Se han hecho intentos para describir las teorías de gauge en términos de objetos extendidos como bucles de Wilson y holonomías . La representación de bucle es una representación cuántica hamiltoniana de las teorías de gauge en términos de bucles. El objetivo de la representación de bucle en el contexto de las teorías de Yang-Mills es evitar la redundancia introducida por las simetrías de gauge de Gauss que permiten trabajar directamente en el espacio de estados físicos (estados invariantes de gauge de Gauss). La idea es bien conocida en el contexto de la teoría de la celosía de Yang-Mills (ver la teoría del calibre de celosía). Gambini y Trias intentaron explorar la representación de bucle continuo para la teoría canónica de Yang-Mills, sin embargo, hubo dificultades ya que representaban objetos singulares. Como veremos, el formalismo de bucle va mucho más allá de una simple descripción invariante de gauge, de hecho es el marco geométrico natural para tratar las teorías de gauge y la gravedad cuántica en términos de sus excitaciones físicas fundamentales.
La introducción por Ashtekar de un nuevo conjunto de variables (variables de Ashtekar ) arrojó la relatividad general en el mismo lenguaje que las teorías gauge y permitió aplicar técnicas de bucle como una descripción natural no perturbativa de la teoría de Einstein. En la gravedad cuántica canónica, las dificultades en el uso de la representación de bucle continuo se solucionan mediante la invariancia de difeomorfismo espacial de la relatividad general . La representación de bucle también proporciona una solución natural de la restricción de difeomorfismo espacial, haciendo una conexión entre la gravedad cuántica canónica y la teoría de nudos . Sorprendentemente, había una clase de estados de bucle que proporcionaban soluciones exactas (aunque sólo formales) a la ecuación de Wheeler-DeWitt original (mal definida) de Ashtekar . Por lo tanto, se había identificado un conjunto infinito de soluciones exactas (aunque solo formales) para todas las ecuaciones de la gravedad general cuántica canónica en esta representación. Esto generó mucho interés en el enfoque y finalmente condujo a la gravedad cuántica de bucles (LQG).
La representación de bucle ha encontrado aplicación en matemáticas. Si las teorías de campos cuánticos topológicos se formulan en términos de bucles, las cantidades resultantes deberían ser lo que se conoce como invariantes de nudos . Las teorías de campos topológicos solo involucran un número finito de grados de libertad y, por lo tanto, se pueden resolver con exactitud. Como resultado, proporcionan expresiones computables concretas que son invariantes de nudos. Ésta fue precisamente la idea de Edward Witten [1], quien notó que computando cantidades dependientes de bucles en Chern-Simons y otras teorías de campos cuánticos topológicos tridimensionales, uno podía llegar a expresiones analíticas explícitas para invariantes de nudos. Por su trabajo en esto, en 1990 fue galardonado con la Medalla Fields . Es el primer y hasta ahora el único físico en recibir la Medalla Fields, a menudo considerada como el mayor honor en matemáticas.
Invarianza de calibre de la teoría de Maxwell
La idea de las simetrías de gauge se introdujo en la teoría de Maxwell. Las ecuaciones de Maxwell son
dónde es la densidad de carga y la densidad actual. Las dos últimas ecuaciones se pueden resolver escribiendo campos en términos de un potencial escalar,, y un potencial vectorial, :
.
Los potenciales determinan de forma única los campos, pero los campos no determinan de forma única los potenciales; podemos realizar los cambios:
sin afectar los campos eléctricos y magnéticos, donde es una función arbitraria del espacio-tiempo. Estos se denominan transformaciones de calibre. Hay una notación relativista elegante: el campo gauge es
y las transformaciones de indicador anteriores leen,
.
Se introduce el llamado tensor de intensidad de campo,
que se muestra fácilmente como invariante bajo transformaciones de calibre. En componentes,
.
La acción libre de fuentes de Maxwell viene dada por:
.
La capacidad de variar el potencial del medidor en diferentes puntos en el espacio y el tiempo (cambiando ) sin cambiar la física se llama invariancia local. La teoría electromagnética posee el tipo más simple de simetría de calibre local llamado(ver grupo unitario ). Una teoría que muestra la invariancia de gauge local se denomina teoría de gauge. Para formular otras teorías de calibre, damos la vuelta al razonamiento anterior. Este es el tema de la siguiente sección.
Las teorías de conexiones y calibres
La conexión y la teoría de Maxwell
Sabemos por la mecánica cuántica que si reemplazamos la función de onda, , describiendo el campo de electrones por
que deja las predicciones físicas sin cambios. Consideramos la imposición de invariancia local en la fase del campo de electrones,
El problema es que las derivadas de no son covariantes bajo esta transformación:
.
Para cancelar el segundo término no deseado, se introduce un nuevo operador derivado eso es covariante. Para construir, se introduce un nuevo campo, la conexión :
.
Luego
El termino se cancela precisamente al requerir que el campo de conexión se transforme como
.
Entonces tenemos eso
.
Tenga en cuenta que es equivalente a
que tiene el mismo aspecto que una transformación de calibre del potencial de calibre de la teoría de Maxwell. Es posible construir una acción invariante para el propio campo de conexión. Queremos una acción que solo tenga dos derivadas (ya que las acciones con derivadas más altas no son unitarias). Defina la cantidad:
.
La acción única con solo dos derivadas viene dada por:
.
Por lo tanto, se puede derivar la teoría electromagnética a partir de argumentos basados únicamente en la simetría.
La conexión y la teoría del calibre de Yang-Mills
Ahora generalizamos el razonamiento anterior a los grupos de calibres generales. Se comienza con los generadores de algún álgebra de Lie :
Que haya un campo de fermiones que se transforme como
Nuevamente las derivadas de no son covariantes bajo esta transformación. Introducimos una derivada covariante
con campo de conexión dado por
Requerimos que se transforma como:
- .
Definimos el operador de intensidad de campo
- .
Como es covariante, esto significa que el tensor también es covariante:
Tenga en cuenta que solo es invariante bajo transformaciones de calibre si es un escalar, es decir, solo en el caso del electromagnetismo.
Ahora podemos construir una acción invariante a partir de este tensor. Nuevamente queremos una acción que solo tenga dos derivadas. La opción más simple es el rastro del conmutador:
La acción única con solo dos derivadas viene dada por:
Ésta es la acción de la teoría de Yang-mills.
La representación en bucle de la teoría de Maxwell
Consideramos un cambio de representación en la teoría de gauge cuántica de Maxwell. La idea es introducir una base de estados etiquetados por bucles cuyo producto interno con los estados de conexión está dado por
El bucle funcional es el bucle de Wilson para el abeliano caso.
La representación en bucle de la teoría de Yang-Mills
Consideramos por simplicidad (y porque más adelante veremos que este es el grupo de calibre relevante en LQG) un Teoría de Yang-Mills en cuatro dimensiones. La variable de campo de la teoría continua es una conexión (o potencial de calibre) , dónde es un índice en el álgebra de Lie de. Podemos escribir para este campo
dónde son los generadores, es decir, las matrices de Pauli multiplicadas por. nótese que, a diferencia de la teoría de Maxwell, las conexionestienen valores matriciales y no conmutan, es decir, son teorías de gauge no abelianas. Debemos tener esto en cuenta a la hora de definir la versión correspondiente de la holonomía para Teoría de Yang-Mills.
Primero describimos la teoría cuántica en términos de variable de conexión.
La representación de la conexión
En la representación de la conexión, la variable de configuración es y su momento conjugado es la tríada (densitizada) . Es más natural considerar las funciones de onda. Esto se conoce como representación de conexión. Las variables canónicas se promueven a operadores cuánticos:
(análogo a la representación de la posición ) y las tríadas son derivados funcionales,
(análogo a )
El bucle de holonomía y Wilson
Volvamos a la teoría clásica de Yang-Mills. Es posible codificar la información invariante de calibre de la teoría en términos de variables de tipo bucle.
Necesitamos la noción de holonomía . Una holonomía es una medida de cuánto difieren los valores inicial y final de un espinor o vector después del transporte paralelo alrededor de un bucle cerrado; se denota
El conocimiento de las holonomías equivale al conocimiento de la conexión, hasta calibrar la equivalencia. Las holonomías también se pueden asociar con un borde; bajo una ley de Gauss, estos se transforman como
Para un circuito cerrado si tomamos el rastro de esto, es decir, poniendo y sumando obtenemos
o
Por tanto, la traza de una holonomía alrededor de un circuito cerrado es invariante de calibre. Se denota
y se llama bucle de Wilson. La forma explícita de la holonomía es
dónde es la curva a lo largo de la cual se evalúa la holonomía, y es un parámetro a lo largo de la curva, Denota factores de significado de orden de ruta para valores más pequeños de aparecen a la izquierda, y son matrices que satisfacen las álgebra
Las matrices de Pauli satisfacen la relación anterior. Resulta que hay infinitos más ejemplos de conjuntos de matrices que satisfacen estas relaciones, donde cada conjunto comprende matrices con , y donde no se puede pensar que ninguno de estos se "descomponga" en dos o más ejemplos de dimensión inferior. Se denominan diferentes representaciones irreductibles de laálgebra. La representación más fundamental son las matrices de Pauli. La holonomía está etiquetada por medio entero. según la representación irreductible utilizada.
Teorema de reconstrucción de Giles de potenciales de calibre de bucles de Wilson
Un teorema importante sobre las teorías de calibre de Yang-Mills es el teorema de Giles, según el cual si se da el rastro de la holonomía de una conexión para todos los bucles posibles en una variedad, en principio, se puede reconstruir toda la información invariante de calibre de la conexión . [2] Es decir, los bucles de Wilson constituyen una base de funciones invariantes de calibre de la conexión. Este resultado clave es la base para la representación de bucle para las teorías de gauge y la gravedad.
La transformación de bucle y la representación de bucle
El uso de bucles de Wilson resuelve explícitamente la restricción de calibre de Gauss. Como los bucles de Wilson forman una base, podemos expandir formalmente cualquier función invariante de calibre de Gauss como,
.
Esto se llama transformación de bucle. Podemos ver la analogía con ir a la representación del momento en la mecánica cuántica. Allí uno tiene una base de estados etiquetado por un número y uno se expande
y trabaja con los coeficientes de expansión .
La transformada de bucle inverso está definida por
Esto define la representación del bucle. Dado un operador en la representación de la conexión,
uno debe definir el operador correspondiente en en la representación de bucle a través de,
dónde está definido por la transformación de bucle inverso habitual,
Una fórmula de transformación que da la acción del operador. en en términos de la acción del operador en luego se obtiene igualando el RHS de con el RHS de con sustituido en , a saber
o
donde por nos referimos al operador pero con el orden inverso de factores (recuerde de la mecánica cuántica simple donde el producto de los operadores se invierte bajo la conjugación). Evaluamos la acción de este operador en el bucle de Wilson como un cálculo en la representación de la conexión y reordenando el resultado como una manipulación puramente en términos de bucles (se debe recordar que al considerar la acción en el bucle de Wilson se debe elegir el operador que se desee Transformar con el factor opuesto ordenando al elegido para su acción sobre las funciones de onda.).
La representación en bucle de la gravedad cuántica
Variables Ashtekar-Barbero de la gravedad cuántica canónica
La introducción de las variables de Ashtekar presenta la relatividad general en el mismo lenguaje que las teorías de gauge. Fue en particular la incapacidad de tener un buen control sobre el espacio de soluciones a la ley de Gauss y las restricciones de difeomorfismo espacial lo que llevó a Rovelli y Smolin a considerar una nueva representación: la representación en bucle. [3]
Para manejar la restricción de difeomorfismo espacial, debemos pasar a la representación de bucle. El razonamiento anterior da el significado físico del operador. Por ejemplo, si correspondía a un difeomorfismo espacial, entonces esto se puede considerar como mantener el campo de conexión de donde está mientras se realiza un difeomorfismo espacial en en lugar de. Por tanto, el significado de es un difeomorfismo espacial en , el argumento de .
En la representación de bucles, podemos resolver la restricción de difeomorfismo espacial considerando funciones de bucles que son invariantes bajo difeomorfismos espaciales del bucle . Es decir, construimos lo que los matemáticos llaman invariantes de nudos . Esto abrió una conexión inesperada entre la teoría de los nudos y la gravedad cuántica.
La representación de bucle y las funciones propias de los operadores cuánticos geométricos.
La cantidad geométrica más sencilla es el área. Elijamos coordenadas para que la superficie Es caracterizado por . El área del pequeño paralelogramo de la superficie. es el producto de la longitud de cada lado por dónde es el ángulo entre los lados. Digamos que un borde viene dado por el vector y el otro por luego,
De esto obtenemos el área de la superficie para ser dado por
dónde y es el determinante de la métrica inducida en . Esto se puede reescribir como
La fórmula estándar para una matriz inversa es
Tenga en cuenta la similitud entre esto y la expresión para . Pero en las variables Ashtekar tenemos. Por lo tanto,
De acuerdo con las reglas de cuantificación canónica debemos promover las tríadas a los operadores cuánticos,
Resulta que la zona se puede promover a un operador cuántico bien definido a pesar de que estamos tratando con el producto de dos derivadas funcionales y, lo que es peor, también tenemos una raíz cuadrada con la que lidiar. [4] Poner, hablamos de estar en la J -ésima representación. Notamos eso. Esta cantidad es importante en la fórmula final del espectro de áreas. Simplemente indicamos el resultado a continuación,
donde la suma está sobre todos los bordes del bucle de Wilson que perfora la superficie .
La fórmula para el volumen de una región. es dado por
La cuantificación del volumen procede de la misma forma que con el área. A medida que tomamos la derivada, y cada vez que lo hacemos, bajamos el vector tangente, cuando el operador de volumen actúa sobre bucles de Wilson que no se cruzan, el resultado desaparece. Los estados cuánticos con volumen distinto de cero deben, por tanto, implicar intersecciones. Dado que la suma antisimétrica se incluye en la fórmula del volumen, necesitaríamos al menos intersecciones con tres líneas no coplanares . En realidad, resulta que se necesitan al menos cuatro vértices de valencia para que el operador de volumen no desaparezca.
Identidades de Mandelstam: su (2) Yang – Mills
Ahora consideramos los bucles de Wilson con intersecciones. Asumimos la representación real donde el grupo de calibre es. Los bucles de Wilson son una base completa, ya que hay identidades que relacionan diferentes bucles de Wilson. Estos surgen del hecho de que los bucles de Wilson se basan en matrices (la holonomía) y estas matrices satisfacen identidades, las llamadas identidades de Mandelstam (ver variables de Mandelstam ). Dado dos matrices y es fácil comprobar eso,
Esto implica que dados dos bucles y que se cruzan, tendremos,
donde por nos referimos al bucle atravesado en la dirección opuesta y significa el bucle obtenido dando la vuelta al bucle y luego a lo largo . Consulte la figura siguiente. Esto se denomina identidad de Mandelstam del segundo tipo. Existe la identidad de Mandelstam del primer tipo. Las redes de espín son ciertas combinaciones lineales de bucles de Wilson que se cruzan, diseñadas para abordar el exceso de completitud introducido por las identidades de Mandelstam.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/thumb/5/5f/The_Mandelstam_identity.jpg/440px-The_Mandelstam_identity.jpg)
Estados de la red de giro
De hecho, las redes de espín constituyen una base para todas las funciones invariantes de calibre que minimizan el grado de sobrecompletado de la base del bucle, y para las intersecciones trivalentes la eliminan por completo.
Como se mencionó anteriormente, la holonomía le dice cómo propagar las medias partículas de giro de prueba. Un estado de red de espín asigna una amplitud a un conjunto de partículas de medio espín que trazan un camino en el espacio, fusionándose y dividiéndose. Estos son descritos por redes de spinning.: los bordes están etiquetados por giros junto con 'entrelazados' en los vértices que son prescripción de cómo sumar las diferentes formas en que se redirigen los giros. La suma sobre el reencaminamiento se elige como tal para hacer que la forma del entrelazado sea invariante bajo las transformaciones de calibre de Gauss.
Unicidad de la representación de bucle en LQG
Los teoremas que establecen la unicidad de la representación de bucle según la definición de Ashtekar et al. (es decir, una cierta realización concreta de un espacio de Hilbert y los operadores asociados que reproducen el álgebra de bucles correcta, la comprensión que todos estaban usando) han sido dados por dos grupos (Lewandowski, Okolow, Sahlmann y Thiemann) [5] y (Christian Fleischhack). [6] Antes de que se estableciera este resultado, no se sabía si podría haber otros ejemplos de espacios de Hilbert con operadores que invocan el mismo álgebra de bucles, otras realizaciones, no equivalentes a la que se había utilizado hasta ahora.
Teoría de nudos y bucles en la teoría de campos topológicos
Un método común para describir un nudo (o enlace , que son nudos de varios componentes entrelazados entre sí) es considerar su imagen proyectada en un plano llamado diagrama de nudos. Cualquier nudo (o vínculo) dado se puede dibujar de muchas formas diferentes utilizando un diagrama de nudos. Por lo tanto, un problema fundamental en la teoría de nudos es determinar cuándo dos descripciones representan el mismo nudo. Dado un diagrama de nudos, uno intenta encontrar una manera de asignarle un invariante de nudos, a veces un polinomio, llamado polinomio de nudos. Dos diagramas de nudos con diferentes polinomios generados por el mismo procedimiento corresponden necesariamente a diferentes nodos. Sin embargo, si los polinomios son iguales, puede no significar que correspondan al mismo nudo. Cuanto mejor es un polinomio para distinguir nudos, más poderoso es.
En 1984, Jones [7] anunció el descubrimiento de un nuevo invariante de enlace, que pronto condujo a una desconcertante profusión de generalizaciones. Había encontrado un nuevo polinomio de nudos, el polinomio de Jones . Específicamente, es un invariante de un nudo o enlace orientado que asigna a cada nudo o enlace orientado un polinomio con coeficientes enteros.
A finales de la década de 1980, Witten acuñó el término teoría de campos cuánticos topológicos para un cierto tipo de teoría física en la que los valores esperados de las cantidades observables son invariantes bajo difeomorfismos.
Witten [8] dio una derivación heurística del polinomio de Jones y sus generalizaciones a partir de la teoría de Chern-Simons . La idea básica es simplemente que los valores de expectativa de vacío de los bucles de Wilson en la teoría de Chern-Simons son invariantes de enlace debido a la invariancia de difeomorfismo de la teoría. Sin embargo, para calcular estos valores esperados, Witten necesitaba utilizar la relación entre la teoría de Chern-Simons y una teoría de campo conforme conocida como modelo de Wess-Zumino-Witten (o modelo WZW).
Referencias
- ^ Witten, Edward (1989). "Teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones". Comunicaciones en Física Matemática . Springer Science and Business Media LLC. 121 (3): 351–399. doi : 10.1007 / bf01217730 . ISSN 0010-3616 .
- ^ Giles, R. (15 de octubre de 1981). "Reconstrucción de potenciales de calibre de bucles de Wilson". Physical Review D . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 24 (8): 2160–2168. doi : 10.1103 / physrevd.24.2160 . ISSN 0556-2821 .
- ^ Rovelli, Carlo; Smolin, Lee (5 de septiembre de 1988). "Teoría de nudos y gravedad cuántica". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 61 (10): 1155-1158. doi : 10.1103 / physrevlett.61.1155 . ISSN 0031-9007 .
- ^ Por ejemplo, consulte la sección 8.2 de A First Course in Loop Quantum Gravity , Gambini, R y Pullin, J. Publicado por Oxford University Press 2011.
- ^ Lewandowski, Jerzy; Okołów, Andrzej; Sahlmann, Hanno; Thiemann, Thomas (22 de agosto de 2006). "Unicidad de los estados invariantes de difeomorfismo en álgebras de flujo de holonomía". Comunicaciones en Física Matemática . Springer Science and Business Media LLC. 267 (3): 703–733. arXiv : gr-qc / 0504147 . doi : 10.1007 / s00220-006-0100-7 . ISSN 0010-3616 .
- ^ Fleischhack, Christian (11 de agosto de 2006). "Irreducibilidad del álgebra de Weyl en la gravedad cuántica de bucle". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 97 (6): 061302. doi : 10.1103 / physrevlett.97.061302 . ISSN 0031-9007 .
- ↑ V. Jones, A polyinomial invariant for knots via von Neumann álgebras, reimpreso en `` New Developments in the Theory of Knots , ed. T. Kohno, World Scientific, Singapur, 1989.
- ^ Witten, E. (1989). "Teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones". Conmutaciones en Física Matemática . 121 : 351–399. Señor 0990772 .