En matemáticas, la norma logarítmica es una función de valor real en los operadores y se deriva de un producto interno , una norma vectorial o su norma de operador inducida . La norma logarítmica fue introducida de forma independiente por Germund Dahlquist [1] y Sergei Lozinskiĭ en 1958, para matrices cuadradas . Desde entonces, se ha extendido a operadores no lineales y también a operadores ilimitados . [2] La norma logarítmica tiene una amplia gama de aplicaciones, en particular en la teoría de matrices, ecuaciones diferenciales y análisis numérico.. En el entorno de dimensión finita, también se le conoce como la medida de la matriz o la medida de Lozinskiĭ.
Definición original
Dejar ser una matriz cuadrada y ser una norma de matriz inducida. La norma logarítmica asociada de se define
Aquí es la matriz de identidad de la misma dimensión que, y es un número real y positivo. El límite como es igual a , y en general es diferente de la norma logarítmica , como para todas las matrices.
La norma de la matriz siempre es positivo si , pero la norma logarítmica también puede tomar valores negativos, por ejemplo, cuando es definida negativa . Por tanto, la norma logarítmica no satisface los axiomas de una norma. El nombre norma logarítmica, que no aparece en la referencia original, parece tener su origen en la estimación del logaritmo de la norma de soluciones a la ecuación diferencial
La tasa de crecimiento máxima de es . Esto se expresa por la desigualdad diferencial
dónde es la derivada de Dini superior derecha . Usando la diferenciación logarítmica, la desigualdad diferencial también se puede escribir
mostrando su relación directa con el lema de Grönwall . De hecho, se puede demostrar que la norma de la matriz de transición de estados asociado a la ecuación diferencial está delimitado por [3] [4]
para todos .
Definiciones alternativas
Si la norma vectorial es una norma de producto interno, como en un espacio de Hilbert , entonces la norma logarítmica es el número más pequeño tal que para todos
A diferencia de la definición original, la última expresión también permite ser ilimitado. Por tanto, los operadores diferenciales también pueden tener normas logarítmicas, lo que permite el uso de la norma logarítmica tanto en álgebra como en análisis. La teoría moderna y extendida, por lo tanto, prefiere una definición basada en productos internos o dualidad . Tanto la norma del operador como la norma logarítmica se asocian entonces con valores extremos de formas cuadráticas de la siguiente manera:
Propiedades
Las propiedades básicas de la norma logarítmica de una matriz incluyen:
- para escalar
- dónde es la parte real máxima de los valores propios de
- por
Ejemplo de normas logarítmicas
La norma logarítmica de una matriz se puede calcular de la siguiente manera para las tres normas más comunes. En estas fórmulas, representa el elemento en el th fila y a columna de una matriz . [5]
Aplicaciones en teoría de matrices y teoría espectral
La norma logarítmica está relacionada con los valores extremos del cociente de Rayleigh. Sostiene que
y ambos valores extremos se toman para algunos vectores . Esto también significa que cada valor propio de satisface
- .
De manera más general, la norma logarítmica está relacionada con el rango numérico de una matriz.
Una matriz con es positivo definido, y uno con es definida negativa. Tales matrices tienen inversas . La inversa de una matriz definida negativa está limitada por
Tanto los límites en el inverso como en los valores propios se mantienen independientemente de la elección de la norma de vector (matriz). Sin embargo, algunos resultados solo son válidos para las normas internas del producto. Por ejemplo, si es una función racional con la propiedad
luego, para las normas internas del producto,
Por tanto, la norma matricial y las normas logarítmicas pueden considerarse como una generalización del módulo y la parte real, respectivamente, de números complejos a matrices.
Aplicaciones en teoría de la estabilidad y análisis numérico
La norma logarítmica juega un papel importante en el análisis de estabilidad de un sistema dinámico continuo. . Su función es análoga a la de la norma matricial para un sistema dinámico discreto.
En el caso más simple, cuando es una constante escalar compleja , el sistema dinámico discreto tiene soluciones estables cuando , mientras que la ecuación diferencial tiene soluciones estables cuando . Cuándo es una matriz, el sistema discreto tiene soluciones estables si . En el sistema continuo, las soluciones son de la forma. Son estables si para todos , que se sigue de la propiedad 7 anterior, si . En este último caso,es una función de Lyapunov para el sistema.
Métodos de Runge-Kutta para la solución numérica de reemplazar la ecuación diferencial por una ecuación discreta , donde la función racional es característico del método, y es el tamaño del paso de tiempo. Si cuando sea , entonces una ecuación diferencial estable, que tiene , siempre resultará en un método numérico estable (contractivo), como . Los métodos de Runge-Kutta que tienen esta propiedad se denominan A-stable.
Manteniendo la misma forma, los resultados pueden, bajo supuestos adicionales, extenderse a sistemas no lineales así como a la teoría de semigrupos , donde la ventaja crucial de la norma logarítmica es que discrimina entre la evolución en el tiempo hacia adelante y hacia atrás y puede establecer si el problema es bien posado . También se aplican resultados similares en el análisis de estabilidad en la teoría de control , donde existe la necesidad de discriminar entre retroalimentación positiva y negativa.
Aplicaciones a operadores diferenciales elípticos
En relación con los operadores diferenciales es común utilizar productos internos e integración por partes . En el caso más simple, consideramos funciones que satisfacen con producto interior
Entonces sostiene que
donde la igualdad de la izquierda representa la integración por partes y la desigualdad de la derecha es una desigualdad de Sobolev. En este último, se alcanza la igualdad para la función, lo que implica que la constante es lo mejor posible. Por lo tanto
para el operador diferencial , lo que implica que
Como operador satisfaciendo se llama elíptica , la norma logarítmica cuantifica la elipticidad (fuerte) de. Por tanto, si es fuertemente elíptica, entonces , y es invertible dados los datos adecuados.
Si se usa un método de diferencias finitas para resolver , el problema se reemplaza por una ecuación algebraica . La matriz normalmente heredará la elipticidad, es decir, , mostrando que es positivo definido y por lo tanto invertible.
Estos resultados se transfieren a la ecuación de Poisson , así como a otros métodos numéricos, como el método de los elementos finitos .
Extensiones a mapas no lineales
Para los operadores no lineales, la norma del operador y la norma logarítmica se definen en términos de las desigualdades
dónde es la constante de Lipschitz del límite superior mínimo de, y es la mayor constante de Lipschitz del límite inferior; y
dónde y están en el dominio de . Aquí es la constante de Lipschitz logarítmica del límite superior mínimo de , y es la mayor constante de Lipschitz logarítmica de límite inferior. Sostiene que (comparar arriba) y, análogamente, , dónde se define en la imagen de .
Para los operadores no lineales que son Lipschitz continuos, sostiene además que
Si es diferenciable y su dominio es convexo, entonces
- y
Aquí es la matriz jacobiana de, vinculando la extensión no lineal a la norma matricial y la norma logarítmica.
Un operador que tiene o se llama uniformemente monótono. Un operador satisfactoriose llama contractivo . Esta extensión ofrece muchas conexiones con la teoría del punto fijo y la teoría del punto crítico.
La teoría se vuelve análoga a la de la norma logarítmica para matrices, pero es más complicada ya que los dominios de los operadores deben recibir mucha atención, como en el caso de los operadores ilimitados. La propiedad 8 de la norma logarítmica anterior se transfiere, independientemente de la elección de la norma vectorial, y sostiene que
que cuantifica el teorema de la monotonicidad uniforme de Browder y Minty (1963).
Referencias
- ^ Germund Dahlquist, "Límites de estabilidad y error en la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias", Almqvist & Wiksell, Uppsala 1958
- ^ Gustaf Söderlind, "La norma logarítmica. Historia y teoría moderna", BIT Numerical Mathematics , 46 (3) : 631-652, 2006
- ^ Desoer, C .; Haneda, H. (1972). "La medida de una matriz como herramienta de análisis de algoritmos informáticos para el análisis de circuitos". Transacciones IEEE sobre teoría de circuitos . 19 (5): 480–486. doi : 10.1109 / tct.1972.1083507 .
- ^ Desoer, CA; Vidyasagar, M. (1975). Sistemas de retroalimentación: Propiedades de entrada-salida . Nueva York: Elsevier. pag. 34. ISBN 9780323157797.
- ^ Desoer, CA; Vidyasagar, M. (1975). Sistemas de retroalimentación: Propiedades de entrada-salida . Nueva York: Elsevier. pag. 33. ISBN 9780323157797.