En la teoría de nudos , una rama de la topología , un vínculo de Brunnian es un vínculo no trivial que se convierte en un conjunto de círculos triviales no vinculados si se elimina cualquier componente. En otras palabras, cortar cualquier bucle libera todos los demás bucles (de modo que no se pueden vincular directamente dos bucles ).
El nombre Brunnian es después de Hermann Brunn . El artículo de Brunn de 1892, Über Verkettung, incluía ejemplos de tales enlaces.
Ejemplos de
El eslabón de Brunnian más conocido y más simple posible son los anillos de Borromeo , un eslabón de tres nudos . Sin embargo, para cada número tres o superior, hay un número infinito de enlaces con la propiedad Brunnian que contiene ese número de bucles. Aquí hay algunos enlaces de Brunnian de tres componentes relativamente simples que no son los mismos que los anillos de Borromeo:
Enlace de 12 cruces.
Enlace de 18 cruces.
Enlace de 24 cruces.
El enlace de Brunnian más simple que no sean los anillos de Borromeo de 6 cruces es presumiblemente el enlace L10a140 de 10 cruces . [1]
Un ejemplo de un enlace Brunnian de n componentes viene dado por los enlaces Brunnian de "banda elástica", donde cada componente se enlaza alrededor del siguiente como aba −1 b −1 , con el último alrededor del primero, formando un círculo. [2]
No circularidad
Es imposible que un enlace Brunniano se construya a partir de círculos geométricos. De manera algo más general, si un vínculo tiene la propiedad de que cada componente es un círculo y no hay dos componentes vinculados, entonces es trivial. La prueba, de Michael Freedman y Richard Skora, incrusta el espacio tridimensional que contiene el enlace como el límite de un modelo de bola de Poincaré del espacio hiperbólico de cuatro dimensiones , y considera los cascos convexos hiperbólicos de los círculos. Estos son subespacios bidimensionales del espacio hiperbólico, y sus patrones de intersección reflejan la vinculación por pares de los círculos: si dos círculos están vinculados, entonces sus cascos tienen un punto de intersección, pero suponiendo que los pares de círculos no están vinculados, la los cascos son inconexos. Tomando secciones transversales de la bola de Poincaré por esferas concéntricas tridimensionales, la intersección de cada esfera con los cascos de los círculos es nuevamente un vínculo formado por círculos, y esta familia de secciones transversales proporciona un movimiento continuo de todos los círculos que encogen cada uno de ellos a un punto sin cruzar ninguno de los demás. [3]
Clasificación
Enlaces Brunnian se clasificaron hasta el enlace de homotopía por John Milnor en ( Milnor 1954 ), y los invariantes que introdujo ahora se llaman invariantes Milnor.
Un enlace de Brunnian de componente ( n + 1) se puede considerar como un elemento del grupo de enlace - que en este caso (pero no en general) es el grupo fundamental del complemento de enlace - del componente de n desvincular, ya que por Brunnianness quitando el último enlace desvincula a los demás. El grupo de enlaces de la desvinculación de n componentes es el grupo libre en n generadores, F n , ya que el grupo de enlaces de un solo enlace es el grupo de nodos del desvinculado , que son los números enteros, y el grupo de enlaces de una unión no vinculada es el producto gratuito de los grupos de enlaces de los componentes.
No todos los elementos del grupo de enlaces proporcionan un enlace Brunnian, ya que la eliminación de cualquier otro componente también debe desvincular los n elementos restantes . Milnor demostró que los elementos del grupo que corresponden a enlaces Brunnianos están relacionados con el álgebra de Lie graduada de la serie central inferior del grupo libre, que puede interpretarse como "relaciones" en el álgebra de Lie libre .
Productos Massey
Los enlaces Brunnian pueden entenderse en topología algebraica a través de los productos de Massey : un producto de Massey es un producto de n- pliegues que solo se define si todos los productos de ( n - 1) pliegues de sus términos desaparecen. Esto corresponde a la propiedad de Brunnian de que todos los subvínculos de los componentes ( n - 1) están desvinculados, pero el vínculo general de los n componentes está vinculado de manera no trivial.
Trenzas de Brunnian
Una trenza de Brunnian es una trenza que se vuelve trivial al quitar cualquiera de sus hilos. Las trenzas de Brunnian forman un subgrupo del grupo de trenzas . Las trenzas Brunnianas sobre la 2- esfera que no son Brunnianas sobre el 2- disco dan lugar a elementos no triviales en los grupos de homotopía de la 2-esfera. Por ejemplo, la trenza "estándar" correspondiente a los anillos de Borromeo da lugar a la fibración de Hopf S 3 → S 2 , y las iteraciones de esta (como en el trenzado cotidiano) es igualmente de Brunnian.
Ejemplos del mundo real
Muchos puzzles de desenmarañamiento y algunos puzzles mecánicos son variantes de Brunnian Links, con el objetivo de liberar una sola pieza solo parcialmente ligada al resto, desmantelando así la estructura.
Las cadenas Brunnian también se utilizan para crear artículos decorativos y de vestir a partir de bandas elásticas utilizando dispositivos como Rainbow Loom o Wonder Loom .
Referencias
- ↑ Bar-Natan, Dror (16 de agosto de 2010). " Todos los Brunnianos, Quizás ", [Pensieve académico] .
- ^ Enlaces Brunnian "Rubberband"
- ^ Freedman, Michael H .; Skora, Richard (1987), "Acciones extrañas de grupos en esferas", Journal of Differential Geometry , 25 : 75–98, doi : 10.4310 / jdg / 1214440725; ver en particular el Lema 3.2, p. 89
Otras lecturas
- Berrick, A. Jon; Cohen, Frederick R .; Wong, Yan Loi; Wu, Jie (2006), "Configuraciones, trenzas y grupos de homotopía" , Journal of the American Mathematical Society , 19 (2): 265–326, doi : 10.1090 / S0894-0347-05-00507-2 , MR 2188127.
- Hermann Brunn, "Über Verkettung", J. Münch. Ber, XXII. 77–99 (1892). JFM 24.0507.01 (en alemán)
- Milnor, John (marzo de 1954), "Link Groups", Annals of Mathematics , Annals of Mathematics, 59 (2): 177-195, doi : 10.2307 / 1969685 , JSTOR 1969685
- Rolfsen, Dale (1976), Nudos y vínculos , Serie de conferencias de matemáticas, 7 , Berkeley, California : Publicar o perecer, ISBN 0-914098-16-0, MR 0515288
enlaces externos
- "Are Borromean Links so Rare?", Por Slavik Jablan (también disponible en su forma original como se publicó en la revista Forma aquí (archivo PDF) ).
- " Brunnian_link ", The Knot Atlas .