La siguiente es una lista de fórmulas significativas que involucran la constante matemática π . La lista contiene únicamente fórmulas cuyo significado se establece ya sea en el artículo sobre la propia fórmula, el artículo Pi , o el artículo Aproximaciones de π .
donde C es la circunferencia de un círculo , d es el diámetro .
donde A es el área de un círculo y r es el radio .
donde V es el volumen de una esfera y r es el radio.
donde SA es el área de la superficie de una esfera y r es el radio.
donde H es el hipervolumen de un glome y r es el radio.
donde SV es el volumen superficial de un glomo y r es el radio.
Integrales
- (integrando dos mitades para obtener el área de un círculo de radio )
- (forma integral de arctan en todo su dominio, dando el período de tan ).
- (ver integral gaussiana ).
- (cuando el camino de integración gira una vez en sentido antihorario alrededor de 0. Véase también la fórmula integral de Cauchy ).
- (ver también Prueba de que 22/7 excede π ).
Tenga en cuenta que con integrandos simétricos , fórmulas de la forma también se puede traducir a fórmulas .
Serie infinita eficiente
- (ver también Doble factorial )
- (ver algoritmo de Chudnovsky )
- (ver Srinivasa Ramanujan , serie Ramanujan – Sato )
Los siguientes son eficientes para calcular dígitos binarios arbitrarios de π :
- (ver fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe )
Otras series infinitas
- (ver también el problema de Basilea y la función zeta de Riemann )
- , donde B 2 n es un número de Bernoulli .
- [1]
- (ver la fórmula de Leibniz para pi )
- (Euler, 1748)
Después de los dos primeros términos, los signos se determinan de la siguiente manera: si el denominador es un número primo de la forma 4 m - 1, el signo es positivo; si el denominador es un número primo de la forma 4 m + 1, el signo es negativo; para números compuestos, el signo es igual al producto de los signos de sus factores. [2]
También:
dónde es el n -ésimo número de Fibonacci .
Aquí se dan algunas fórmulas que relacionan π y números armónicos .
Fórmulas tipo máquina
- (la fórmula de Machin original )
dónde es el n -ésimo número de Fibonacci .
Series infinitas
Algunas series infinitas que involucran a π son: [3]
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
dónde es el símbolo de Pochhammer para el factorial ascendente. Véase también la serie Ramanujan – Sato .
Productos infinitos
- ( Euler )
- donde los numeradores son los primos impares; cada denominador es el múltiplo de cuatro más cercano al numerador.
- (ver también producto Wallis )
Fórmula de Viète :
Una fórmula de producto doble infinito que involucra la secuencia de Thue-Morse :
- dónde y es la secuencia Thue-Morse ( Tóth 2020 ).
Fórmulas arcangentes
dónde tal que .
Fracciones continuas
Para obtener más información sobre la tercera identidad, consulte la fórmula de fracción continua de Euler .
(Consulte también Fracción continua y Fracción continua generalizada ).
Diverso
- ( Aproximación de Stirling )
- ( Identidad de Euler )
- (ver la función totient de Euler )
- (ver la función totient de Euler )
- (ver también función Gamma )
- (donde agm es la media aritmética-geométrica )
- (dónde es el resto de la división de n por k )
- ( Suma de Riemann para evaluar el área del círculo unitario)
- (por aproximación de Stirling ; ver también Doble factorial )