras de Lie de dimensión infinita; por ejemplo, las álgebras de Lie afines tienen un radical que consiste en su centro, pero no se puede escribir como un producto semidirecto del centro y otra álgebra de Lie. La descomposición de Levi también falla para álgebras de dimensión finita sobre campos de característica positiva.
Ver también
Referencias
- ^ Asesinato, W. (1888). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen" . Mathematische Annalen . 31 (2): 252–290. doi : 10.1007 / BF01211904 .
- ^ Cartan, Élie (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus , Thesis, Nony
Bibliografía
- Jacobson, Nathan (1979). Álgebras de mentiras . Nueva York: Dover. ISBN 0486638324. OCLC 6499793 .
- Levi, Eugenio Elia (1905), "Sulla struttura dei gruppi finiti e continui" , Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino. (en italiano), XL : 551–565, JFM 36.0217.02 , archivado desde el original el 5 de marzo de 2009Reimpreso en: Opere Vol. 1, Edizione Cremonese, Roma (1959), pág. 101.
- Maltsev, Anatoly I. (1942), "Sobre la representación de un álgebra como suma directa del radical y una subálgebra semi-simple", CR (Doklady) Acad. Sci. URSS , nueva serie, 36 : 42–45, MR 0007397 , Zbl 0060.08004.
enlaces externos
- AI Shtern (2001) [1994], "Descomposición de Levi-Mal'tsev" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press